Презентация по математике на тему "Способы решения квадратных уравнений"

Примеры.

1) Для уравнения z² - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z₁ = 8, 0 и z₂ = 1, 0 (рис. 12).

2) Решим с помощью номограммы уравнение

2z² - 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

z² - 4, 5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z₁ = 4 и z₂ = 0, 5.

3) Для уравнения

z² - 25z + 66 = 0

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение

t² - 5t + 2, 64 = 0,

которое решаем посредством номограммы и получим t₁ = 0, 6 и

t₂ = 4, 4, откуда

z₁ = 5t₁ = 3, 0 и z₂ = 5t₂ = 22, 0.

Полную информацию смотрите в файле. 

Учитель математики: Колесникова Людмила Александровна

Данный многочлен разложим на множители:

Уравнение примет вид:

y

-1

x

нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5).

Тогда по теореме о секущих имеем

OB • OD = OA • OC ,

откуда OC = OB • OD / OA = х 1 х 2 / 1 = c / a .

SK , или R a + c /2 a ) , окружность пересекает ось Ох в двух точках (6,а рис. ) В(х1; 0) и D (х2; 0) , где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах2 + b х + с = 0 . 2) Радиус окружности равен ординате центра ( AS = SB , или R = a + c /2 a ) , окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0) , где х 1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения. " width="640"

1) Радиус окружности больше ординаты центра

( AS SK , или R a + c /2 a ) , окружность пересекает ось Ох в двух точках (6,а рис. ) В(х1; 0) и D (х2; 0) , где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах2 + b х + с = 0 .

2) Радиус окружности равен ординате центра

( AS = SB , или R = a + c /2 a ) , окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0) , где х 1 - корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра

окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

• z 2 + pz + q = 0.

Криволинейная шкала номограммы построена

по формулам (рис.11):

Полагая ОС = р, ED = q , ОЕ = а (все в см.),

Из подобия треугольников САН и CDF

получим пропорцию

• Примеры.

1) Для уравнения z 2 - 9 z + 8 = 0 номограмма дает корни z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0 (рис.12).

2) Решим с помощью номограммы уравнение

2 z 2 - 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2 ,

получим уравнение

z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5 .

3) Для уравнения

z 2 - 25z + 66 = 0

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5 t ,

получим уравнение

t 2 - 5t + 2,64 = 0,

которое решаем посредством номограммы и получим t 1 = 0,6 и

t 2 = 4,4, откуда

z 1 = 5 t 1 = 3,0 и z 2 = 5 t 2 = 22,0.

• Пример.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется

следующим образом :

«Квадрат и десять корней равны 39»

(рис.15).

Для искомой стороны х первоначального

квадрата получим

у 2 + 6у - 16 = 0 .

Решение представлено на рис. 16,

где у 2 + 6у = 16 , или

у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9

и 16 + 9 геометрически представляют

собой один и тот же квадрат, а исходное

уравнение

у 2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение.

Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5 ,

или у 1 = 2, у 2 = - 8 ( рис.16).

Выполнили: ученики 8 класса