Проверочная работа по теме "Задачи на поразрядную конъюнкцию и отрезки " (ЕГЭ-15)
Список вопросов теста
Вопрос 1
На числовой прямой даны два отрезка: P = [254; 800] и Q = [410; 823]. Найдите наименьшую возможную длину отрезка A, при котором формула
((x ∈ P) ∧ ¬(x ∈ A)) → (x ∈ Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых x.
Вопрос 2
На числовой прямой даны два отрезка: P = [117; 158] и Q = [129; 180]. Найдите наименьшую возможную длину отрезка A, при котором формула
(x ∈ P) → ( ((x ∈ Q) ∧ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ P)) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых x.
Вопрос 3
Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = { 1, 2, 3, 4 } и Q = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Известно, что выражение
¬(x ∈ A) → (¬(x ∈ P) ∨ ¬(x ∈ Q))
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.
Вопрос 4
Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение
(( (X & 13 ≠ 0) ∨ (X & A = 0)) → (X & 13 ≠ 0)) ∨ (X & A ≠ 0) ∨ (X & 39 = 0)
тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?
Вопрос 5
На числовой прямой даны два отрезка: P=[35,55] и Q=[45,65]. Определите наименьшую возможную длину отрезка A, при котором формулы
(x ∈ P) → (x ∈ А)
(x ∉ A) → (x ∉ Q)
тождественно истинны, то есть принимают значение 1 при любом значении переменной х.
Вопрос 6
Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14 & 5 = 11102 & 01012 = 01002 = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула
(x & 29 ≠ 0) → ((x & 17 = 0) → (x & А ≠ 0))
тождественно истинна (т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?