Реферат на тему "Тождественные преобразования выражений"

«Тождественные преобразования выражений»

Содержание.

ВВЕДЕНИЕ.

Простейшие преобразования выражений и формул, опирающиеся на свойства арифметических операций, производятся в начальной школе и 5 и 6 классах. Формирование умений и навыков выполнения преобразований происходит в курсе алгебры. Это связано как с резким увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости, с выделением и изучением обобщенных понятий тождества, тождественного преобразования, равносильного преобразования.

1. Понятие тождества.

Тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных.

Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.

Тождественное равенство обозначают символом «≡» (тройное равенство).

Тождественное преобразование выражения – это замена исходного выражения на выражение, тождественно равное ему.

Часто в этом словосочетании слово «тождественное» опускается, и говорят просто «преобразование выражения», при этом подразумевают, что речь идет именно о тождественном преобразовании.

Для тождественных преобразований используют формулы сокращенного умножения, законы арифметики и другие тождества.

 При выполнении тождественных преобразований алгебраических выражений необходимо знать порядок выполнения действий, действия с дробями и степенными выражениями, формулы сокращенного умножения и др.

Следует иметь в виду, что при тождественных преобразованиях остаются неизменными:

-         величина допустимых изменений буквенных величин;

-         область допустимых значений каждой из буквенных величин.

  Однако это не значит, что мы должны отказываться от таких преобразований, которые изменяют области допустимых значений величин. Напротив, мы ими часто пользуемся и при упрощении выражений и при решении уравнений. Нужно только при каждом таком преобразовании указать, как изменились области допустимых значений буквенных величин.

1. Порядок выполнения действий при тождественных преобразованиях.

Порядок выполнения действий:

-         действия с одночленами;

-         действия в скобках;

-         умножение или деление (в порядке появления);

-         сложение или вычитание (в порядке появления).

1. Основные тождественные преобразования.

Существует ряд наиболее часто используемых тождественных преобразований, которые проводятся с выражениями различных видов.

Такие преобразования назовем основными:

1. Перестановка местами слагаемых, множителей

Справедливо правило: в любой сумме слагаемые или в любом произведении множители можно переставлять местами.

Это правило вытекает из переместительного и сочетательного свойств сложения и произведения. Из этих свойств следует, что все выражения, полученные после перестановки местами слагаемых (или множителей), тождественно равны исходному выражению. Поэтому, перестановка местами слагаемых в сумме (или множителей в произведении) является тождественным преобразованием.

1. Раскрытие скобок.

Числовые выражения и выражения с переменными в своей записи могут содержать скобки. Эти выражения можно заменить тождественно равными выражениями, в которых будет меньшее количество скобок или их не будет вовсе.

Правило раскрытия скобок, в которые заключены одиночные положительные числа: пусть a – положительное число, тогда (a) заменяется на a, +(a) заменяется на +a и −(a) заменяется на −a.

Правило раскрытия скобок, в которых содержатся одиночные отрицательные числа: +(−a) заменяется на −a, а −(−a) заменяется на +a, если же выражение начинается с отрицательного числа (−a), записанного в скобках, то скобки, содержащие это число, просто опускаются, и вместо (−a) остается −a.

Правило раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Пусть a и b  – положительные числа. Тогда произведение двух отрицательных чисел −a и −b вида (−a)·(−b) заменяется на (a·b), а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (−a)·b и a·(−b) заменяются на (−a·b).

Иными словами, умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Аналогичное правило справедливо и для частного двух чисел, так как деление можно рассматривать как умножение на обратное число.

Для раскрытия скобок, содержащих произведение нескольких отрицательных чисел, следует руководствоваться следующим правилом:

Если количество отрицательных чисел четно, то можно опустить скобки, заменив эти числа противоположными, после чего заключить полученное выражение в новые скобки; если же количество отрицательных чисел нечетно, то нужно опустить скобки, заменить эти числа на противоположные, поставить минус перед полученным выражением и заключить его в скобки.

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку.

Раскрытие скобок в этих случаях проводится с использованием формул вида

 ,

где  и  – некоторые числа или выражения.

Умножение скобки на скобку

Чтобы умножить одну сумму на другую, надо каждое слагаемое первой суммы умножить на каждое слагаемое второй суммы и сложить полученные произведения:

=

+

+

Деление скобки на число и скобки на скобку.

При делении скобки на число можно раскрыть скобки, разделив на это число каждое из заключенных в скобки слагаемых.

Не менее удобно предварительно деление заменить умножением, после чего воспользоваться соответствующим правилом раскрытия скобок в произведении. Это правило позволяет раскрывать скобки и при делении скобки на скобку.

Порядок раскрытия скобок.

Порядок раскрытия скобок в алгебраических выражениях согласован с порядком выполнения действий:

• сначала выполняется возведение скобок в натуральную степень,

• дальше раскрываются скобки в произведениях и частных,

• наконец, когда скобок в произведениях не остается, раскрываются скобки в суммах и разностях.

Задание для интерактивной доски: необходимо соотнести выражения и тождественно равными им.

1. Группировка слагаемых, множителей

К суммам трех и большего количества слагаемых применимо тождественное преобразование, получившее название группировка слагаемых. Под группировкой слагаемых понимают объединение нескольких слагаемых в группу, путем их перестановки и заключения в скобки. То есть, при группировке слагаемые переставляются местами так, чтобы группируемые слагаемые оказались рядом, после чего они заключаются в скобки.

Аналогично в произведениях трех, четырех и т.д. множителей может быть проведена группировка множителей.

1. Вынесение за скобки общего множителя

Когда слагаемые в выражении имеют одинаковый множитель, то с таким выражением можно провести преобразование, которое называется вынесением за скобки общего множителя. При этом преобразовании исходное выражение представляется в виде произведения общего множителя и выражения в скобках, состоящего из исходных слагаемых без общего множителя.

В основе вынесения общего множителя за скобки лежит распределительное свойство умножения относительно сложения, которое задается равенством a·(b+c)=a·b+a·c. Поменяв в этом равенстве местами левую и правую часть, оно примет вид a·b+a·c=a·(b+c), откуда становится видно, что правая его часть равна левой части, в которой вынесен за скобки общий множитель a.

Задание для интерактивной доски:

1. Приведение подобных слагаемых

Данное тождественное преобразование относится к суммам, содержащим подобные слагаемые, то есть одинаковые слагаемые или слагаемые, отличающиеся только числовым коэффициентом. Оно получило название приведение подобных слагаемых.

Суть приведения подобных слагаемых заключается в вынесении общей буквенной части подобных слагаемых за скобки, и в последующем вычислении суммы числовых коэффициентов в скобках.

Задание для интерактивной доски:

Соотнести тождественные выражения:

1. Памятка «Тождественные преобразования алгебраических выражений».

Действия с дробями:

Перестановка членов пропорции:

Производные пропорции.

Дана пропорция , справедливы следующие пропорции:

Формулы сокращенного умножения:

Формулы корней квадратного уравнения

Формулы корней приведенного квадратного уравнения

Теорема Виета. В приведенном квадратном уравнении
  сумма корней равна коэффициенту при , взятому с противоположным знаком, а их произведение – свободному члену:

Если задано квадратное уравнение в общем виде: , то делением уравнения на  можно свести к приведенному,
где , 

Действия со степенями:

При работе с модулями используют различные свойства модулей, например:

Действия с корнями (корни предполагаются арифметическими):

Свойства числовых неравенств

пусть , , тогда

пусть , , тогда

Заключение.

Тождественные преобразования представляют из себя одну из главных линий школьного курса математики. На их основании у обучащихся формируется представления об аналитических методах математики. Как правило, при выполнении практически любого задания по алгебре выполняется тождественные преобразования.

Необходимо иметь ввиду: в школьном курсе математики очень часто делают неравносильные преобразования, и при этом происходит расширения или сужение области определения. Обучащиеся должны понимать, что в данном случае нужно сделать проверку при решении или уравнения или найти область определения при решении неравенства.

4