Равномерное движение МТ по окружности

Равномерное движение материальной точки по окружности

У лукоморья дуб зеленый;

Златая цепь на дубе том:

И днем и ночью кот ученый

Все ходит по цепи кругом...

А.С. Пушкин.

Ранее говорилось, что механическое движение —это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Движение тела может быть прямолинейным, т.е. когда траекторией движения является прямая линия. А может быть и криволинейным, когда траекторией движения является кривая линия.

Движение и направление движения характеризуются скоростью. Изменение скорости и сам вид движения связаны с действием силы. Если на тело действует сила, то тело изменяет свою скорость. Если сила направлена параллельно движению тела, в одну сторону, то такое движение будет прямолинейным.

Криволинейным будет такое движение, когда скорость тела и сила, приложенная к этому телу, направлены друг относительно друга под некоторым углом. В этом случае скорость будет изменять свое направление.

Большинство из наблюдаемых человеком движений являются криволинейными. Это, например, вращение Луны вокруг Земли, вращение карусели в парке аттракционов, кольца Сатурна и выпуклые мосты, стрелки часов и движение электронов в атоме.

Известно, что при прямолинейном движении направление вектора скорости всегда совпадает с направле­нием вектора перемеще­ния.

А что можно сказать о направлении скорости и перемещения при криволинейном движении?

На рисунке представлена некоторая криволинейная траектория.

Допустим, что тело движется по ней из точки А в точку В. При этом пройденный телом путь — это дуга АВ, а его перемещение—это вектор АВ. Конечно, нельзя считать, что скорость тела во время движения направлена вдоль вектора перемеще­ния.

Проведем между точками А и В ряд хорд, и представим себе, что движение тела происходит именно по этим хордам. На каждой из них тело движется прямолинейно и вектор скорости направ­лен вдоль хорды.

Эти прямолинейные участки можно сделать более короткими. По-прежнему на каждом из них вектор скорости направлен вдоль хорды. Но видно, что эта ломаная линия уже более по­хожа на плавную кривую.

Если проолжить умень­шать длину прямолинейных участков, то они как бы стянуться  в точки и ломаная ли­ния превратится в плавную кривую. Скорость же в каждой точке этой кривой в физике называют линейной скоростью, и определяют как отношение длины дуги, которую тело описало за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени.

Отметим, что скорость движения тела в любой точке криволинейной траектории направле­на по касательной к траек­тории в этой точке.

В том, что скорость точки при криво­линейном движении действительно направлена по касательной, убеждает, например, наблюдение за работой точила. Если прижать к вращающему­ся точильному камню концы стального прута, то раскаленные частицы, отрывающиеся от камня, будут видны в виде искр. Хорошо видно, что направле­ние вылета искр всегда совпадает с касательной к окружности в той точке, где прут касается камня.

Подтверждением этого также является и движение по касательной оторвавшихся от колеса мотоцикла или автомобиля кусочков грязи или песка при их движении.

Таким образом, мгновенная скорость тела в разных точках криволинейной траектории имеет различ­ные направле­ния. Модуль же скорости может быть или всюду одинако­вым или изменяться от точки к точке.

Даже если модуль скорости тела при его движении по окружности не изменяется, ее все равно нельзя считать по­стоянной. Ведь скорость—величина векторная. А для векторных величин модуль и направление одинаково важны. Поэто­му криволинейное движение всегда дви­жение ускоренное, даже если модуль скорости остается постоянным.

Ограничимся рассмотрением такого криволинейного движения, при котором модуль скорости остается постоянным. Такое движение называют равномерным криволинейным движением.

Ускорение при таком движении связано только с изменением направления вектора скорости. А как на­прав­лено и чему равно это ускорение?

И модуль, и направление ускорения должны зависеть от формы криволинейной траектории. Но не нужно рассматривать каждую из бесчисленных форм криволинейных траекторий. Все дело в том, что любую криволинейную траекторию можно представить в виде совокупностей дуг окружностей, с разными радиусами.

Поэтому задача нахождения ускорения при кри­волиней­ном равномерном движении сво­дится к отысканию ускорения при равномерном движении тела по окружности.

При описании движения тела по окружности можно пользоваться вектором перемещения, как и при описа­нии прямолинейного движения. Но часто более удобным оказывается харак­теризовать изменение положения тела— материальной точки — при движении по окружности другой величиной — углом пово­рота.

Представим себе, что некоторое тело движется по окружности радиусом R. Проведем из цен­тра О окружности радиус к какой-нибудь точке тела А и будем следить не только за самим телом, но и за радиусом, проведенным к точке А. Мы увидим, что, по мере того как тело движется, радиус поворачи­ва­ется. Если, например, тело за некоторый промежуток времени переместилось из точки А в точку В, то за это же время радиус повернулся на угол j. Этот угол называется углом поворота радиуса.

Угол поворота можно выражать в градусах. Но вомногих случаях удобнее пользоваться другой едини­цей измерения углов—радианом.

1радиан — это угол между двумя радиусами круга, вырезающими на окружности дугу, длина которой равняется радиусу.

Из геометрии  известно, что отношение длины окружности к ее радиусу не зависит от радиуса окружно­сти и равно .

Т.о. отношение длины дуги, составляющей часть окружно­сти, к радиусу этой окружности тоже не зависит от радиуса и определяется только углом между радиусами, вырезаю­щими эту дугу.

Чтобы это понять, рассмотрим простой пример. Конец минутной стрелки маленьких наручных часов за 15 мин проходит путь длиной около 1,5см. За это же время конец минутной стрелки огромных часов Спасской башни Кремля проходит путь дли­ной в несколько метров.

Но минутные стрелки всех часов в мире зач етверть часа поворачиваются на один и тот же угол, и отношение длины дуги, которую описывает конец стрелки, к длине стрелки для всех часов одинаково и равно .

Т.о., при равномерном движении точки по окружности углы поворота радиуса за любые равные проме­жутки времени будут одинаковы. Разделив угол поворота на время, за которое совершен поворот, можно получить так называемую угловую скорость вращения. Ее обычно обозначают буквой  (омега).

Под угловой скоростью точки, равномерно движущейся по окружности, понимают отношение угла поворота радиуса, проведенного к точке, кп ромежутку времени, в течение которого со­вершен этот поворот.

Если угол поворота выражен в радианах, а время — в секундах, то угловая скорость измеряется в

Между угло­вой и линейной скоростью имеется очень простая связь.

Пусть за некоторый малый промежуток времени Dt материальная точка проходит по окружности радиуса R путь l и радиус окружности описывает малый угол Dj.

Тогда, если в выражение для угловой скорости подставить вместо j его значение

То получим

Скорость движения тела по окружности часто выражают также числом оборотов в еди­ницу времени или частотой вращения. Обозначают ее греческой буквой ν.

Основная единица измерения частоты —это 1 герц, названная в честь немецкого ученого Генриха Герца.

Рассмотрим пример. Пусть точка при движении по окружности радиуса R с постоянной угловой скоростью за время t совершила N полных оборотов. Тогда, можно ввести новую физическую величину, называемую периодом обращения.

Период обращения при движении материальной точки по окружности — это время совершения одного полного оборота. Основная единица измерения периода — секунда.

Можно выразить угловую скорость равномерного движения материальной точки по окружности через период обращения и частоту. Если учесть, что промежуток времени обращения тела по окружности равен периоду вращения, то тогда угол поворота, в этом случае, окажется равным .Тогда

Определим, теперь, ускорение, с которым вращается материальная точка по окружности.

Рассмотрим два близких положения материальной точки на окружности А и А₁ и укажем направление скорости в этих точках. По правилу вычитания векторов (правилу треугольника) найдем вектор разности этих двух скоростей.

Из кинематики нам известно, что если разделить величину изменения вектора скорости на промежуток времени, в течении которого это изменение произошло, то получим векторную величину, которую назвали ускорением.

Поученное ускорение материальной точки принято называть центростремительным (по направлению к центру) или нормальным. Центростремительное ускорение всегда направлено по радиусу к центру окружности.

Формулу для вычисления центростремительного ускорения можно получить из подобия треугольника АОА₁ и треугольника скоростей по трем равным углам).

Тогда формула, для расчёта центростремительного ускорения примет вид:

Или, с учетом взаимосвязи линейной и угловой скорости:

Основные выводы:

– Равномерное криволинейное движение — это такое криволинейное движение, при котором модуль вектора линейной скорости остается неизменным.

– Физический смысл угловой скорости заключается в том, что она численно равна углу поворота радиуса окружности, соединяющего ее центр с материальной точкой, за единицу времени.

– Периодом обращения при движении материальной точки по окружности называют время совершения одного полного оборота.

– Частота обращения при движении материальной точки по окружности определяется числом оборотов в единицу времени.

– Центростремительное ускорение – это векторная величина, которая в любой точке траектории направлено по радиусу к центру окружности.