Решение тригонометрических уравнений введением новой переменной, применением формул.

Абитуриент, проверь себя!

(характерные ошибки и разбор методов решения),

На вступительных экзаменах по математике встречаются задания, в которых требуется решить уравнение. К решению уравнений в конечном итоге сводится многие геометрические и текстовые задачи. Процесс решения уравнения, как правило, состоит в последовательной замене сложного уравнения более простым или в замене совокупностью уравнений (неравенств, систем). Основной источник ошибок при решений уравнений – это потеря корней и появление новых корней, не являющихся решением исходного уравнения.

1.Иррациональные уравнения:

Пример1. Решить уравнение

Решение. Возведем обе части данного уравнения в квадрат. Получим уравнение х²+х – 5 = х-1 или х²-4 = 0. Находим корни х ₁ = 2 и х ₂ = -2. Подставляя решение в исходное уравнение, замечаем, что корень х₂ = -2 не является его решением, так как при х = -2 правая часть уравнения не определена. Дело в том, что возведение в квадрат привело нас к уравнению, которое не будет равносильно исходному. Таким образом, не сделав проверку, мы бы решили задачу неправильно.

Ответ. х=2

Пример 2.Решить уравнение - х+1 =0,

Решение. О.Д.З. х-2, х₁=. Оба корня удовлетворяет О.Д.З., но только один корень удовлетворяет дополнительному ограничению х1, поэтому

Ответ:

Ошибки:

* неправильно указано или не указано О.Д.З. Не учтено, что выражение под знаком корня четной степени должно быть неотрицательным;

* не учтено, что квадратный арифметический корень – неотрицательная величина, то он определен только для неотрицательных чисел;

* при возведении уравнения в квадрат не учтены знаки обеих его частей;

2.Дробно – рациональные уравнения:

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. При х = 0 левая часть уравнения превращается в нуль, а правая часть отлична от нуля. Следовательно, х0. Разделим числитель и знаменатель каждого из дробных членов левой части уравнения на х

Предположим, 4х+. Тогда данное уравнение преобразуется к виду

, откуда получим корни. Подставим эти значения в выражение для у, найдем корни заданного уравнения.

Ответ: х₁ = х₂ =

Пример 2. Решить уравнение: ;

Решение. О.Д.З. х-1, х1. Приведем дроби к общему знаменателю и отбросим знаменатель 2х(х+1) – (3х+1) -3(х-1) = 0, 2х² -4х + 2 = 0, х²+2х+1=0,

(х-1)² = 0, х₁ = х₂ = 1, но х=1О,Д,З

Ответ: решений нет.

Ошибки:

*при получении ответа не учитывается О.Д.З.

* нерациональность в приведении к общему знаменателю;

Ошибка, общий знаменатель не должен обращаться нуль, х -1, х1 не входят в О.Д.З. поэтому ответ: решений нет.

3.Алгебраические уравнения и неравенства.

Пример 1. Решить неравенство: –х² - 5х - 60

Решение. Нужно отметить значения х, при которых график находится выше оси Ох. Приравнивая к нулю, находим нули функции. Следовательно, получаем ответ: -3х-2

Ошибки:

* неправильно изображен график квадратного трехчлена;

* неправильно определены значения аргумента, при которых неравенство выполняется;

* неверно использована теорема Виета и формула для нахождения корней;

Пример2. Решить неравенство: х²-2х0

Решение. График функции у = х² -2х – парабола, ветви направлены вверх. Находим нули функции, решая уравнение х²-2х = 0, х₁ = 0, х₂ = 2, график нашей функции проходит через эти точки.

х

0 ˚ ˚2

Ответ: (-; 0)(2;+ )

Ошибки:

* деление на выражение, содержащее неизвестную величину;

* неправильно включены или не включены концы интервалов в

окончательный ответ.

Уравнения с модулем: = 4, если х1, тогда уравнение

примет вид:

х -1 = 4, х = 5, если х1, тогда уравнение примет вид

-х + 1 = 4, х = -3.

Ответ: -3; 5.

Ошибки:

*при снятии знака модуля не учтено, при каких условиях был

получен соответствующий корень;

* неправильно снят знак модуля, неверно использовано определение

модуля;

Текстовые задачи:

а) задачи на движение

Ошибки:

* неправильно введены неизвестные величины: введены неизвестные

величины, с помощью которых невозможно или трудно получить

ответ;

* неправильно поняты термины «позже», «раньше» и т.д.

* неправильно применены формулы средней скорости, пути;

* не учитывается, что скорость не может быть отрицательной;

* при выполнении преобразовании с величинами в разных единицах

Классификация по типам преобразования:

* неправильно раскрыли скобки;

* при переносе слагаемых из одной части в другую часть уравнения

или неравенства не сменили его знак на противоположный;

* неправильно привели подобные;

* неправильный порядок действий;

* неправильное применение формул сокращенного умножения;

* перепутаны степень и коэффициенты;

* разложение на множители или тождественные преобразования

иррациональных выражений;

* алгебраические ошибки при сложении и вычитании чисел с

одинаковыми и разными знаками, с дробями.

Грубые ошибки допускают при выполнении заданий базового уровня сложности по темам:

* преобразование логарифмических выражений;

* решение логарифмических неравенств с основаниями 0а1;

* в формулах приведения получили неверный знак или функцию;

* неправильное преобразование сложной функции;

* использование неправильной области определения или свойств

функции sinx, cosx;

Учащиеся допускают ошибки в преобразовании разности логарифмов, частного, элементарных методов исследования свойств функций.

В перспективе на основе проделанной работы можно создать систему контроля и оценки уровня знаний учащихся.

Преподаватель математики: Сулейменова

Организация самостоятельной работы обучающихся, имеющих ярко выраженный тип темперамента.

Психологическая служба внедряется в учебно-воспитательный процесс. В учебных заведениях сейчас введена в штатное расписание должность психолога. Это не случайно, так как знание психологии обучающегося, особенностей его нервной деятельности помогает преподавателю повысить результативность обучения.

Рассмотрим некоторые особенности организации самостоятельной работы с обучающимися, имеющими ярко выраженный тип нервной деятельности (темперамент).

Преподавателям хорошо известно, что обучающиеся с разными темпераментами различным образом воспринимают одно и то же задание, по-разному приступают к его выполнению.

Обучающиеся, отличающиеся быстротой реакции, молниеносно реагирующие на все, в том числе и на отвлекающие факторы (речь идет о сангвиниках и, в особенности, о холериках), могут начать отвлекаться уже при первичном прочтении задания, если они сразу чего-то в нем не уяснили.

Поэтому при организации самостоятельной работы преподаватель должен обратить внимание, прежде всего на таких обучающихся, не дав им возможности переключиться на другое. Для холериков в особенности характерно то, что их мысли и действия чаще всего находятся в соответствии. Они не слушают, но если они слушают или читают, то их внимание сконцентрировано на этом занятии. Если преподаватель в начале самостоятельной работы корректировал их действия, то в дальнейшем, он может не беспокоиться за решение задания.

Обучающиеся, отличающиеся медлительностью умственных действий (флегматики и в особенности меланхолики), не сразу переключаются на другой вид работы. Они вроде бы слушают внимательно, но на самом деле думают о последствиях, которые вызовет эта отметка в дальнейшем.

При организации самостоятельной работы с флегматиками и меланхоликами преподаватель должен провести краткую беседу, например:

- У тебя неважная оценка за прошлую работу, но ничего страшного нет. Будь внимательнее, читай задание, мобилизуйся, и ты справишься с этой работой.

- Ты понял условие задачи, как надо решать эту задачу?

Такие маленькие беседы помогают установить соответствие между собственными мыслями и требуемыми действиями.

Обучающиеся, у которых тип темперамента приближается к ярко выраженному меланхолико - флегматическому или к холерико - сангвиническому полезнее предлагать самостоятельные работы по индивидуальным карточкам - заданиям.

В своей работе все самостоятельные, контрольные работы провожу по вариантам, составляю по 32 варианта. В каждом варианте есть задания с одной звездочкой или две, обучающиеся знают, что задания со звездочками это на «хорошо» или «отлично».

Рассмотрим пример по теме «Приращение функции» всей группы:

1.Найдите приращение функции f в точке х_0, если f(х) = 3/х, х₀=2, Δх = 0,1.

2.Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции у =2х², если секущая

проходит через точки с абсциссами х₁ = 0, х₂ =1. Какой угол при этом образует

секущая с осью Ох?

3.Найдите приращения Δх и Δf в точке х₀, если f(x) = sin²x, x₀= x=

Карточки - задания для холерика - сангвиническим темпераментом:

1. По формуле нахождения приращения функции f в точке х₀ найдите Δf, если f(x)=3/x и

х₀ = 2, Δх = 0,1.

2.По формуле нахождения углового коэффициента k секущей к графику функции

f(х) = 2х² при условии, что секущая проходит через точки с абсциссами х₁ = 0, х₂ =1.

Определите угол, который образует секущая с осью Ох.

3.Найдите приращения Δх и Δf в точке х₀, если f(x)= sin²x, x₀ = x=

Карточки – задания обучающихся, у которых чей темперамент приближается к меланхолико – флегматическому типу, текст заданий должен отличаться формулировками:

1.Выпишите формулы приращения функции Δf =?, приращения аргумента

Пользуясь этими формулами вычислите приращение функции Δf в точке х₀ для случая

f(x) = 2/x, x₀=1, Δx=0,1.

2.Выпишите формулу для нахождения углового коэффициента k секущей к графику

функции f(х). Обратите внимание на формулы для нахождения Δх и Δf во втором

задании. Воспользовавшись этими формулами, найдите значение k, если f(x)=3х²,

х₁=1, х₂=1,5.

3. Используя формулы для нахождения Δх и Δf, которые применялись в первом

задании, найдите Δх и Δf при х₀= х= если f(x) = cos²x.

Вывод:

* Следует отметить, что при всем многообразии видов самостоятельной работы

обучающихся, успех обусловлен определенными дидактическими условиями:

* Первое – наличие у обучающихся знаний, позволяющих понять цель задания,

его содержание и последовательность выполнения.

* Второе – присутствие в содержании задания нового материала, придающего

заданию исследовательское направление, вызывающего познавательный интерес

обучающегося и требующего самостоятельного решения.

* Третье – необходимость фиксации результатов самостоятельной работы

в записях, рисунках, чертежах, схемах.

* Четвертое – работа с учебником должна сочетаться с другими видами

самостоятельной работы на уроке.

* Пятое – самостоятельная работа обучающегося соответственным образом оценивается учителем в конце урока – это стимул для проявления старательности при выполнении заданий.

Форма организации труда влияет на его результат. Формы организации - это определенная расстановка участников учебного процесса, способы взаимодействия учителя и обучающегося. Самостоятельно он может работать один, вместе с небольшой группой или принимать участие в общей работе. Самостоятельная работа оказывает значительное влияние на глубину и прочность знаний по предмету, развитие их познавательных способностей, темп усвоения нового материала.

Литература:

1. Бабанский Ю.К. Оптимизация учебно-воспитательного процесса. - М.: Просвещение,

1982. - с.251-300.

2. Буряк В.К. Самостоятельная работа учащихся. – М.: Просвещение,1984.

3. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. – М.:

Просвещение, 1990.

5. Есипов Б.П. Самостоятельная работа учащихся на уроках. – М.: Учпедгиз, 1961.

6. Загородская Л.С. Домашняя контрольная работа //Математика в школе. - 1994.-

№ 5. - с.15.

7. Лисичкин В.Т. О самостоятельности учащихся //Математика. – 1993.- № 31-32 – С.1, 5.

8. Манвелов С.Г. Задания по математике на развитие самоконтроля учащихся. М.:

Просвещение, 1997.

9. Манвелов С.Г. Развитие самостоятельности учащихся через формирование навыков

самоконтроля //Самостоятельная работа учащихся в процессе обучения математике /

Сост. Ю.Д. Кабалевский. – М.: Просвещение, 1988

Преподаватель математики: Сулейменова К.К.

3

Преподаватель математики: Сулейменова К.К.

Тема: Решение тригонометрических уравнений введением новой переменной,

применением формул.

Цели урока:

*образовательная – повторить пройденный материал.

*развивающая - способствовать формированию умений применять приемы: сравнения,

выделения главного, мышления, развитию математического кругозора.

*воспитательная – воспитать внимание, творческое серьезное отношение к учебному

труду.

Оборудование: таблицы, плакаты, карточки.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Вид урока: смешанный.

Межпредметная связь:

физика

Методы работы:

- проблемный;

- частично - поисковый.

Виды работ:

- индивидуальный;

- коллективная;

- индивидуально – коллективная;

- фронтальная.

Прогнозируемый результат: Знать общие и частные формулы решения тригонометрических уравнений; уметь применять следствия тригонометрического тождества при решении уравнений.

План урока:

I. Подготовительный этап

1) Организационный момент

2) Постановка цели урока, мотивация изучения нового

II. Актуализация знаний

III. Изучение нового материала

1) Историческая справка

2) Определение уравнения данного вида

3) способы решения уравнения

IV Закрепление новых знаний

1) фронтальное решение примеров у доски

2) самостоятельная работа

V. Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания

VI Рефлексия. Познавательная информация

Ход урока.

I. Подготовительный этап

Проверка готовности учащихся к уроку. Приветствие учителя.

Эпиграф урока: « Величие математики – в его способности мыслить» Б. Паскаль

Учитель: Ребята, вы видите тему урока «Решение тригонометрических уравнений введением новой переменной, применением формул». Что это значит?

II. Актуализация знаний

Слайд №1. Общие формулы для решения уравнений:

Sin x = a, Cos x = a,

x = (-1)ⁿ arcsin a + n, n x = ± arccos a + 2 n

Sin x = Cos x =

x = (-1)ⁿ arcsin(n. n, x = ± arccos + 2n, n

x = (-1) +n, n x = ± 2n, n

Слайд № 2. Формулы частного случая решения:

Sin x = 1, x = 2n, n Cos x = 1, x = 2n, n

Sin x = -1, x = - 2n, n Cos x = -1, x = + 2n, n

Sin x = 0, x = n, n Cos x = 0, x = n, n

Парная работа. По группам (4 человека)

1 вариант. 2 вариант 3 вариант. 4 вариант

Sin 2x = Cos 3x = - Sin 2x = - Cos 2x = -

Cлайд №3. Решение уравнений.

1. вариант.

2х = (-1)ⁿ arcsin + n, n, 2x = (-1)ⁿ + n, n, х = (-1)ⁿn, n

2 вариант.

3x = ± arccos (-) + 2n, n, 3x = ± + 2n, n, x = ±, n

3 вариант.

2х = (-1)ⁿ arcsin(-) + n, n, 2x = (-1)ⁿ⁺¹ , x = (-1)ⁿ⁺¹

4 вариант.

2х = ± arccos ( -) + 2n, n, 2x = ± 2n, n, x = ±

III. Изучение нового материала

1). Слово тригонометрия впервые встречается в 1505году в заглавии книги немецкого математика Питискуса. Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников. Возникновение тригонометрии связано с землемерием, астрономией и строительным делом. Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком ХVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает определения тригонометрических функций, формулы приведения.

Синус – латинское слово, т.е. изгиб, кривизна. Косинус намного моложе, сокращение латинского выражения т.е. «дополнительный синус» (или иначе «синус дополнительной

дуги»). Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени в

Х веке арабским математиком. Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603). Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников

2) Рассмотрим тригонометрические уравнения, сводимые к алгебраическим. Это уравнения, сводимые к одной и той же функции относительно одного и того же неизвестного выражения, входящего только под знак функции.

Тригонометрические уравнения аsin²х + bsinх +с =0, acos ²x + bcosx +c = 0 сведены к алгебраическим. Действительно, положим в них соответственно sin x = y, cos x = t, квадратное уравнение aу²+by +c =0, at² +bt +c = 0. Решив каждое из них, найдем sinx, cosx.

Слайд. № 4. Алгоритм решения уравнения:

1. приравнять к нулю

2. применить следствия тригонометрического тождества

3. выполнить тождественные преобразования (раскрыть скобки, привести подобные)

4. ввести новую переменную

5. решить полученное квадратное уравнение

6. вернутся к замене и решить каждое уравнение

IV Закрепление новых знаний

У доски, комментировать решение. Групповая работа: один учит многих.

Пример №1. ☻ 2sin²x -7sinx +5 = 0 О.Д.З.:хR

Решение: вводим замену sin x = y, получим квадратное уравнение 2у²-7у +5 = 0, решая это уравнение через дискриминант у_1,2 = ; у_1,2 = ; у₁ =

у₂ = возвращаемся к нашей замене sin x = y, sin x = 2,5 1, нет решений

sin x = 1, это частный случай, отсюда х = x = 2n, n

☼ Ответ: x = 2n, n

Пример №2. ☻ 2cos²x + sinx +1 = 0 О.Д.З.: хR

Решение: заменим cos²x на 1 – sin²x, получим относительно sinx квадратное уравнение

2(1 – sin²x) + sinx +1 = 0, 2 – 2 sin²x + sinx + 1 = 0, отсюда 2 sin²x - sinx - 3 = 0, введем новую

переменную sinx = t. Тогда 2 t.² - t. -3 = 0, решая, уравнение через дискриминант получим

t_1,2 = ; t₁= 1,5; t = -1

sinx = 1,51 - решений нет

sinx = -1, х = - 2n, n ☼ Ответ: х = - 2n, n

Слайд № 5. Парная работа: один учит другого

Пример № 3. ☻ 6 sin²x + 5 cosx – 2 = 0 О.Д.З.:хR

Заменим sin²x = 1 - cos²x, получаем квадратное уравнение относительно cosx,

6(1 - cos²х) +5 cosx -2 = 0, 6 - 6 cos ²x + 5 cosx - 2 = 0, т.е. 6 cos ²x - 5 cosx – 4 = 0, введем новую

переменную cosx = у. Тогда 6у ² -5у – 4 = 0, отсюда у ₁ = - или у ₂ = . Уравнение

cosx = 1- не имеет решений, а уравнение cosx = - , находим х = 2n, n

☼ Ответ: х = 2n, n

Слайд № 6. Самостоятельная работа.

а) 3 sin²x - 5 sinx - 2 = 0

b) 8 sin²x + cosx + 1 = 0

d) 4 cosx = 4 - sin²x

Слайд № 7. .Решения к данным уравнениям:

а) замена sinx = у, 3у ² -5у -2 = 0, отсюда у ₁ = 2, у ₂ = -

sinx = 21 решений нет sinx = - , х = (-1)ⁿ⁺¹ arcsin + n, n

☼Ответ: х = (-1)ⁿ⁺¹ arcsin + n, n

b) заменим sin²x на 1 - cos²x, получим 8(1 - cos²x) + cosx + 1 = 0, выполняем тождественные

преобразования, т.е. раскрываем скобки и приводим подобные, получим квадратное уравнение

относительно cosx. Вводим новую переменную cosx = у, откуда у₁ = -1, у₂ =

cosx = -1, х = + 2n, n

cosx = 1 – решений нет ☼Ответ: х = + 2n, n

d) приравняем к нулю sin²x + 4 cosx - 4 = 0, замена sin²x = 1 - cos ²x ;

1 - cos ²x + 4 cosx - 4 = 0, отсюда получаем cos ²x - 4 cosx + 3 = 0, введем замену и решаем

как квадратное уравнение у₁ = 3, у₂ = 1 ,

cosx = 3 1 - решений нет, cosx = 1, х = 2n, n

☼Ответ: х = 2n, n

V. Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания

1) 3 sin²x -5 sinx -2 = 0 2) cos ²x +3 sinx = 3

Выставляются оценки, даются рекомендации для выполнения домашней работы

VI Рефлексия. Познавательная информация

Слайд № 8.«В науке нет широкой столбовой дороги, и только тот может достигнуть ее сияющих вершин, кто не страшась усталости, карабкается по ее каменистым тропам». К. Маркс

Технологическая карта.