Статья_Тригонометрические уравнения для подготовки к ЕГЭ

1. Специфика работы с числовыми окружностями.

2. Способы освоения решения простейших уравнений по тригонометрии.

3. Способы решения более сложных тригонометрических уравнений.

4. Список полезной литературы и информационных источников

1. Специфика работы с числовыми окружностями

Числовая окружность – это единичная окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности. Единичной окружностью называют окружность радиуса 1. В 10-11 классах у учащихся необходимо сформировать знания и умения отмечать на числовой окружности точки, соответствующие числам (см. рисунок 1).

Рис. 1 Обозначение точек на числовой окружности

На первых уроках обучения решению тригонометрических уравнений необходимо включать в содержание задачи, которые:

• формируют у учащихся понимание особенностей записи корней в виде числовых серий,

• позволяют формировать устойчивые навыки работы с этими числовыми сериями.

1. Способы освоения решения простейших уравнений

Планирование обучения для освоения способов решения:

• с помощью числовой окружности;

• аналитически (без числовой окружности).

Это могут быть задания

• на вычисление длины дуги единичной окружности,

• на отыскание на числовой окружности точек

• на запись чисел, соответствующих данной точке окружности

• на составление аналитических записей для дуг числовой окружности,

• на изображение промежутков, заданных аналитической записью,

• на сравнение и объединение чисел.

Примерами таких заданий могут быть уравнения следующего вида:

Решение:

Решение:

Решение:

Решение:

Следует учесть, что при решении данных уравнений не понадобятся специальные познания значений и формул тригонометрических функций, помимо базовых понятий косинуса или синуса числа. Впоследствии это позволит уделить внимание учеников на самое значимое (правила записи серии числовых корней уравнения, причины, при которых уравнение не имеет решения, тренировка способности проводить проверку корней непосредственно). 

3. Способы решения более сложных тригонометрических уравнений.

В предыдущих пунктах были приведены решения простейших тригонометрических уравнений , К ним посредством тождественных преобразований или решением вспомогательного алгебраического уравнения сводятся более сложные тригонометрические уравнения, содержащие несколько тригонометрических функций одинаковых или различных аргументов.

Общий прием решения таких уравнений состоит в замене всех входящих в уравнение тригонометрических функций через одну функцию на основании формул, связывающих эти функции. При решении уравнения стремимся делать такие преобразования, которые приводят к уравнениям, равносильным данному. В противном случае нужно сделать проверку полученных корней. Потеря корней является распространенной грубой ошибкой. Другими такими ошибками являются неточное знание формул решений простейших уравнений, а также неумение правильно найти нужное значение аркфункции.

Пример решения следующий:

Решение:

или

Ответ:

4. Информационные ресурсы

Для преподавателя при изложении учебного подготовительного материала по теме тригонометрических уравнений.

1. ЕГЭ. Математика. 3300 задач. Профильный уровень. Закрытый сегмент / Ященко И. В., Захаров П. И., Высоцкий И. Р.; под ред. Лаппо Л. Д. - Издательство: Экзамен, 2015.

2. ЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни / Высоцкий И. Р., Ященко И. В., Забелин А. В. - Издательство: Экзамен, 2015

3. Математика. Решение заданий повышенного и высокого уровня сложности. Как получить максимальный балл /
   Семенов А. В., Ященко И. В., Трепалин А. С. - Издательство: Интеллект-Центр, 2015.