Урок по теме "Арифметическая прогрессия. Решение задач" (урок обобщения и систематизации знаний) 9 класс

Открытый урок по теме

«Арифметическая прогрессия. Решение задач»

(урок обобщения и систематизации знаний)

в 9 классе

учитель математики Алексеева С.И.

“Дорогу осилит идущий, а математику - мыслящий”

Организация индивидуальной работы с учащимися – необходимое условие качественного математического образования. Поэтому учителю на уроке приходится решать задачу одновременного обеспечения успешности каждого учащегося: и слабоуспевающего, и с ярко выраженными математическими способностями.

Решение этой проблемы я вижу в использовании разноуровневого и индивидуального подходов к обучению математике, ориентированных на степень обученности, с учетом личностных особенностей обучающихся.

Важным моментом в процессе овладения знаниями обучающимися является их обобщение и систематизация. Для этих уроков подбираю такие задания, которые позволяют «разложить по полочкам» имеющуюся информацию, установить логические цепочки с ранее изученным материалом.

Цели и задачи урока:

• Повторение основных определений, формулировок по данной теме.

• Закрепление знаний, полученных при изучении темы.

• Проверка умений пользоваться основными формулами при решении задач.

• Формирование вычислительных навыков.

• Развитие самостоятельности и творчества.

• Формирование интереса к предмету.

• Воспитание эстетических качеств и умения общаться.

• Подготовка к итоговой работе по теме «Арифметическая прогрессия».

Ход урока:

1. Организационный момент. Приветствие обучающихся.

Сегодня на уроке:

ХОЧУ: я хочу пожелать Вам, ребята, увеличить объём своих знаний!

МОГУ: на уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться !

УМЕЮ: мы умеем применять с Вами рациональные способы для решения

задач!

ДЕЛАЮ: делаем каждый себе установку «Понять и быть тем первым,

который увидит ход решения», а вместе с Вами сегодня мы

движемся только вперед !

1. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА.

Прогрессия – латинское слово, означающее "движение вперед", было введено римским автором Боэцием.

В клинописных таблицах вавилонян в египетских пирамидах (второй век до н.э.) встречаются примеры арифметической прогрессии.

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Ариабхатта (5 в.) применял формулы общего числа, суммы арифметической прогрессии.

Но правило для нахождения суммы членов арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги Абака» в 1202 г. (Леонардо Пизанский).

3. ФРОНТАЛЬНЫЙ ОПРОС КЛАССА.

Вспомним теоретический материал.

Пожалуйста, дайте определение арифметической прогрессии; разности арифметической прогрессии (последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему сложенному с одним и тем же числом; это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается «d», из определения следует:

d = a2 - a1 = a 3 - a2 = a4 - a3 = …).

Вспомним формулу n-го члена прогрессии (an=a1+d(n-1)), характеристическое свойство прогрессии (каждый член последовательности начиная со второго есть среднее арифметическое между предыдущим и последующим членами прогрессии),

формулы суммы n первых членов прогрессии

какими бывают арифметические прогрессии?

Зная эти формулы и свойства, можно решить много интересных задач практического содержания!!!

Устная работа.

1. Найдите предыдущий и последующий члены прогрессии:

a₄; a_{n .}

_Ответ: a_{3 и} a_5; a_{n-1 и} a_n+1.

1. Является ли данная арифметическая прогрессия, конечной или бесконечной,

убывающей или возрастающей?

а) 3, 5, 7, 9, …

d = ? Ответ: 2.

б) -1, -2, -3, -4, …

d = ? Ответ: - 1.

1. Заполните свободные ячейки таблицы.

4) (a_n)- арифметическая прогрессия,

a₈= -5; a₁₀ = 1.

Найдите: a₁₁ . Ответ: 4

1. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА по теме (проверка выполнения домашней работы) с последующей взаимопроверкой (15 мин).

Внимание! Закончили решение самостоятельной работы! Сидящие за одной партой, обменяйтесь, пожалуйста, своими работами. Начинаем проверку!

«3» - верно решены 2 задания;

«4» - верно решены 3 задания;

«5» - выполнена вся работа.

1. РЕЛАКСАЦИОННАЯ ПАУЗА.

Ребята, внимание! Прошу всех встать и выйти из-за парт. Немного взбодримся, с помощью небольшой зарядки расслабим мышцы шеи. Я буду называть Вам один из предметов (дверь, доска, пол, потолок, окно), а Вы должны поворачивать голову в сторону этого предмета. Начинаем!

Почувствовали прилив сил, мыслей к голове? Отлично! Тогда

приступим к решению текстовых задач по теме.

1. ПРОГРЕССИИ В ЖИЗНИ И БЫТУ.

Предлагаю Вам решить следующие задачи:

Задача 1. Курс воздушных ванн начинают с 15 мин. в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 час 45 минут?

Ответ:10 дней

Задача 2. При хранении брёвен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в её основание положить 12 бревен?

Ответ: 78 брёвен.

Задача 3. Наследство. Джентльмен получил наследство. Первый месяц он истратил 1000$, а каждый следующий месяц он тратил на 500$ больше, чем в предыдущий. Сколько $ он истратил за второй месяц? За третий? Каков размер наследства, если денег хватило на год такой безбедной жизни?

Ответ: 45000 долларов.

Задача 4. Отцы и дети. Папа договорился с Наташей, что в субботу она будет учить английские слова. За первое выученное слово он разрешит ей играть на компьютере 2 минуты, а за каждое следующее выученное слово ей можно будет играть на компьютере на 3 минуты больше, чем за предыдущее. Сколько минут можно будет играть на компьютере Наташе в субботу, если она выучит 20 слов?

Ответ: 610 минут.

Задача 5. А экзамен никто не отменял!

Дана арифметическая прогрессия: 122; 111; 100;… . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

Ответ: a₁₃ = - 10.

Задача о делении хлеба. Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Ответ: 1 , 10 , 20, 29 , 38 .

Прогрессии в медицине. Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Ответ: 2 пузырька.

Старинная задача. 10 братьев, 5/3 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше? (1 мина = 60 шекелей)

Шекель серебра (монета массой около 11,4 грамма) служил стандартной денежной единицей на Ближнем Востоке.

Ми́на  — мера веса и счётно-денежная единица в странах Древнего Ближнего Востока, Древнем Египте и Древней Греции.

Ответ: d = - 1,6.

1. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.

«Проверь себя!» на стр. 115-116

1 уровень № 1; № 2.

2 уровень № 5; № 6; №8,

(по учебнику «Алгебра. 9 класс» авт. Ю.М.Колягин, М.В.Ткачёва, Н.Е.Фёдорова, М.И.Шабунин)

1. ЗАНИМАТЕЛЬНОЕ СВОЙСТВО АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

( при наличии времени)- предлагаю выполнить творческое задание.

Дана “стайка из девяти чисел”:

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19.

Она представляет собой арифметическую прогрессию. Кроме

того, данная стайка чисел привлекательна способностью

разместиться в девяти клетках квадрата 3х3 так, что

образуется магический квадрат с константой, равной 33.

Знаете ли Вы, что такое магический квадрат?

Квадрат, состоящий из 9 клеток, в него вписывают числа, так чтобы сумма

чисел по вертикали, горизонтали, диагонали была одним и тем же числом-

constanta.

Разместите эту стайку в девяти клетках

квадрата 3х3 так, чтобы образовался магический

квадрат с константой, равной 33.

Творческое задание: из каждых девяти последовательных членов любой арифметической прогрессии натуральных чисел можно составить магический квадрат. Составьте свой магический квадрат!

1. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА.

1. В течение урока мы повторили основные формулы арифметической прогрессии.

2. Показывали применение этих формул в стандартных и нестандартных ситуациях, тем самым вели подготовку к контрольной работе и успешной сдаче итоговой аттестации.

Прошу Вас, оцените свои знания и умения к концу урока (был ли урок полезен), уровень готовности к написанию итоговой работы по теме, своё эмоциональное состояние после урока.

Оставьте смайлик на доске или на листе (листы формата А4 положить на первые парты, а смайлики и расшифровка к ним включены в презентацию).

Крайний правый: “Я удовлетворён уроком, урок был полезен, я с пользой и хорошо работал, я понимал всё, о чём говорилось и что делалось на уроке”.

Средний: “Урок был интересен, я принимал в нём участие, урок, в определённой степени, был полезен для меня, я отвечал с места, сумел выполнить ряд заданий, мне было на уроке достаточно комфортно”.

Крайний левый: “Пользы от урока я получил мало, не очень понимал, о чём идёт речь, мне это не очень нужно, к ответу на уроке я был не готов”.

В конце урока мне бы хотелось привести одну цитату:

« Считать несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового, ничего не прибавил к своему образованию».

Ян Амос Каменский

Я искренне Вам желаю, чтобы каждый ваш день и час был очередной ступенью к новым знаниям, открытиям и свершениям!

Спасибо за сотрудничество!

Арифметическая прогрессия. Решение задач.

Урок обобщения и систематизации знаний

Учитель математики

Алексеева С.И.

“ Дорогу осилит идущий,

а математику - мыслящий”.

Сегодня на уроке:

ХОЧУ: я хочу пожелать Вам, ребята, увеличить объём своих знаний!

МОГУ : на уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться !

УМЕЮ : мы умеем применять с Вами рациональные способы для решения задач!

ДЕЛАЮ: делаем каждый себе установку «Понять и быть тем первым, который увидит ход решения» , а вместе с Вами сегодня мы движемся только вперед !

Цели урока:

• Повторение основных определений,

формулировок по данной теме.

• Закрепление знаний, полученных при

изучении темы.

• Проверка умений пользоваться основными

формулами при решении задач.

• Формирование вычислительных навыков.
• Развитие самостоятельности и творчества.
• Формирование интереса к предмету.

Историческая справка

Прогрессия – латинское слово, означающее"движение вперед", было введено римским автором Боэцием.

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым . Ариабхатта (5 в.) применял формулы общего числа, суммы арифметической прогрессии.

Правило для нахождения суммы членов арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги Абака» в 1202 г. (Леонардо Пизанский).

Арифметическая прогрессия (а n )

Прогрессия – это последовательность чисел.

Обозначается:

• a 1 ; a 2 ; a 3 ;…; a n ;… a 1 – первый член прогрессии a 2 - 2 ой ; a n – n-ый член последовательности, n- его номер.
• a 1 ; a 2 ; a 3 ;…; a n ;…
• a 1 – первый член прогрессии
• a 2 - 2 ой ; a n – n-ый член последовательности,
• n- его номер.

Разность арифметической прогрессии:

d = a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = …

Формула n го члена:

а n = a 1 + ( n – 1)∙ d

Сумма n первых членов прогрессии:

Свойство арифметической прогрессии

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.

0 , то прогрессия является возрастающей. Если в арифметической прогрессии разность d , то прогрессия является убывающей. Если в арифметической прогрессии d = 0 , то прогрессия является постоянной. Зная эти формулы и свойства, можно решить много интересных задач практического содержания!!!" width="640"

Какие бывают арифметические прогресcии?

Если в арифметической прогрессии разность d 0 , то прогрессия является возрастающей.

Если в арифметической прогрессии разность

d , то прогрессия является убывающей.

Если в арифметической прогрессии d = 0 , то прогрессия является постоянной.

Зная эти формулы и свойства, можно решить много

интересных задач практического содержания!!!

Устная работа:

• Найдите предыдущий и последующий члены прогрессии:

a 4 ; a n .

2) Является ли данная арифметическая прогрессия, конечной или бесконечной, убывающей или возрастающей?

а) 3, 5, 7, 9, …

d = ?

б) -1, -2, -3, -4, …

d = ?

Устная работа (продолжение)

3)

Заполните свободные ячейки таблицы.

4) ( a n )- арифметическая прогрессия,

a 8 = -5; a 10 = 1.

Найдите: a 11

a 1

3

a 2

1

d

n

?

a n

5

S n

?

?

Самостоятельная работа (а n ) – арифметическая прогрессия

Вариант - 1

Вариант -2

• а 1 = 5 , d = 3, а 7 - ?

1) а 4 = 11, d = - 2, а 1 -?

• а 7 = -5, а 32 = 70,

2) а 4 = 12,5, а 6 = 17,5

а 1 - ?

а 5 - ?

3) а 1 = 4, а 7 = -8,

3) а 1 = -3, а 2 = 4,

а 16 - ?

d -?

4) - 2; - 5; -8;… S 11 - ?

4) 2; 5; 8;… S 11 - ?

Проверь себя

Вариант - 1

Вариант - 2

• 17
• 17
• 17
• 17

• 23
• 23
• 23
• 23

• 15
• 15
• 15
• 15

• - 23
• - 23
• - 23
• - 23

• 102
• 102
• 102
• 102

• - 2
• - 2
• - 2
• - 2

• - 187
• - 187
• - 187
• - 187

• 187
• 187
• 187
• 187

Прогрессии в жизни и быту

Задача 1

Курс воздушных ванн начинают с 15 мин. в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 час 45 минут?

Задача 2

При хранении брёвен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в её основание положить 12 бревен?

Задача 3

Наследство

Джентльмен получил наследство. Первый месяц он истратил 1000$, а каждый следующий месяц он тратил на 500$ больше, чем в предыдущий. Сколько $ он истратил за второй месяц? За третий? Каков размер наследства, если денег хватило на год такой безбедной жизни?

Задача 4

Отцы и дети

Папа договорился с Наташей, что в субботу она будет учить английские слова. За первое выученное слово он разрешит ей играть на компьютере 2 минуты, а за каждое следующее выученное слово ей можно будет играть на компьютере на 3 минуты больше, чем за предыдущее. Сколько минут можно будет играть на компьютере Наташе в субботу, если она выучит 20 слов?

Задача 5

А экзамен никто не отменял! (№ 12, часть 1)

Дана арифметическая прогрессия:

122; 111; 100;… .

Найдите первый отрицательный член

этой прогрессии.

Задача о делении хлеба

Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Прогрессии в медицине

Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Старинная задача

10 братьев, 5/3 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше? (1 мина = 60 шекелей)

Шекель серебра (монета массой около 11,4 грамма) служил стандартной денежной единицей на  Ближнем Востоке .

Ми́на    — мера веса и  счётно-денежная  единица в странах  Древнего Ближнего Востока ,  Древнем Египте  и  Древней Греции .

Домашняя работа

«Проверь себя!» на стр. 115-116

1 уровень № 1; № 2.

2 уровень № 5; № 6; №8.

Занимательное свойство арифметической прогрессии

Дана “стайка девяти чисел”:

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19.

Она представляет собой арифметическую прогрессию . Кроме

того, данная стайка чисел привлекательна способностью

разместиться в девяти клетках квадрата 3х3 так, что

образуется магический квадрат с константой, равной 33.

Знаете ли вы, что такое магический квадрат?

Квадрат, состоящий из 9 клеток, в него вписывают числа, так чтобы сумма чисел по вертикали, горизонтали, диагонали была одним и тем же числом- constanta.

Разместите эту стайку в девяти клетках

квадрата 3х3 так, чтобы образовался магический

квадрат с константой, равной 33.

9

19

7

5

11

17

15

3

13

7

7

Замечание об арифметической прогрессии само по себе очень интересно. Дело в том, что из каждых девяти последовательных членов любой арифметической прогрессии натуральных чисел можно составить магический квадрат.

Я после урока

Крайний правый : “Я удовлетворён уроком, урок был полезен, я с пользой и хорошо работал, я понимал всё, о чём говорилось и что делалось на уроке”.

Средний : “Урок был интересен, я принимал в нём участие, в определённой степени, был полезен для меня, отвечал с места, сумел выполнить ряд заданий, на уроке было достаточно комфортно”.

Крайний левый : “Пользы от урока я получил мало, не очень понимал, о чём идёт речь, мне это не очень нужно, к ответу на уроке я был не готов”.

Продолжайте, ребята,

двигаться вперед

по дороге знаний ,

и это правильная дорога !