ПЗ №34 Скалярное произведение векторов и его свойства

Практическое занятие №34 Скалярное произведение векторов и его свойства

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и принято обозначать или точкой , или круглыми скобками . Т.е. , где – угол между векторами и .

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством, то есть

.

2. Скалярное произведение обладает распределительным свойством, то есть

.

3. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно числового множителя, то есть

.

4. Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. То есть

.

Из этого равенства следует, что .

5. Скалярное произведение одноименных ортов равно единице.

.

6. Скалярное произведение разноименных ортов равно нулю.

.

7. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами:

,

если и .

8. Угол между двумя векторами:

.

9. Если , то .

10. Проекция вектора на вектор :

.

Если вектора заданы своими координатами, т.е. , то

.

Пример. Пусть , , .

Решение.

1) Из определения скалярного произведения имеем: .

Следовательно: .

.

.

2) По свойствам скалярного произведения , если .

. Т.о. , следовательно, и не ортогональны.

3) По свойствам скалярного произведения проекцию вектора на вектор можно найти по формуле: .

.

Следовательно, .

№2 Векторы и заданы своими координатами. Требуется:

1) вычислить , ;

2) найти длину вектора ;

3) проверить, верно ли, что , если и ;

4) найти проекцию вектора на вектор ;

5) изобразить векторы и в декартовой системе координат.

Пример. Пусть .

Решение.

1) По свойствам скалярного произведения ,

если и . Таким образом

.

Найдем координаты векторов и .

.

.

Тогда

.

2) По формулам скалярного произведения .

Найдем координаты вектора :

.

Таким образом . Тогда

.

3) тогда и только тогда, когда .

Найдем координаты векторов и . если и .

.

Таким образом .

.

Таким образом .

Найдем скалярное произведение векторов и .

.

Так как , то вектора и не ортогональны.

4) По свойствам скалярного произведения проекцию вектора на вектор можно найти по формуле: .

Скалярное произведение было вычислено ранее, поэтому нам осталось вычислить . Так как , то

.

Таким образом

.

1. .