15 задача ЕГЭ часть 3

На числовой прямой даны два отрезка: P=[2,10] и Q=[6,14]. Какова максимальная длина отрезка A, при выборе которого формула

((x ∈ А) → (x ∈ P)) ∨ (x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

На числовой прямой даны три отрезка: P=[10,25], Q=[15,30] и R=[25,40]. Какова максимальная длина отрезка A, при котором формула

((x ∈ Q) → (x ∉ R) ) ∧ (x ∈ A) ∧ (x ∉ P)

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х?

На числовой прямой даны два отрезка: P=[10,29] и Q=[13,18]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула

((x ∈ A) → (x ∈ P)) ∨ (x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

На числовой прямой даны два отрезка: P=[10,39] и Q=[23,58]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула

((x ∉ P) ∧ (x ∈ A)) → ((x ∈ Q)) ∧ (x ∈ A)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

На числовой прямой даны два отрезка: P = [25, 38] и Q = [39, 44]. Найдите наименьшую возможную длину отрезка A, при котором формула

(x ∈ P) ∧ ¬(¬(x ∈ Q) ∨ (x ∈A))

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любых x.

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = { 1, 2, 4, 8 } и Q = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Известно, что выражение

¬(x ∈ A) → ¬((x ∈ P) ∨ (x ∈ Q))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

¬((x ∈ {2, 4, 9, 10, 15}) ≡ (x ∈ A)) → ((x ∈ {3, 8, 9, 10, 20}) ≡ (x ∈ A))

истинно (т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное значение произведения элементов множества A.

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

((x ∈ {1, 3, 5, 7, 9, 11}) → ¬(x ∈ {3, 6, 9, 12})) ∨ (x ∈ A)

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14 & 5 = 1110₂ & 0101₂ = 0100₂ = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

(x & 25 ≠ 0) → ((x & 17 = 0) → (x & А ≠ 0))

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?

Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(X & 49 ≠ 0) → ((X & 33 = 0) → (X & A ≠ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Определите наибольшее натуральное число A, такое что выражение

(X & A ≠ 0) → ((X & 20 = 0) → (X & 5 ≠ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14 & 5 = 1110₂ & 0101₂ = 0100₂ = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

(x & 29 ≠ 0) → ((x & 12 = 0) → (x & А ≠ 0))

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение

(x² – 11x + 28 > 0) ∨ (y² – 9y + 14 > 0) ∨ (x² + y² > A)

тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых положительных x и y?

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение

(75 ≠ 2x + 3y) ∨ (A > 3x) ∨ (A > 2y)

тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, 7) → ¬ДЕЛ(x, 21)) ∨ (2x + A ≥ 120)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». ». При скольких целых неотрицательных значениях A формула

ДЕЛ(А, 25) ∧ (ДЕЛ(х, 24) ∧ ДЕЛ(х, 75) → ДЕЛ(х, А))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, 6) → ¬ДЕЛ(x, 14)) ∨ (x + A ≥ 70) ∧ ДЕЛ(A, 20)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

На числовой прямой даны два отрезка: P = [17; 54] и Q = [37; 83]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что логическое выражение  

(x ∈ P) → (((x ∈ Q) ∧ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ P)) 

 истинно (т.е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Найдите максимальное значение параметра А, при котором выражение

(2х + у ≠ 70) ∨ (x < y) ∨ (A < x)

истинно (т.е. принимает значение 1) при любых неотрицательных значениях x и у.

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». 

Для какого наименьшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x,3) → ¬ДЕЛ(x,5))∨(x+A≥70)

истинно (т.е. принимает значение 1) при любом целом натуральном значении переменной х.