Отработка задач 15, 17, 25, 24 из ЕГЭ часть 17

На числовой прямой даны два отрезка: P = [13; 19] и Q = [17; 23]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула

¬(¬(x ∈ P) → (x ∈ Q)) → ((x ∈ A) →(¬(x ∈ Q)→(x ∈ P)))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых x.

- На числовой прямой даны три отрезка: P = [5, 280], Q = [295, 400] и R = [375, 450]. Какова наименьшая длина отрезка A, при котором формула

((x ∈ Q) → (x ∈ P)) ∨ (¬(x ∈ A) → (x ∈ R))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х?

- Элементами множеств А, P, Q являются натуральные числа, причём P={1,3,4,9,11,13,15,17,19,21}, Q={3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}. Известно, что выражение

((x ∈ P) → (x ∈ A)) ∨ ((x ∉ A) → (x ∉ Q))

истинно (т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное произведение элементов в множестве A.

Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14&5 = 1110₂&0101₂ = 0100₂ = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

x&39 = 0 ∨ (x&11 = 0 → ¬(x&А = 0))

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?

- Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Определите наибольшее натуральное число A из интервала [43, 55] такое, что выражение

((x & 17  ≠ 0) → ((x & A ≠ 0) → (x & 58 ≠ 0))) → ((x & 8  = 0) ∧ (x & A ≠ 0) ∧ (x & 58  =  0))

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной x)?

- Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m»; и пусть на числовой прямой дан отрезок B = [70; 80].

Cколько существует натуральных чисел А, для которых формула

ДЕЛ(x, A) ∨ ((x ∈ B) → ¬ДЕЛ(x, 18))

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, 2) → ¬ДЕЛ(x, 3)) \/ (x + A ≥ 100)

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение

(x + y ≤ 32) ∨ (y ≤ x + 4) ∨ (y ≥ A)

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1) при любых целых положительных х и y?

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение (A > y) ∨ (3x + 2y > 53) ∨ (A > x) тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

- В файле содержится последовательность целых неотрицательных чисел, не превышающих 10000. Определите количество пар элементов последовательности, в которых либо сумма элементов кратна 18, либо произведение элементов кратно 18. В ответе запишите два числа: сначала количество найденных пар, затем максимальную сумму элементов этих пар через пробел. В данной задаче под парой подразумевается два различных элемента последовательности.

Файлы к заданию:17 (2).txt

- В файле содержится последовательность целых неотрицательных чисел, не превышающих 10000. Определите количество пар элементов последовательности, в которых запись хотя бы одного элемента из двух состоит только из четных цифр, а сумма текущей пары больше максимального элемента последовательности, состоящего только из нечетных цифр. В ответе запишите два числа через пробел: сначала количество найденных пар, затем максимальную сумму элементов этих пар. В данной задаче под парой подразумевается два идущих подряд элемента последовательности.

Файлы к заданию:17.txt

В файле содержится последовательность целых чисел. Элементы последовательности могут принимать целые значения от –100 000 до 100 000 включительно. Определите количество пар последовательности, в которых хотя бы одно число является трёхзначным неотрицательным, а сумма элементов пары кратна максимальному двухзначному элементу последовательности. В ответе запишите количество найденных пар, затем максимальную из сумм элементов таких пар. В данной задаче под парой подразумевается два идущих подряд элемента последовательности.

Файлы к заданию:17.txt

В файле содержится последовательность натуральных чисел. Элементы последовательности могут принимать целые значения от 1 до 10 000 включительно. Определите количество пар последовательности, в которых только одно число является двухзначным, а сумма элементов пары кратна максимальному двухзначному элементу последовательности. В ответе запишите количество найденных пар, затем максимальную из сумм элементов таких пар. В данной задаче под парой подразумевается два идущих подряд элемента последовательности.

Файлы к заданию:17.txt

-Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Найдите все натуральные числа, не превышающие 10¹⁰, которые соответствуют маске 1?2*0*2?1 и при этом содержат ровно три делителя. В ответе запишите сумму найденных чисел.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:   

- символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

- символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Найдите все натуральные числа, не превосходящие 10⁹, для которых выполнены все условия:

- соответствуют маске *31*65?;

- делятся на 31 и 2031 без остатка;

- количество делителей числа является результатом любой степени двойки

В ответе запишите сумму найденных чисел.

- Текстовый файл состоит не более чем из 10⁶ символов и содержит только буквы латинского алфавита и десятичные цифры. Найдите максимальную длину подстроки, ограниченной с двух сторон одним и тем же символом и не содержащей этого символа между ними. В ответе укажите длину найденной строки, включая граничные символы. Например, для строки ABCDABECD ответом будет 6.

Файлы к заданию:24.txt

- Текстовый файл состоит не более чем из 10⁶ латинских букв и десятичных цифр. Определите максимальную длину цепочки символов, состоящей из повторяющихся фрагментов XA, XY, TXA в любом порядке. В ответ укажите найденную длину.

Файлы к заданию:24.txt

Текстовый файл состоит из символов D, R и цифр 1, 8.

Определите максимальное количество идущих подряд троек символов вида двузначное число + буква в прилагаемом файле.

Для выполнения этого задания следует написать программу.

Файлы к заданию:24.txt

Текстовый файл состоит не более, чем из 1 200 000 прописных символов латинского алфавита. Определите максимальное количество идущих подряд символов, среди которых любые два символа из набора Q, R, S в различных комбинациях (с учётом повторений) не стоят рядом.

Для выполнения этого задания следует написать программу.

Файлы к заданию:24.txt

Текстовый файл состоит из букв латинского алфавита и десятичных цифр. Определите максимальную длину подстроки, которая ограничена с одной стороны буквой A, а с другой - D и не содержит других букв A и D внутри.

Файлы к заданию:24.txt