Задачи из ЕГЭ (профильный уровень), задача 10

Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры:  \(P=\sigma ST^4\), где \(\sigma=5,7\cdot10^{-8}\) - числовой коэффициент, площадь измеряется в квадратных метрах, температура - в градусах Кельвина, а мощность в ватах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь \(S=\frac{1}{81}\cdot10^{12}\ \left(м^2\right)\), а излучаемая ею мощность Р не менее \(46,17\cdot10^{21}\ \left(Вт\right)\). Определите наименьшую возможную температуру этой звезды в градусах Кельвина.

Операционная прибыль предприятия в краткосрочном периоде вычисляется по формуле: \(\pi\left(q\right)=q\left(p-v\right)-f\) . Компания продает свою продукцию по цене \(p=500\) руб. за штуку, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют \(v=300\) руб. за штуку, постоянные расходф предприятия \(f=400000\) руб. в месяц. Определите наименьший месячный объем произвлдства \(q\) (шт.), при котором прибыль предприятия будет не меньше 300000 руб.в месяц.

После дождя уровень воды в колодце может повысится. Мальчик определяет его, измеряя время падения \(t\) небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле \(h=-5t^2\), где \(t\) измеряется в секундах, а \(h\) - в метах. До дождя время падения камушков составляло 1,4 с. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше чем на 0,1 с? Ответ выразите в м.

Высота над землей пдброшенного вверх мяча меняется по закону \(h\left(t\right)=1+11t-5t^2\), где \(t\) измеряется в секундах, а \(h\) - в метрах. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте более трех метров?

При вращениии ведерка с водой на веревке в вертикальной плоскости сила давления воды на дно не остается постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила ее давления на дно будет положительной во всех точках траектории. В верхней точке сила давления равна \(P=m\left(\frac{v^2}{L}-g\right)\), где m - масса воды в килограмах, \(v\) - скорость движения ведерка в м/с, \(L\) - длина веревки в метрах, \(g=10\ \frac{м}{с^2}\) - ускорение свободного падения. С какой минимальной скоростью надо вращать ведерко, чтобы вода не выливалась из него, если длина веревки равна 202,5 м? Ответ выразите в м/с.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону \(H\left(t\right)=H_0-\sqrt{2gH_0}kt+\frac{g}{2}k^2t^2\), где \(t\) - прошедшее время (в секундах), \(H_0\)=20 м - начальная высота столба воды, \(k=\frac{1}{600}\) - отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а \(g=10\ \frac{м}{с^2}\) - ускорение свободного падения. К какому моменту времени в баке останется не более чем четверть первоночального объема? Ответ выраэите в секундах.

Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Траектория полета камня в системе координат, связанной с машиной, описывается формулой \(y=ax^2+bx\), где \(a=-\frac{1}{25}\ м^{-1}\), \(b=\frac{7}{5}\) - постоянные параметры, \(x\) - расстояние от машины до камня, считаемое по горизонтали, \(y\) - высота камня над землей. На каком наибольшем расстоянии от крепостной стены высотой 9 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над ней на высоте не менее 1 метра? Ответ выразите в метрах.