Параллельные прямые. Признак параллельности прямых по равенству накрест лежащих углов

Определение:

Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.

Параллельность прямых обозначают следующим образом:

Определение:

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Например, отрезки АВ и CD параллельны, так как лежат на параллельных прямых p и q.

Параллельность отрезков обозначается:

А вот если некоторые отрезки KL и MN не параллельны:

то обозначается так:

Параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, луча и отрезка определяется аналогично. Например, отрезок PQ параллелен прямой n:

а отрезок ST параллелен лучу EF:

В геометрии нельзя «на глаз» определить, параллельны прямые или нет. Это может быть либо дано, либо доказано.

Известно, что две прямые, перпендикулярные к третьей, параллельны между собой.

Существует три признака параллельности прямых. Рассмотрим один из них:

Определение:

Прямая c называется секущей по отношению к прямым а и b, если она пересекает каждую из них в разных точках.

При пересечении прямых а и b секущей c образуется восемь углов.

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия. ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6 называют внутренними накрест лежащими. ∠1 и ∠7, ∠2 и ∠8 - внешними накрест лежащими.

∠1 и ∠5, ∠4 и ∠8, ∠2 и ∠6, ∠3 и ∠7 называют соответственными. ∠4 и ∠5, ∠3 и ∠6 - внутренними односторонними. А ∠2 и ∠7, ∠1 и ∠8 - внешними односторонними.

Теорема:

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть прямые а и b пересекает секущая АВ. И при этом накрест лежащие углы 1 и 2 равны.

Если ∠1=∠2=90 градусов, то прямая а перпендикулярна прямой АВ и прямая b перпендикулярна прямой АВ. А значит, прямая а параллельна прямой b.

А если ∠1=∠2, но они не являются прямыми, то из середины О отрезка АВ проведём отрезок ОС, который перпендикулярен прямой а. На прямой b отложим отрезок ВС₁=АС и проведём отрезок ОС₁.

Рассмотрим треугольники ОСА и ОС₁В. У них АО=ВО, АС=ВС₁, а ∠1=∠2. Следовательно, эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.

Поэтому ∠3=∠4, а ∠5=∠6. Из равенства углов 3 и 4 следует, что точка С₁ лежит на продолжении луча ОС, то есть точки С, О, С₁ лежат на одной прямой. Так как ∠5=90 градусов, то из равенства углов 5 и 6 следует, что и ∠6=90 градусов.

Получаем, что прямая СС₁ перпендикулярна прямой а и перпендикулярна прямой b, а следовательно, прямая а параллельна прямой b. Что и требовалось доказать.

Пример.

Доказать, что если два отрезка KL и MN равны и параллельны, то отрезки КМ и LN, соединяющие их соответственные концы, параллельны.

Проведём отрезок КN. И рассмотрим треугольники KMN и KLN.

У них сторона КN - общая, KL=MN по условию задачи, ∠1 и ∠2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых KL и MN и секущей КN.

Получаем, что треугольники KMN и KLN равны по первому признаку. Значит, углы LNK и MKN равны как углы, лежащие против равных сторон в равных треугольниках. Эти углы являются также накрест лежащими при прямых КМ и LN и секущей КN. А следовательно, отрезки КМ и LN параллельны. Что и требовалось доказать.

Чтобы построить прямую проходящую через заданную точку О и параллельную некоторой прямой а, приложим к прямой чертёжный угольник, а к нему линейку таким образом:

Затем будем продвигать угольник вдоль линейки, пока точка О не окажется на стороне угольника, и проведём прямую b. Прямые а и b будут параллельными, так как у них соответственные углы равны.

В черчении параллельные прямые можно построить с помощью рейсшины.

А вот при выполнении столярных работ для построения параллельных прямых используется малка, которая представляет собой две деревянные планки, скрепленные шарниром.