Двугранный угол. Решение задач.
Задача 1.
Точки А и В лежат на ребре данного двугранного угла, равного 120°.
Отрезки АС и ВD проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла.
Найдите отрезок СD, если АВ = АС = ВD = а.
Дано: ∠САВD= 120°,
АС ⊥ АВ, АС ⊂ α,
BD ⊥ АВ, BD ⊂ β,
АВ = АС = ВD = а.
Найти: СD.
Решение:
Здесь дан тупой двугранный угол, ∠САВD= 120°.
АВ – ребро двугранного угла, точка С лежит в одной полуплоскости, точка D лежит в другой полуплоскости. В одной полуплоскости проведена прямая АС, перпендикулярная АВ. В другой полуплоскости проведена прямая ВD, перпендикулярная АВ.
Проведем АК перпендикулярно АВ и DК параллельно АВ (рис. 2). Тогда угол САК – линейный угол двугранного угла, а значит, ∠САК = 120°.
Так как прямые АК и ВDперпендикулярны одной и той же прямой АВ, то прямые АК и ВD – параллельны. В четырехугольнике АКDВ противоположные стороны параллельны (AK∥BD, AB∥ DK), значит, АКВD– параллелограмм. Значит, АК=BD = а.
Рассмотрим треугольник АКС. Найдем с помощью теоремы косинусов:
Прямая АВ перпендикулярна плоскости линейного угла (по свойству 1), значит, и параллельная ей прямая DКперпендикулярна плоскости линейного угла. А значит, прямая DК перпендикулярна прямой СК, лежащей в плоскости линейного угла, то есть угол СКD прямой.
Из прямоугольного треугольника СКD по теореме Пифагора находим гипотенузу СD.
Ответ: 2а.
Задача 2.
Найдите двугранный угол АВСD тетраэдра АВСD, если углы DАВ, DАС и АСВ прямые, АС = СВ = 5 DВ = .
Дано: АВСD – тетраэдр.
∠DАВ = ∠DАС = ∠АСВ = 90°.
АС = СВ = 5, DВ = .
Найти: ∠ (АВСD)
Решение:
Прямая DA перпендикулярна пересекающимся прямым АВ и АС из плоскости АВС. Значит, прямая DA перпендикулярна плоскости АВС.
Тогда АС - это проекция DС на плоскость АВС. Проекция АС перпендикулярна прямой ВС из плоскости по условию, значит, и наклонная DС перпендикулярна прямой ВС (по теореме о трех перпендиулярах). Получаем, что угол АСD – линейный угол искомого двугранного угла.
Рассмотрим прямоугольный треугольник DСВ. Найдем DС по теореме Пифагора.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АСD. Выразим косинус угла АСD.
.
Тогда
Ответ: .
№ 171 Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости , а катет наклонён к этой плоскости под углом 300 . Найти угол между плоскостью и плоскостью треугольника.
Дано: треугольник ABC, ∠C=900,
CB=CA, AB C , ∠(CB,) = 300.
С Найти: ∠(α; АВС)
a
A
D
E
B
Решение:
Построим линейный угол двугранного угла (α; АВС).
Т.К. треугольник АВС – равнобедренный, то высота СЕ является медианой. СЕ – наклонная, СЕ⊥АВ, точка D- проекция точки С, СD⊥α по теореме о трёх перпендикулярах DЕ⊥АВ, т.е. ∠СЕD –линейный угол двугранного угла.
2) Пусть АС=ВС=а.
Из треугольника СВЕ (∠СЕB=900) sin∠СBE= CЕ=ВС ∙ sin450, СЕ=а∙.
Из треугольника СDВ (∠СDВ=900, т.к. СD⊥α, то СD⊥DB, DB C ) CD – катет, лежащий против угла 300, значит, СD=.
Из треугольника СDE (∠СDE=900) sin∠CED = , sin∠CED =: = = , т.е. ∠CED=450.
А т.к. градусная мера двугранного угла равна градусной мере соответствующего ему линейного угла, то ∠(α; АВС) =450.