Презентация Элементы математической логики

Элементы математической логики

Математическая логика

• Математическая логика – это раздел математики, который занимается исследованием высказываний с точки зрения их формального строения. Под высказыванием понимается некоторая фраза, высказанная словами, или высказанное суждение.

Математическая логика

• Определение: Высказывание – это повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать истинно оно или ложно.

Например , к высказываниям относятся следующие предложения;

1 . Москва – столица России.(истина)

2 . К форменным элементам крови относятся эритроциты, лейкоциты и тромбоциты.(истина)

3 . Для биосинтеза вещества необходима энергия.(истина)

4 . Айсберги чаще встречаются на экваторе.(истина)

5 . Для исправления близорукости используются двояковыпуклые линзы.(ложно)

6 . У здоровых людей температура тела26,6 (ложно)

Математическая логика

Высказывания обозначаются большими буквами латинского алфавита: A,B,C…

Если высказывание истинно, то это записывается =1 ,если ложно, то =0 . Следовательно, если приведенные высказывания обозначить соответственно: … то

= = =1, = = =0 .

Из этого видно, что в математической логике важна не содержательная часть высказывания,а истинно или ложно данное высказывание. Это дает возможность построить правила выводов, которые позволяют преобразовать исходные утверждения подобно тождественным преобразованиям, используемым в других разделах математики.

Математическая логика

Была разработана специальная символика для компактной записи утверждений и описание операций над ними. Таким образом, используя логические операции, возможно из простых высказываний построить сложные высказывания. К наиболее часто встречаемым логическим операциям относятся: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция.

• Определение: Отрицанием высказывания А называется новое высказывание, которое обозначается

˥А или (читается «не А») и истинно, если А ложно, и ложно, если А истинно.

Математическая логика

Отрицание высказывания определяется таблицей истинности.

• Например, Высказывание А – «Пенициллин относится к антибиотикам», тогда высказывание - «Пенициллин не относится к антибиотикам». Если для первого высказывания значение =1, т.е. истинно, то для второго=0, ложно.
• Определение: Дизъюнкцией высказываний А и В называется новое высказывание, которое обозначается А (читается А или В) и ложно только в том случае,если ложны оба высказывания, а в остальных случаях истинно.

Математическая логика

Значение дизъюнкции для различных вариантов высказываний А и В приведены в таблице 2.

Таблица 1 Таблица 2

А

˥А

0

А

А

1

В

В

0

0

1

0

0

0

А

0

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

Математическая логика

• Например , Высказывание А- «Экзамены проводятся в письменной форме»; высказывание В – «Экзамены проводятся в устной форме». Эти два высказывания являются истинными, т.е. ==1. Тогда А

Следовательно, сложное высказывание будет истинным: «Экзамены проводятся в письменной или устной форме».

Если возьмем отрицание этих двух высказываний, то получим следующее:

˥А – «Экзамены не проводятся в письменной форме»;

и ˥В – «Экзамены не проводятся в устной форме»,

т.е.=0. Тогда =0.

То есть высказывание «Экзамены не проводятся в письменной или устной форме» будет ложным.

Математическая логика

• Определение: Конъюнкцией высказываний А и В называется новое высказывание, которое обозначается А˄В (читается А и В) и истинно только в том случае, когда истинны оба высказывания, в остальных случаях - ложно.

Значение конъюнкции представлены в таблице3.

Таблица 3.

А

0

В

0

0

А˄В

0

1

1

1

0

0

0

1

1

Математическая логика

Например , Высказывание А – «Сердце относится к сердечно-сосудистой системе» являются истинными. Тогда А˄В=1.

Следовательно, истинным будет высказывание – «Сердце и сосуды относятся к сердечно-сосудистой системе».

Если взять отрицание высказываний А и В, то их комбинации будут ложными.

Таким образом, в математической логике можно определить истинность сложного высказывания, полученного с помощью логических операций, если известны значения истинности простых высказываний, из которых оно состоит.

Математическая логика

• Пример: Представить логической формулой следующее сложное высказывание: «Снега нет, а на дорогах скользко».

Решение: Сложное высказывание состоит из двух простых. Первое- «Снега нет», второе – «На дорогах скользко».

Первое из них, можно рассматривать как отрицание высказывания А – « Снег есть», тогда ˥А (не А)- «Снега нет», а второе В- «На дорогах скользко».

Сложное высказывание будет истинным, если будет истинно и первое высказывание и второе. Следовательно, логической связкой этих двух высказываний будет операция конъюнкция:

˄В.

Задания для самостоятельного решения

Задание: Определить, какие из высказываний являются истинными, а какие – ложными.

• «Дважды два четыре».
• «В здоровом теле- здоровый дух».
• «При сокращении левого желудочка кровь выбрасывается в аорту».
• «Вены – сосуды, которые несут кровь от сердца к органам».
• «Максимальное давление крови в сосудах называется диастолическим».
• «У здорового человека частота пульса составляет 100-120 ударов в минуту».
• «У здорового человека частота дыхания – 50 дыхательных движений в минуту».
• «Углеводы в организме являются основным источником энергии».

Задания для самостоятельного решения

Задание: Представить логическими формулами следующие высказывания:

1. «На небе светит солнце или луна».

2. Сердце состоит из предсердий и желудочков».

3. «Дождя нет, а асфальт мокрый».

4. Ионы кальция усиливают сердечную деятельность, а ионы калия ослабляют».