ЕГЭ 19-21 Две кучи

1-19 Полина и Вероника играют в игру, правила которой заключаются в следующем:

1) Перед игроками лежат две кучи камней. Первый ход делает Полина.

2) За один ход игрок может добавить в меньшую кучу любое количество камней от одного до количества камней в этой куче включительно. Изменять количество камней в большей куче не разрешается. Если кучи содержат равное количество камней, то добавлять камни можно в любую из них. Для этого у каждого игрока есть неограниченный запас камней.

3) Игра завершается в тот момент, когда сумма количеств камней двух куч стала не менее 63.

4) Победителем является тот игрок, который сделал последний ход и получил сумму камней в кучах, равную 63 или больше. В начальный момент в каждой куче было N камней (значения необязательно равны); 1 ≤ N ≤ 55.

Пример: из набора (3, 5) за один ход можно получить кучи камней: (4, 5), (5, 5), (6, 5).

Примечание. Игрок обладает выигрышной стратегией, если у него есть возможность выиграть, набрав нужную сумму камней в кучах при любых ходах противника.

Известно, что Полина смогла выиграть первым ходом. Какое наименьшее число камней могло быть суммарно в двух кучах?

1-20 

Полина и Вероника играют в игру, правила которой заключаются в следующем: 

1) Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Полина.

2) За один ход игрок может добавить в одну кучу 1 камень или увеличить количество камней в куче в 2 раза. Для этого у каждого игрока есть неограниченный запас камней.

3) Игра завершается в тот момент, когда сумма камней двух куч стала не менее 44.

4) Победителем является тот игрок, который сделал последний ход и получил сумму, равную 44 или больше.

Пример: из набора (5, 10) за один ход можно получить кучи камней: (6, 10), (10, 10), (5, 11), (5, 20).

В начальный момент в первой куче было 2 камня, а во второй — S камней из диапазона [1, 41].

Примечание. Игрок обладает выигрышной стратегией, если у него есть возможность набрать нужную сумму камней в кучах для выигрыша при любых ходах противника.

Найдите максимальное значение S, при которых у Полины есть выигрышная стратегия, учитывая выполнение двух условий:

— Полина не может выиграть за один ход;

— Полина может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Вероника.

1-21 

Полина и Вероника играют в игру, правила которой заключаются в следующем: 

1) Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Полина.

2) За один ход игрок может добавить в одну кучу 1 камень или увеличить количество камней в куче в 2 раза. Для этого у каждого игрока есть неограниченный запас камней.

3) Игра завершается в тот момент, когда сумма камней двух куч стала не менее 44.

4) Победителем является тот игрок, который сделал последний ход и получил сумму, равную 44 или больше.

Пример: из набора (5, 10) за один ход можно получить кучи камней: (6, 10), (10, 10), (5, 11), (5, 20).

В начальный момент в первой куче было 2 камня, а во второй — S камней из диапазона [1, 41].

Примечание. Игрок обладает выигрышной стратегией, если у него есть возможность набрать нужную сумму камней в кучах для выигрыша при любых ходах противника.

Найдите минимальное значение S, при котором параллельно выполняются два условия:

— у Вероники есть стратегия, позволяющая ей выиграть первым или вторым ходом при любой игре Полины;

— у Вероники нет стратегии, которая позволит ей гарантированно выиграть первым ходом.

2-19 

Полина и Вероника играют в игру, правила которой заключаются в следующем:

1) Перед игроками лежат две кучи камней. Первый ход делает Полина.

2) За один ход игрок может добавить в меньшую кучу любое количество камней от одного до количества камней в этой куче включительно. Изменять количество камней в большей куче не разрешается. Если кучи содержат равное количество камней, то добавлять камни можно в любую из них. Для этого у каждого игрока есть неограниченный запас камней.

3) Игра завершается в тот момент, когда сумма количеств камней двух куч стала не менее 63.

4) Победителем является тот игрок, который сделал последний ход и получил сумму камней в кучах, равную 63 или больше. В начальный момент в каждой куче было N камней (значения необязательно равны); 1 ≤ N ≤ 55.

Пример: из набора (3, 5) за один ход можно получить кучи камней: (4, 5), (5, 5), (6, 5).

Примечание. Игрок обладает выигрышной стратегией, если у него есть возможность выиграть, набрав нужную сумму камней в кучах при любых ходах противника.

Известно, что Полина смогла выиграть первым ходом. Какое наименьшее число камней могло быть суммарно в двух кучах?

2-20 

Полина и Вероника играют в игру, правила которой заключаются в следующем:

1) Перед игроками лежат две кучи камней.

2) За один ход игрок может добавить в меньшую кучу любое количество камней от одного до количества камней в этой куче. Изменять количество камней в большей куче не разрешается. Если кучи содержат равное количество камней, то добавлять камни можно в любую из них. Для этого у каждого игрока есть неограниченный запас камней.

3) Игра завершается в тот момент, когда сумма количеств камней двух куч стала не менее 63.

4) Победителем является тот игрок, который сделал последний ход и получил сумму камней в кучах, равную 63 или больше. В начальный момент в куче было N камней; 
1 ≤ N ≤ 55.

В начальный момент в первой куче было 7 камней, а во второй быо S камней; 1 ≤ N ≤ 55.

Пример: из набора (3, 5) за один ход можно получить кучи камней: (4, 5), (5, 5), (6, 5).

Примечание. Игрок обладает выигрышной стратегией, если у него есть возможность выиграть, набрав нужную сумму камней в кучах при любых ходах противника.

Найдите два значения S, при которых у Полины есть выигрышная стратегия, при условии, что параллельно выполняются два условия:
— Полина не может выиграть за один ход;
— Полина может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Вероника.

Если значений больше, чем 2, в ответ запишите минимальное, а затем максимальное без пробела.

2-21 

Полина и Вероника играют в игру, правила которой заключаются в следующем:

1) Перед игроками лежат две кучи камней. Первый ход делает Полина.

2) За один ход игрок может добавить в меньшую кучу любое количество камней от одного до количества камней в этой куче. Изменять количество камней в большей куче не разрешается. Если кучи содержат равное количество камней, то добавлять камни можно в любую из них. Для этого у каждого игрока есть неограниченный запас камней.

3) Игра завершается в тот момент, когда сумма количеств камней двух куч стала не менее 63.

4) Победителем является тот игрок, который сделал последний ход и получил сумму камней в кучах, равную 63 или больше. 

В начальный момент в первой куче было 7 камней, а во второй было S камней; 1 ≤ S ≤ 55.

Пример: из набора (3, 5) за один ход можно получить кучи камней: (4, 5), (5, 5), (6, 5).

Примечание. Игрок обладает выигрышной стратегией, если у него есть возможность выиграть, набрав нужную сумму камней в кучах при любых ходах противника.

Найдите минимальное значение S, при котором параллельно выполняются два условия:

— у Вероники есть стратегия, позволяющая ей выиграть первым или вторым ходом при любой игре Полины;

— у Вероники нет стратегии, которая позволит ей гарантированно выиграть первым ходом.