Приложение к уроку тригонометрии работа учащихся

Тригонометрия и её применение. Триангуляция

Марков Артём 10а

Триангуляция в наиболее обобщенном смысле - это разбиение геометрического объекта на симплексы. Например, на плоскости это разбиение на треугольники, откуда и название

Триангуляция имеет широкой диапазон прикладного применения. Например, она используется в астрономии, геодезии, программировании, архитектуре, машиностроении

Геодезия

Программирование

Немного истории

Путем астрономических наблюдений Эратосфен установил, что в этот же самый день в Александрии Солнце отстоит от зенита на 7,2 градуса, что составляет ровно 1/50 часть окружности. (В самом деле: 360 : 7,2 = 50.) Теперь, чтобы узнать, чему равна окружность Земли, оставалось измерить расстояние между городами и умножить его на 50. Но измерить это расстояние, пролегающее по пустыне, Эратосфену было не под силу. Не могли измерить его и проводники торговых караванов. Они лишь знали, сколько времени тратят их верблюды на один переход, и считали, что от Сиены до Александрии 5000 египетских стадий. Значит, вся окружность Земли: 5000 - 50 = 250 000 стадий.

К сожалению, мы не знаем точно длину египетской стадии. По некоторым данным, она равна 174,5 м, что дает для земной окружности 43 625 км. Известно, что радиус в 6,28 раза меньше длины окружности. Получалось, что радиус Земли, по Эратосфену,-6943 км. Вот так более двадцати двух веков тому назад впервые были определены размеры земного шара.

Люди давным-давно догадывались, что Земля, на которой они обитают, похожа на шар. Одним из первых высказал мысль о шарообразности Земли древнегреческий математик и философ Пифагор (ок. 570—500 до н. э.). Величайший мыслитель древности Аристотель, наблюдая лунные затмения, подметил, что край земной тени, падающей на Луну, всегда имеет круглую форму. Это и позволило ему с уверенностью судить о том, что каша Земля шарообразна. Теперь же, благодаря достижениям космической техники, все мы (и не раз) имели возможность любоваться красотой земного шара по снимкам, сделанным из космоса.

Уменьшенным подобием Земли, ее миниатюрной моделью является глобус. Чтобы узнать длину окружности глобуса, достаточно обернуть его питью, а затем определить длину этой нити. Но огромную Землю с мерной лентой по меридиану или экватору не обойдешь. Да и в каком бы направлении мы ни стали ее измерять, на пути обязательно появятся непреодолимые препятствия — высокие горы, непроходимые болота, глубокие моря и океаны...

А можно ли узнать размеры Земли, не измеряя всей ее окружности? Конечно, можно.

Известно, что в окружности 360 градусов. Поэтому, чтобы узнать длину окружности, в принципе достаточно измерить точно длину одного градуса и результат измерения умножить на 360.

Первое измерение Земли таким способом произвел древнегреческий ученый Эратосфен (ок. 276—194 до н. э.), живший в египетском городе Александрии, на берегу Средиземного моря.

С юга в Александрию приходили караваны верблюдов. От сопровождавших их людей Эратосфен узнал, что в городе Сиене (нынешнем Асуане) в день летнего солнцестояния Солнце в полдень находится над головой. Предметы в это время не дают никакой тени, а солнечные лучи проникают даже в самые глубокие колодцы. Стало быть, Солнце достигает зенита.

Путем астрономических наблюдений Эратосфен установил, что в этот же самый день в Александрии Солнце отстоит от зенита на 7,2 градуса, что составляет ровно 1/50 часть окружности. (В самом деле: 360 : 7,2 = 50.) Теперь, чтобы узнать, чему равна окружность Земли, оставалось измерить расстояние между городами и умножить его на 50. Но измерить это расстояние, пролегающее по пустыне, Эратосфену было не под силу. Не могли измерить его и проводники торговых караванов. Они лишь знали, сколько времени тратят их верблюды на один переход, и считали, что от Сиены до Александрии 5000 египетских стадий. Значит, вся окружность Земли: 5000 - 50 = 250 000 стадий.

К сожалению, мы не знаем точно длину египетской стадии. По некоторым данным, она равна 174,5 м, что дает для земной окружности 43 625 км. Известно, что радиус в 6,28 раза меньше длины окружности. Получалось, что радиус Земли, по Эратосфену,-6943 км. Вот так более двадцати двух веков тому назад впервые были определены размеры земного шара.

Геодезия - наука, изучающая форму и размеры нашей планеты

Решение начинается с треугольника, содержащего базис. По стороне и углам вычисляются две другие стороны первого треугольника. Но одна из его сторон является одновременно стороной смежного с ним треугольника. Она служит исходной для вычисления сторон второго треугольника и так далее. В конце концов находятся стороны последнего треугольника и вычисляется искомое расстояние — дуга меридиана АБ.

Геодезическая сеть обязательно опирается на астрономические пункты А и Б. Методом астрономических наблюдений звезд определяются их географические координаты (широты и долготы) и азимуты (направления на местные предметы).

Теперь, когда известна протяженность дуги меридиана АБ, а также ее выражение в градусной мере (как разность широт астроиунктов А и Б), не составит особого труда вычислить длину дуги 1 градуса меридиана путем простого деления первой величины на вторую.

По современным данным, средний радиус Земли составляет 6371 км. Но почему средний? Ведь если Земля — шар, то все земные радиусы должны быть одинаковыми. Об этом мы расскажем дальше.

Способ точного измерения больших расстояний впервые предложил голландский географ и математик Виллеброрд Спеллиус (1580-1626).

Представим себе, что необходимо измерить расстояние между точками А и Б, удаленными одна от другой на сотни километров. Решение этой задачи следует начать с построения на местности так называемой опорной геодезической сети. В простейшем варианте она создается в виде цепочки треугольников. Вершины их выбираются на возвышенных местах, где сооружаются так называемые геодезические знаки в виде специальных пирамид, и обязательно так, чтобы из каждого пункта были видны направления на все соседние пункты. А еще эти пирамиды должны быть удобны для работы: для установки угломерного инструмента — теодолита — и измерения всех углов в треугольниках этой сети. Кроме того, в одном из треугольников измеряется одна сторона, которая пролегает по ровной и открытой местности, удобной для линейных измерений. В результате получается сеть треугольников с известными углами и исходной стороной — базисом. Затем следуют вычисления.

Решение начинается с треугольника, содержащего базис. По стороне и углам вычисляются две другие стороны первого треугольника. Но одна из его сторон является одновременно стороной смежного с ним треугольника. Она служит исходной для вычисления сторон второго треугольника и так далее. В конце концов находятся стороны последнего треугольника и вычисляется искомое расстояние — дуга меридиана АБ.

Геодезическая сеть обязательно опирается на астрономические пункты А и Б. Методом астрономических наблюдений звезд определяются их географические координаты (широты и долготы) и азимуты (направления на местные предметы).

Теперь, когда известна протяженность дуги меридиана АБ, а также ее выражение в градусной мере (как разность широт астроиунктов А и Б), не составит особого труда вычислить длину дуги 1 градуса меридиана путем простого деления первой величины на вторую.

Этот способ измерения больших расстояний на земной поверхности получил название триангуляции — от латинского слова «триангулюм», что значит «треугольник». Он оказался удобным для определения размеров Земли.

Изучением размеров нашей планеты и формы се поверхности занимается наука геодезия, что в переводе с греческого означает «землеизмерение». Ее зарождение следует отнести к Эратосфсну. Но собственно научная геодезия началась с триангуляции, впервые предложенной Снеллиусом.

Пример разветвленной

геодезической сети

Палестина

С запуском спутников геодезисты сразу поняли: появились «визирные цели» на большой высоте. Теперь можно будет измерить большие расстояния.

Идея метода космической триангуляции проста. Синхронные (одновременные) наблюдения спутника из нескольких отдаленных пунктов земной поверхности позволяют привести их геодезические координаты к единой системе. Так были связаны воедино триангуляции, построенные на разных материках, а заодно были уточнены размеры Земли: экваториальный радиус — 6378,160 км, полярный радиус — 6356,777 км. Величина сжатия — 1/298,25, то есть почти такая же, как у эллипсоида Красовского. Разница между экваториальным и полярным диаметрами Земли достигает 42 км 766 м.

Спутниковая триангуляция

Если бы наша планета была правильным шаром, а массы внутри нее распределены равномерно, то спутник мог бы двигаться вокруг Земли по круговой орбите. Но отклонение формы Земли от шарообразной и неоднородность ее недр приводят к тому, что над различными точками земной поверхности сила притяжения неодинаковая. Изменяется сила притяжения Земли — изменяется орбита спутника. И все, даже малейшие изменения в движении спутника с низкой орбитой - это результат гравитационного воздействия на него той или иной земной выпуклости или впадины, над которой он пролетает.

К югу от полуострова Индостан в Индийском океане на земном таре имеется «углубление», составляющее 105 м. А к северу от Австралии, наоборот, обнаружен «выступ» высотой 85 м. И как ни странно, поверхность Мирового океана всюду в той или иной мере повторяет изгибы поверхности океанического дна.

Оказалось, что наша планета имеет еще и слегка грушевидную форму. Ее Северный полюс приподнят над плоскостью экватора на 16 м, а Южный — примерно на столько же опущен (как бы вдавлен).

Земля имеет форму груши

Вот и получается, что в сечении по меридиану фигура Земли напоминает грушу. Она чуть-чуть вытянута к северу и приплюснута у Южного полюса. Налицо полярная асимметрия: Северное полушарие не тождественно Южному.

В начало

В программировании триангуляция применяется при построении различных геометрических фигур, моделировании 3D объектов, создании программ для вычисления расстояния между некоторыми точками и т.д. Такие программы широко используются в геодезии, машиностроении, других сферах.

В начало