ПЗ №35 Приложения скалярного произведения векторов

Вспомните теорию предыдущей темы.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и принято обозначать или точкой , или круглыми скобками . Т.е. , где – угол между векторами и .

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством, то есть

.

2. Скалярное произведение обладает распределительным свойством, то есть

.

3. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно числового множителя, то есть

.

4. Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. То есть

.

Из этого равенства следует, что .

5. Скалярное произведение одноименных ортов равно единице.

.

6. Скалярное произведение разноименных ортов равно нулю.

.

7. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами:

,

если и .

8. Угол между двумя векторами:

.

9. Если , то .

10. Проекция вектора на вектор :

.

Если вектора заданы своими координатами, т.е. , то

.

В качестве приложения скалярного скалярного произведения векторов можно рассматривать свойства

4. . При помощи этого свойства можно найти длину вектора, не зная его координат

8. . При помощи этого свойства можно найти косинус угла между векторами, а также проверить ортогональность векторов (в этом случае косинус угла равен нулю).

9. Если , то . При помощи этого свойства можно проверить ортогональность векторов.

10. . При помощи этого свойства можно найти проекцию одного вектора на другой.

Примеры.

№1. Найдите длину вектора , если известно, что , ,

Решение. Так как на м не известны координаты вектора , то мы не можем воспользоваться формулой . Поэтому воспользуемся свойством 4. . Найдем :

.

Т.к. и :

,

.

Окончательно: .

№2 Даны вектора и : , , .

1. Найти косинус угла между векторами и .

2. Найти проекцию вектора на вектор .

Решение. а) косинус угла между векторами и найдем по свойству 8. .

1)

.

2) :

3) :

.

.

Окончательно

.

По значению косинуса, мы можем сделать вывод, что вектора и не ортогональны, т.к. .

1. Проекцию вектора на вектор ищем по свойству 10. . Все составляющие этой формулы мы нашли ранее, поэтому:

.

№3 Даны вектора и : , , . Проверить ортогональность векторов и .

Решение. применим свойство 9. если , то .

Вычислим скалярное произведение векторов и .

,

следовательно и не ортогональны.

5