ЕГЭ 19-21 Одна куча

Павел и Виталий играют в одну игру.

Смысл игры заключается в следующем:

1) Перед игроками лежит одна куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Павел.

2) За один ход игрок может добавить в кучу 1 камень или увеличить количество камней в куче в 3 раза. Для этого у каждого мальчика есть неограниченный запас камней.

3) Игра завершается тогда, когда количество камней в куче стало не менее 37.

4) Победителем является тот игрок, который сделал последний ход и получил сумму камней в куче, равную 37 или больше.

Пример: имея кучу из 10 камней, за один ход игрок может получить кучу из 11 или 30 камней.

В начальный момент в куче было N камней в диапазоне [1, 36].

Примечание. Игрок обладает выигрышной стратегией, если у него есть возможность выиграть, набрав нужную сумму камней в куче при любых ходах противника.

Мы знаем, что Виталий выиграл своим первым ходом после любого первого хода Павла. Определите минимальное начальное количество камней в куче, при которой возможна такая ситуация.

1-20 Павел и Виталий играют в одну игру.

Смысл игры заключается в следующем:

1) Перед игроками лежит одна куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Павел.

2) За один ход игрок может добавить в кучу 1 камень или увеличить количество камней в куче в 3 раза. Для этого у каждого мальчика есть неограниченный запас камней.

3) Игра завершается тогда, когда количество камней в куче стало не менее 37.

4) Победителем является тот игрок, который сделал последний ход и получил сумму камней в куче, равную 37 или больше.

Пример: имея кучу из 10 камней, за один ход игрок может получить кучу из 11 или 30 камней.

В начальный момент в куче было N камней в диапазоне [1, 36].

Примечание. Игрок обладает выигрышной стратегией, если у него есть возможность выиграть, набрав нужную сумму камней в куче при любых ходах противника.

Найдите два значения N, при которых у Павла есть выигрышная стратегия, при условии, что параллельно выполняются два условия:

— Павел не может выиграть за один ход;

— Павел может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Виталий.

Найденные значения запишите в ответ в порядке возрастания без разделителей.

Если значений больше двух, в ответ запишите сначала наименьшее значение, за ним наибольшее без разделителей.

1-21

Павел и Виталий играют в одну игру.

Смысл игры заключается в следующем:

1) Перед игроками лежит одна куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Павел.

2) За один ход игрок может добавить в кучу 1 камень или увеличить количество камней в куче в 3 раза. Для этого у каждого мальчика есть неограниченный запас камней.

3) Игра завершается тогда, когда количество камней в куче стало не менее 37.

4) Победителем является тот игрок, который сделал последний ход и получил сумму камней в куче, равную 37 или больше.

Пример: имея кучу из 10 камней, за один ход игрок может получить кучу из 11 или 30 камней.

В начальный момент в куче было N камней в диапазоне [1, 36].

Примечание. Игрок обладает выигрышной стратегией, если у него есть возможность выиграть, набрав нужную сумму камней в куче при любых ходах противника. 

Найдите значение N, при котором параллельно выполняются два условия:

— у Виталия есть стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Павла;

— у Виталия нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

2-19 

Павел и Виталий играют в одну игру. 

Смысл игры заключается в следующем: 

1) Перед игроками лежит одна куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Павел.

2) За один ход игрок может добавить в кучу 1 камень или увеличить количество камней в куче в 4 раза. Для этого у каждого мальчика есть неограниченный запас камней.

3) Игра завершается тогда, когда количество камней в куче стало не менее 65.

4) Победителем является тот игрок, который сделал последний ход и получил сумму камней в куче, равную 65 или больше.

Пример: имея кучу из 10 камней, за один ход игрок может получить кучу из 11 или 40 камней.

В начальный момент в куче было N камней в диапазоне [1, 64].

Примечание. Игрок обладает выигрышной стратегией, если у него есть возможность выиграть, набрав нужную сумму камней в куче при любых ходах противника.

Мы знаем, что Виталий выиграл своим первым ходом после неудачного хода Павла. Определите минимальное начальное количество камней в куче, при котором возможна такая ситуация.

2-20 

Павел и Виталий играют в одну игру. 

Смысл игры заключается в следующем: 

1) Перед игроками лежит одна куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Павел.

2) За один ход игрок может добавить в кучу 1 камень или увеличить количество камней в куче в 4 раза. Для этого у каждого мальчика есть неограниченный запас камней.

3) Игра завершается тогда, когда количество камней в куче стало не менее 65.

4) Победителем является тот игрок, который сделал последний ход и получил сумму камней в куче, равную 65 или больше.

Пример: имея кучу из 10 камней, за один ход игрок может получить кучу из 11 или 40 камней.

В начальный момент в куче было N камней в диапазоне [1, 64].

Примечание. Игрок обладает выигрышной стратегией, если у него есть возможность выиграть, набрав нужную сумму камней в куче при любых ходах противника.

Найдите два значения N, при которых у Павла есть выигрышная стратегия, при условии, что параллельно выполняются два условия:

— Павел не может выиграть за один ход;

— Павел может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Виталий.

Найденные значения запишите в порядке возрастания без пробелов и разделителей.

2-21 

Павел и Виталий играют в одну игру. 

Смысл игры заключается в следующем: 

1) Перед игроками лежит одна куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Павел.

2) За один ход игрок может добавить в кучу 1 камень или увеличить количество камней в куче в 4 раза. Для этого у каждого мальчика есть неограниченный запас камней.

3) Игра завершается тогда, когда количество камней в куче стало не менее 65.

4) Победителем является тот игрок, который сделал последний ход и получил сумму камней в куче, равную 65 или больше.

Пример: имея кучу из 10 камней, за один ход игрок может получить кучу из 11 или 40 камней.

В начальный момент в куче было N камней в диапазоне [1, 64].

Примечание. Игрок обладает выигрышной стратегией, если у него есть возможность выиграть, набрав нужную сумму камней в куче при любых ходах противника.

Найдите значение N, при котором параллельно выполняются два условия:

— у Виталия есть стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Павла;

— у Виталия нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

3-19 

Два игрока, Полина и Вероника, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Полина. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. При этом нельзя повторять ход, который только что сделал второй игрок. Например, если в начале игры в куче 3 камня, Полина может первым ходом получить кучу из 4, 5 и 6 камней. Если Полина добавила 1 камень и получила кучу из 4 камней, то следующим ходом Вероника может либо добавить 2 камня, либо удвоить количество камней в куче. Чтобы делать ходы, у игроков есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 63. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, после которого количество камней в куче становится больше или равным 63.
В начальный момент в куче было S камней в диапазоне [1, 62].

Укажите такое значение S, при котором Полина не может выиграть за один ход, но при любом ходе Полины Вероника может выиграть своим первым ходом.

3-20 Два игрока, Полина и Вероника, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Полина. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. При этом нельзя повторять ход, который только что сделал второй игрок. Например, если в начале игры в куче 3 камня, Полина может первым ходом получить кучу из 4, 5 и 6 камней. Если Полина добавила 1 камень и получила кучу из 4 камней, то следующим ходом Вероника может либо добавить 2 камня, либо удвоить количество камней в куче. Чтобы делать ходы, у игроков есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 63. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, после которого количество камней в куче становится больше или равным 63.
В начальный момент в куче было S камней в диапазоне [1, 62].
Определите минимальное и максимальное значения S, при которых у Полины есть выигрышная стратегия, при этом одновременно выполняются два условия:
— Полина не может выиграть за один ход;
— Полина может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Вероника.
Найденные значения укажите в порядке возрастания без разделителей.

3-21 Два игрока, Полина и Вероника, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Полина. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. При этом нельзя повторять ход, который только что сделал второй игрок. Например, если в начале игры в куче 3 камня, Полина может первым ходом получить кучу из 4, 5 и 6 камней. Если Полина добавила 1 камень и получила кучу из 4 камней, то следующим ходом Вероника может либо добавить 2 камня, либо удвоить количество камней в куче. Чтобы делать ходы, у игроков есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 63. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, после которого количество камней в куче становится больше или равным 63.
В начальный момент в куче было S камней в диапазоне [1, 62].
Найдите наименьшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
— У Вероники есть выигрышная стратегия, позволяющая ей выиграть первым или вторым ходом при любой игре Полины;
— У Вероники нет стратегии, которая позволит ей гарантированно выиграть первым ходом.