Задачи с прикладным содержанием 1 (повышенный уровень)

Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле \(R=r_{пок}-\frac{r_{пок-}r_{экс}}{\left(K+1\right)^m}\), где \(m=\frac{0,02K}{r_{пок}+0,1}\), \(r_{пок}\) - средняя оценка магазина покупателями, \(r_{экс}\) - оценка магазина, данная экспертами, К - число покупателей, оценивавших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно 24, их средняя оценка равна 0,86, а оценка экспертов равна 0,51.

При температуре 0^о С рельс имеет длину \(l_0=18м\). При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону \(l\left(t^o\right)=l_0\left(1+\alpha\cdot t^o\right)\), где \(\alpha=1,2\cdot10^{-5}\left(^oC\right)^{-1}\) - коэффициент теплового расширения, \(t^o\) - температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится  на 8,1 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене \(р=400\ руб.\) за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют \(\nu=200\ руб.\), постоянные расходы предприятия \(f=500\ 000\ руб.\)в месяц. Месячая операционная прибыль предприятия (в рублях) вычислияется по формуле \(\pi\left(q\right)=q\left(p-\nu\right)-f\). Определите месячный объем производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 1 000 000 руб.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле \(h=5t^2\), где h - расстояние в метрах, t - время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,4с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2с? Ответ выразите в метрах.

Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены р (тыс.руб.) задается формулой \(q=130-10p\). Выручка предприятия за месяц r (ы тыс.руб.) вычисляется по формуле \(r\left(p\right)=q\cdot p\). Определите наибольшую цену р, при котрой месячная выручка \(r\left(p\right)\) составит не менее 360 тыс.руб. Ответ приведите в тыс.руб.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону \(h\left(t\right)=1,2+10t-5t^2\), где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной, она максимальна в нижней тгочке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна \(P=m\left(\frac{\nu^2}{L}-g\right)\), где m - масса воды в килограммах, v - корость движения ведёрка в м/с, L - длина верёвки в метрах, g - ускорение свобрдного падения (считайте \(g=10м/c^2\)). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 44,1 см? Ответ выразите в м/с.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону \(H\left(t\right)=H_0-\sqrt{2gH_0}kt+\frac{g}{2}k^2t^2\), где t - время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, \(H_0=5м\) - начальная высота столба воды, \(k=\frac{1}{1000}\) - отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g - ускорение свободного падения (считайте \(g=10\ м/с^2\)). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону \(H\left(t\right)=at^2+bt+H_0\), где \(H_0=6\ м\) - начальный уровень воды, \(a=\frac{1}{600}\ м/мин^2\), и \(b=-\frac{1}{5}\ м/мин\) - постоянные параметры, t - время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой \(y=ax^2+bx\), где \(a=-\frac{1}{280}м^{-1}\), \(b=\frac{4}{7}\) - постоянные, х(м) - смещение камня по горизонтали, у(м) - высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 9м нужно расположит машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры от времени работы: \(T\left(t\right)=T_0+bt+at^2\), где t - время в минутах, \(T_0=1350\ K\), \(a=-7,5K/мин^2\), \(b=105K/мин\). Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1650 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Черех какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону \(\varphi=\omega t+\frac{\beta t^2}{2}\), где t - время в минутах, \(\omega=45^{\ о}/мин\) - начальная угловая скорость вращения катушки, а \(\beta=6\ ^о/мин^2\) - угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки \(\varphi\) достигнет 1350^о. Определите время после начала рабты лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью \(\nu_0=65\ км/ч\), выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением \(a=40\ км/ч^2\). Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением \(S=\nu_0t+\frac{at^2}{2}\), где t - время в часх. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 60 км от города. Ответ выразите в минутах.

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью \(\nu_0=30\ м/с\), начал торможение с постоянным ускорением \(a=5\ м/с^2\). За t секунд после начала торможения он прошел путь \(S=\nu_0t-\frac{at^2}{2}\left(м\right)\). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 80 метров. Ответ выразите в секундах.

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой m=3кг и радиуса R=10cм, и двух боковых с массами М=1кг и м радиусами R+h. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в \(кг\cdotсм^2\), даётся формулой \(I=\frac{\left(m+2M\right)R^2}{2}+M\left(2Rh+h^2\right)\). При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения \(775\ кг\cdotсм^2\)? Ответ выразите в сантиметрах.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: \(F_A=\rho gl^3\), где l - длина ребра куба в метрах, \(\rho=1000\ кг/м^3\) - плотность воды, а g - ускорение свободного падения (считайте \(g=9,8H/кг\)). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 153125 Н? Ответ выразите в метрах.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: \(F_A=\alpha\rho gr^3\), где \(\alpha=4,2\) - постоянная, r - радиус аппарата в метрах, \(\rho=1000\ кг/м^3\) - плотность воды, а g - ускорение свободного падения (считайте \(g=10\ H/кг\)). Какой может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 141750 Н? Ответ выразите в метрах.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому \(P=\sigma ST^4\ \frac{Вт}{м^2\cdotК^4}\), где Р - мощность излучения звезды ( в ваттах), \(\sigma=5,7\cdot10^{-8}\) - постоянная, S - площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а Т - температура (в кльвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \(\frac{1}{9}\cdot10^{20}\ м^2\), а мощность её излучения равна \(5,13\cdot10^{25}\ Вт\). Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле \(R=r_{пок}-\frac{r_{пок-}r_{экс}}{\left(K+1\right)\frac{0,02К}{r_{пок}+0,1}}\), где \(r_{пок}\) - средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1), \(r_{экс}\) - оценка магазина, данная экспертами (от 0 до 0,7), К - число покупателей, оценивавших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина "Бета", если число покупателей, оставивиших отзыв о магазине, равно 10, их средняя оценка равна 0,9, а оценка экспертов равна 0,57.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных изданий на основе показателей инфорамтивности In, оперативности Ор и объективности Tr публикаций. Каждый показатель - целое число от -4 до 4. Составители рейтинга считают, что информативность публикаций ценится втрое, а объективность - вдвое дороже, чем оперативность. Таким образом, формула приняла вид \(R=\frac{3In+Op+2Tr}{A}\). Найдите, каким должно быть число А, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг 20.