Решение тригонометрических уравнений

Формулы корней простых тригонометрических уравнений

1 .cost = а , где | а| ≤ 1

2.sint = а , где | а |≤ 1

3. tgt = а, а Є R

t = arctg а + π k‚ k Є Z

или

или

Частные случаи

Частные случаи

4. ctgt = а, а Є R

1) sint=0

t = 0+ π k‚ k Є Z

1) cost=0

t = π/2+π k‚ k Є Z

t = arcctg а + π k‚ k Є Z

2) cost=1

t = 0+2 π k‚ k Є Z

2) sint=1

t = π/2+2π k‚ k Є Z

3) cost = -1

t = π+2π k‚ k Є Z

3) sint = - 1

t = - π/2+2π k‚ k Є Z

Примеры:

1) cost= - ½;

2) sint = 0;

t= ±arccos(-1/2)+2 π k, k Є Z

t= ±2 π /3+2 π k, k Є Z

Частный случай:

t = 0+ π k, k Є Z

3) tgt = 1;

t = arctg1+ π k, k Є Z

t = π /4+ π k, k Є Z.

t = arcctg( )+ π k, k Є Z

t = 5 π /6+ π k, k Є Z.

Задание № 8.

Ответить на вопросы:

1) sin x= 0 2) sin x = 3) sin x= -

4) sin x = 5 5) sin x = 6) sin x=

7) 2sin x= 1 8) sin x = -1,4

9) sin x = -1 10) sin x =-

Способы решения тригонометрических уравнений

• Уравнения ,приводимые к квадратным уравнениям
• Однородные уравнения
• Разложение на множители
• Замена переменной
• Метод вспомогательного угла
• Понижение степеней

Решение простейших уравнений

2) cos(x+ π /3) = ½

x+ π /3 = ±arccos1/2 + 2 π k, k Є Z

x+ π /3 = ± π /3 + 2 π k, k Є Z

x = - π /3 ± π /3 + 2 π k, k Є Z

Ответ: - π /3 ± π /3 + 2 π k, k Є Z

• tg2x = -1

2x = arctg (-1) + π k, k Є Z

2x = - π /4 + π k, k Є Z

x = - π /8 + π k/2, k Є Z

Ответ: - π /8 + π k/2, k Є Z .

3) sin( π – x/3) = 0

упростим по формулам приведения

sin ( x/3 ) = 0

частный случай

x/3 = π k, k Є Z

x = 3 π k, k Є Z.

Ответ: 3 π k, k Є Z.

Другие тригонометрические уравнения

1.Сводимые к квадратным

a∙sin²x + b∙sinx + c=0

Пусть sinx = p, где |p| ≤1 , тогда

a∙p² + b∙p + c = 0

Найти корни, вернуться к замене и

решить простые уравнения.

2. Однородные

1)Первой степени:

a∙sinx + b∙cosx = 0

Т.к. sinx и cosx одновременно

не равны нулю, то разделим обе

части уравнения на cosx . Получим:

простое уравнение

a∙tgx + b = 0 или tgx = m

2)Второй степени:

a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0

Разделим обе части на cos²x .

Получим квадратное уравнение:

a∙tg²x + b∙tgx + c = 0 .

уравнения, приводимые к квадратным уравнениям

2cos²x+sinx+1=0

2*(1-sin²x)+sinx+1=0

2-2sin²x+sinx+1=0

-2sin²x+sinx+3=0

Пусть a=sinx

-2a²+a+3=0

a 1 =-1, a 2 =1,5

Sinx=-1 sinx=1,5

X=- П/2+2П n , нет корней

Однородные уравнения

3sin²x+sinx cos x=2cos²x

Делим на sin²x обе части уравнения

3+cosx/ sinx=2cos²x/sin²x

Известно ,что ctg x= cos x/sin x

Получим 3+ ctgx=2ctg²x

Пусть a=ctg x

3+a=2a²

2a²-a-3=0

a 1 =1,5 a 2 =-1

Получим ctg x=1,5 ctg x=-1

X=arcctg1,5+ П n x=3 П/4+П m

Разложение на множители

4 sin ²x-sin2x=0

4sin²x-2sinx cosx=0

2sinx(2sinx-cosx)=0

Sinx=0 или 2sinx-cosx=0

x1= П n 2sinx -cosx=0

sinx sinx

2-ctgx=0

ctgx=2

X2=arcctg2+ П k

Замена переменной

2(1+tgx) - 3 =5

1+tgx

Пусть y=1 + tgx

2y - 3 =5

Y

2y²-3=5y

y≠0

2y²-5y-3=0

y 1 =3 , y 2 =-0,5

1+tgx=3 1+tgx=-0,5

tgx=2 tgx=-1,5

X 1 =arctg2+ П n x 2 =-arctg1,5+ П k

Понижение степеней

4 4

Sin x+cos x=1/2

(Sin²x)²+(cos²x)²=1/2

Известно, что sin²(x/2)=1-cosx, cos²(x/2)==1+cosx

2 2

1-cos2x ²+ 1+cos 2x ² = 1

2 2 2

1-2cos2x+cos²2x+1+2cos2x+cos²2x=2

2cos²x=0

cosx=0

X= П/2+П n

Решаем вместе

• Cos 2 x = √3/2
• Cos x/3=-1 / 2
• 5 cos 2 x + 6 sinx – 6 = 0
• 2 cos(x/2- Π / 6)= √3

6 Домашнее задания.

• cos (4x – 2) = ½;
• cos2x – 2cos x = 0;
• cos2x – sin2x = 1;
• 3sin2x – 5sin x – 2 = 0;
• 2sin x – 3cos x = 0;
• (tgx- √3)(2sin x/2 + 1) = 0;
• 3sin²x+sinx  cos x=2cos²x.

Разгадайте ребус

3 ИЯ

,,

,