Меню
Разработки
Разработки  /  Алгебра  /  Презентации  /  Прочее  /  Презентация на тему : "Дискретное преобразование Фурье"

Презентация на тему : "Дискретное преобразование Фурье"

презентация на тему : "Дискретное преобразование Фурье"презентация на тему : "Дискретное преобразование Фурье"презентация на тему : "Дискретное преобразование Фурье"презентация на тему : "Дискретное преобразование Фурье"

09.02.2019

Содержимое разработки

Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье

Объект исследования преобразование Фурье. Предмет исследования дискретное преобразование Фурье. Целью исследования является исследование,  систематизация, обобщение знаний о ДПФ и его применение в различных областях науки и техники. Перед началом работы были поставлены следующие задачи: рассмотреть и проанализировать библиографические источники по данной теме; рассмотреть такие понятия как: преобразования Фурье, дискретное преобразование Фурье (прямое и обратное), быстрое преобразование Фурье; выявить целесообразность использования дискретного преобразования Фурье, указать области его применения; разработать алгоритм дискретного и быстрого преобразования Фурье.
  • Объект исследования преобразование Фурье.
  • Предмет исследования дискретное преобразование Фурье.
  • Целью исследования является исследование, систематизация, обобщение знаний о ДПФ и его применение в различных областях науки и техники.
  • Перед началом работы были поставлены следующие задачи:
  • рассмотреть и проанализировать библиографические источники по данной теме;
  • рассмотреть такие понятия как: преобразования Фурье, дискретное преобразование Фурье (прямое и обратное), быстрое преобразование Фурье;
  • выявить целесообразность использования дискретного преобразования Фурье, указать области его применения;
  • разработать алгоритм дискретного и быстрого преобразования Фурье.
Очень большое и интересное понятие Начнем с простого Базис- это набор некоторых элементов ((b 1 ... b n ), такие, что любой другой элемент выражается через них: a = a 1 b 1 + ... + a n b n  Возьмем трехмерное пространство

Очень большое и интересное понятие

  • Начнем с простого
  • Базис- это набор некоторых элементов ((b 1 ... b n ), такие, что любой другой элемент выражается через них:
  • a = a 1 b 1 + ... + a n b n
  • Возьмем трехмерное пространство
Элементы (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1) являются базисом (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1)  (1,0,1), (0,1,1), (1,1,0). как можно произвольный элемент разложить в базис (a, b, c)(x, y, z) = ax + by + cz;

Элементы (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1) являются базисом

  • (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1)
  • (1,0,1), (0,1,1), (1,1,0).
  • как можно произвольный элемент разложить в базис
  • (a, b, c)(x, y, z) = ax + by + cz;
v 1 , v 2 и v 3 выполняется следующее:  v 1 ( v 2 + v 3 ) = v 1 v 2 + v 1 v 3    Если v 1 v 2 = 0, то эти элементы ортогональны b 1 b 2 = 0 b 1 b 3 = 0 b 2 b 3 = 0 допустим наш элемент раскладывается в базис вот так: v = x b 1 + y b 2 + z b 3  Как узнать x, y и z? vb 1 = (x b 1 + y b 2 + z b 3 ) b 1 = x b 1 b 1  vb 2 = (x b 1 + y b 2 + z b 3 ) b 2 = y b 2 b 2  vb 3 = (x b 1 + y b 2 + z b 3 ) b 3 = z b 3 b 3

v 1 , v 2 и v 3 выполняется следующее: v 1 ( v 2 + v 3 ) = v 1 v 2 + v 1 v 3

  • Если v 1 v 2 = 0, то эти элементы ортогональны
  • b 1 b 2 = 0 b 1 b 3 = 0 b 2 b 3 = 0
  • допустим наш элемент раскладывается в базис вот так: v = x b 1 + y b 2 + z b 3
  • Как узнать x, y и z?
  • vb 1 = (x b 1 + y b 2 + z b 3 ) b 1 = x b 1 b 1
  • vb 2 = (x b 1 + y b 2 + z b 3 ) b 2 = y b 2 b 2
  • vb 3 = (x b 1 + y b 2 + z b 3 ) b 3 = z b 3 b 3
Поэтому коэффициенты мы можем явно найти: x = vb 1 / b 1 b 1 y = vb 2 / b 2 b 2 z = vb 3 / b 3 b 3  Звук-это повторение одной и той же последовательности из n элементов.

Поэтому коэффициенты мы можем явно найти:

  • x = vb 1 / b 1 b 1 y = vb 2 / b 2 b 2 z = vb 3 / b 3 b 3
  • Звук-это повторение одной и той же последовательности из n элементов.
(f 1 ... f n ) Прямое преобразование Фурье. (f 1 ... f n ) - (a 1 ... a n ) Обратное преобразование Фурье. Самое замечательное, что построенный базис ортогональный, относительно вот такого вот скалярного произведения: (c 1 ... c n )(d 1 ... d n ) = c 1 d 1 + ... + c n d n " width="640"

Таким образом, каждый сигнал (a 1 ... a n ) раскладывается в таком базисе: (a 1 ... a n ) = f 1 b 1 + ... + f n b n ;

  • Значит, каждый периодический сигнал имеет два представления: одно - это (a 1 ... a n ), а другое - это (f 1 ... f n ). Переход от одного к другому и есть преобразование Фурье.
  • (a 1 ... a n ) - (f 1 ... f n ) Прямое преобразование Фурье.
  • (f 1 ... f n ) - (a 1 ... a n ) Обратное преобразование Фурье.
  • Самое замечательное, что построенный базис ортогональный, относительно вот такого вот скалярного произведения:
  • (c 1 ... c n )(d 1 ... d n ) = c 1 d 1 + ... + c n d n
Преобразование Фурье-разложение функций на синусоиды.. Виды преобразования Фурье: 1. Непериодический непрерывный сигнал можно разложить в интеграл Фурье. 2. Периодический непрерывный сигнал можно разложить в бесконечный ряд Фурье. 3. Непериодический дискретный сигнал можно разложить в интеграл Фурье. 4. Периодический дискретный сигнал можно разложить в конечный ряд Фурье.

Преобразование Фурье-разложение функций на синусоиды..

  • Виды преобразования Фурье:
  • 1. Непериодический непрерывный сигнал можно разложить в интеграл Фурье.
  • 2. Периодический непрерывный сигнал можно разложить в бесконечный ряд Фурье.
  • 3. Непериодический дискретный сигнал можно разложить в интеграл Фурье.
  • 4. Периодический дискретный сигнал можно разложить в конечный ряд Фурье.
Ряд Фурье-матем.послед.

Ряд Фурье-матем.послед.

Комплексная запись ряда Фурье где   – круговая частота  n -ои гармонической составляющей,   – комплексная амплитуда  n -ой гармоники  В этой записи возникают как положительные, так и отрицательные частоты

Комплексная запись ряда Фурье

  • где   – круговая частота  n -ои гармонической составляющей,   – комплексная амплитуда  n -ой гармоники 
  • В этой записи возникают как положительные, так и отрицательные частоты
Ряд Фурье можно записать

Ряд Фурье можно записать

периодическая функция  f ( t ) и ее спектр

периодическая функция  f ( t ) и ее спектр

Рассмотрим еще один пример преобразования Фурье.   где  n  – номер коэффициента Фурье,  A  – амплитуда импульса,  T  – период повторения импульсов, τ – длительность импульса.

Рассмотрим еще один пример преобразования Фурье.

где  n  – номер коэффициента Фурье,  A  – амплитуда импульса,  T  – период повторения импульсов, τ – длительность импульса.

Преобр. Фурье для непериодических функций

Преобр. Фурье для непериодических функций

Косинус преобразование Фурье косинус- и синус-преобразованиями Фурье.

Косинус преобразование Фурье

косинус- и синус-преобразованиями Фурье.

Жан Батист Жозеф Фурье Преобразование Фурье вычисляется всякий раз, когда мы слышим звук. Преобразование Фурье стало мощным инструментом, применяемым в различных научных областях. Интересовался теплотой В 1807 французский математик и физик Жан Батист Жозеф Фурье представил во Французский Институт (Institut de France) доклад о синусоидальном представлении температурных распределений.

Жан Батист Жозеф Фурье

  • Преобразование Фурье вычисляется всякий раз, когда мы слышим звук.
  • Преобразование Фурье стало мощным инструментом, применяемым в различных научных областях.
  • Интересовался теплотой
  • В 1807 французский математик и физик Жан Батист Жозеф Фурье представил во Французский Институт (Institut de France) доклад о синусоидальном представлении температурных распределений.
В чем суть? Вернувшись во Францию, Фурье сосредоточился на математических исследованиях, став профессором анализа в Политехнической школе, но в 1802 году вернулся на службу к Наполеону. Фурье был назначен префектом департамента Изер. Пытаясь устранить руины, оставшиеся после революционных событий 1789 года, он возглавил строительство французского участка дороги на Турин и осушил 80 000 км 2 малярийных болот. В этот же период он вывел уравнение, описывающее распространение тепла в твёрдом теле. К 1807 году Фурье изобрёл и метод решения этого уравнения: преобразование Фурье.

В чем суть?

  • Вернувшись во Францию, Фурье сосредоточился на математических исследованиях, став профессором анализа в Политехнической школе, но в 1802 году вернулся на службу к Наполеону. Фурье был назначен префектом департамента Изер. Пытаясь устранить руины, оставшиеся после революционных событий 1789 года, он возглавил строительство французского участка дороги на Турин и осушил 80 000 км 2 малярийных болот. В этот же период он вывел уравнение, описывающее распространение тепла в твёрдом теле. К 1807 году Фурье изобрёл и метод решения этого уравнения: преобразование Фурье.
Солнечный луч, разложенный на спектр, является физическим аналогом математических преобразований ( вверху ). Интенсивность солнечного луча, входящего в призму, постоянно меняется во времени ( внизу ).
  • Солнечный луч, разложенный на спектр, является физическим аналогом математических преобразований ( вверху ). Интенсивность солнечного луча, входящего в призму, постоянно меняется во времени ( внизу ).
Преобразование Фурье может представить сигнал, изменяющийся во времени, в виде зависимости частоты и амплитуды, но оно даёт также информацию о фазе.

Преобразование Фурье может представить сигнал, изменяющийся во времени, в виде зависимости частоты и амплитуды, но оно даёт также информацию о фазе.

Фурье установил, что вторая гармоника затухает в 4 раза быстрее, чем первая, а гармоники более высоких порядков затухают с ещё большей скоростью.

Фурье установил, что вторая гармоника затухает в 4 раза быстрее, чем первая, а гармоники более высоких порядков затухают с ещё большей скоростью.

Лагранж, Лаплас, Лежандр, Био и Пуассон Леонард Эйлер также считал идеи Фурье ошибочными, хотя к тому времени сам пришёл к выводу, что некоторые функции можно представить суммой синусоид

Лагранж, Лаплас, Лежандр, Био и Пуассон

  • Леонард Эйлер также считал идеи Фурье ошибочными, хотя к тому времени сам пришёл к выводу, что некоторые функции можно представить суммой синусоид
Вопрос о сходимости рядов Фурье снова возник в конце XIX века в связи с попытками предсказания интенсивности приливов и отливов. Лорд Кельвин

Вопрос о сходимости рядов Фурье снова возник в конце XIX века в связи с попытками предсказания интенсивности приливов и отливов.

  • Лорд Кельвин
Преобразование Фурье — это функция, представляющая амплитуду и фазу, соответствующие каждой частоте. Преобразование можно получить двумя различными математическими методами, один из которых применяется, когда исходная функция непрерывна, а другой — когда она состоит из множества отдельных дискретных измерений. Если эта функция получена из значений с определёнными дискретными интервалами, её можно разбить на ряд синусоидальных функций с дискретными частотами — от самой низкой, главной частоты и далее с частотами, вдвое, втрое и т.д. выше главной. Такая сумма синусоид называется рядом Фурье.

Преобразование Фурье — это функция, представляющая амплитуду и фазу, соответствующие каждой частоте.

  • Преобразование можно получить двумя различными математическими методами, один из которых применяется, когда исходная функция непрерывна, а другой — когда она состоит из множества отдельных дискретных измерений.
  • Если эта функция получена из значений с определёнными дискретными интервалами, её можно разбить на ряд синусоидальных функций с дискретными частотами — от самой низкой, главной частоты и далее с частотами, вдвое, втрое и т.д. выше главной. Такая сумма синусоид называется рядом Фурье.
Дискретное преобразование Фурье Превращает свертку в поточечное изображение Набор { f k } и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора { x k }. В качестве точек z k обычно выбирают корни n -й степени из единицы: .

Дискретное преобразование Фурье

  • Превращает свертку в поточечное изображение
  • Набор { f k } и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора { x k }. В качестве точек z k обычно выбирают корни n -й степени из единицы:
  • .
График аналогового сигнала Дис.сигнал с част.дис. 1024 Автокорреляционная функция
  • График аналогового сигнала
  • Дис.сигнал с част.дис. 1024
  • Автокорреляционная функция
Основные свойства ДПФ Линейность Спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов. Если    то спектр   равен:

Основные свойства ДПФ

  • Линейность
  • Спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов. Если 
  •   то спектр   равен:
Временной сдвиг

Временной сдвиг

ДПФ циклической свертки сигналов   Пусть сигнал   есть результат  циклической свертки  сигналов   и   :

ДПФ циклической свертки сигналов

  • Пусть сигнал   есть результат  циклической свертки  сигналов   и   :
Спектр произведения двух сигналов   Пусть сигнал   равен произведению сигналов    и   , причем   и   - спектры сигналов    и   соответственно.

Спектр произведения двух сигналов

  • Пусть сигнал   равен произведению сигналов    и   , причем   и   - спектры сигналов    и   соответственно.
Свойство частотного сдвига   Пусть сигнал    имеет спектр  . Произведем циклический сдвиг спектра   и рассмотрим ОДПФ, тогда:

Свойство частотного сдвига

  • Пусть сигнал    имеет спектр  . Произведем циклический сдвиг спектра   и рассмотрим ОДПФ, тогда:

Инверсия спектра действительного сигнала   а

Инверсия спектра действительного сигнала

  • а
Свойство двойственности

Свойство двойственности

Дискретные косинус преобразования Фурье.

Дискретные косинус преобразования Фурье.

Матричное представление м

Матричное представление

  • м
Дискретное преобразование Фурье   Семейство преобразований Фурье (преобразование Фурье, ряды Фурье, дискретные ряды Фурье и дискретное преобразование Фурье) Единственный член этого семейства, который имеет отношение к цифровой обработке сигналов, – это дискретное преобразование Фурье (ДПФ), которое оперирует дискретной по времени выборкой периодического сигнала во временной области.  Фундаментальное уравнение для получения N-точечного ДПФ выглядит следующим образом:

Дискретное преобразование Фурье

  • Семейство преобразований Фурье (преобразование Фурье, ряды Фурье, дискретные ряды Фурье и дискретное преобразование Фурье)
  • Единственный член этого семейства, который имеет отношение к цифровой обработке сигналов, – это дискретное преобразование Фурье (ДПФ), которое оперирует дискретной по времени выборкой периодического сигнала во временной области.
  • Фундаментальное уравнение для получения N-точечного ДПФ выглядит следующим образом:
2.1.1 Прямое дискретное преобразование Фурье   Прямое преобразование:

2.1.1 Прямое дискретное преобразование Фурье

  • Прямое преобразование:
 Обратное дискретное преобразование Фурье

Обратное дискретное преобразование Фурье

Быстрое преобразование Фурье. Основным назначением алгоритма БПФ является разложение сложных негармонических сигналов на несколько гармонических чистых сигналов, частот.

Быстрое преобразование Фурье.

  • Основным назначением алгоритма БПФ является разложение сложных негармонических сигналов на несколько гармонических чистых сигналов, частот.
форма двойной спирали ДНК была открыта в 1962 году с использованием дифракции рентгеновских лучей в сочетании с анализом Фурье.

форма двойной спирали ДНК была открыта в 1962 году с использованием дифракции рентгеновских лучей в сочетании с анализом Фурье.

КЕЛЬВИН сказал: «Теорема Фурье не только является одним из самых изящных результатов современного анализа , но и дает нам незаменимый инструмент в исследовании самых трудных вопросов современной физики»

КЕЛЬВИН сказал:

  • «Теорема Фурье не только является одним из самых изящных результатов современного анализа , но и дает нам незаменимый инструмент в исследовании самых трудных вопросов современной физики»
-70%
Курсы повышения квалификации

Активизация основных видов деятельности учащихся на уроках математики в условиях реализации ФГОС в основной школе

Продолжительность 72 часа
Документ: Удостоверение о повышении квалификации
4000 руб.
1200 руб.
Подробнее
Скачать разработку
Сохранить у себя:
Презентация на тему : "Дискретное преобразование Фурье" (1.79 MB)