Олимпиада

Найдите наименьшее натуральное число, которое можно получить при подстановке натуральных чисел вместо переменных в следующее выражение 13x 2 + y 2 + z 2 − 4xy − 6xz + y

Фонари располагаются на плоскости, освещая все точки угла южнее и западнее себя. (То есть фонарь в точке с координатами (a, b) освещает точки (x, y) с координатами x ≤ a и y ≤ b.) На плоскость уже выставили 2018 синих фонарей, поместив их в различные точки. Можно ли дорасставить на плоскости 2017 красных фонарей, так что любая точка плоскости, освещённая ровно k > 0 синими фонарями, будет освещена ровно k − 1 красным фонарём? (Красные фонари можно располагать в точки, занятые другими фонарями, предполагая, что это не мешает освещению).

Треугольник ABC, в котором AB > AC, вписан в окружность с центром в точке O. В нём проведены высоты AA0 и BB0 , и BB0 повторно пересекает описанную окружность в точке N. Пусть M — середина отрезка AB. Докажите, что если ∠OBN = ∠NBC, то прямые AA0 , ON и MB0 пересекаются в одной точке.

Из натурального числа n разрешается получить либо число n 2 + 2n, либо число n 3 + 3n 2 + 3n. Два натуральных числа называются совместимыми, если из них можно получить одно и то же число с помощью некоторого количества таких операций. Найдите все числа, совместимые с числом 2018.

На плоскости задан конечный набор равных кругов. Известно, что для любых 4 кругов есть прямая, пересекающая некоторые 3 из них. Докажите, что существует 12 прямых, таких что каждый круг пересекается хотя бы с одной из них