План-конспект открытого занятия по теме «Производная сложной функции»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Московской области

«Электростальский колледж»

УТВЕРЖДАЮ
Зам. директора по УР

___________ И.В.Краснобельмова

«___»__________2019 г.

План-конспект открытого занятия

по теме «Производная сложной функции»

Рассмотрено на заседании предметно-цикловой комиссии общеобразовательных дисциплин (корпус №1) от «____» ______ 2019 г. протокол № _____

Председатель ПЦК ______________Л.И.Желудкова

Преподаватель__________________С.А.Иваньшина

г.о.Электросталь, 2019

Тема урока: Производная сложной функции.

Цели урока:

образовательная:

• формирование понятия сложной функции;

• формирование умения находить производную сложной функции.

развивающая:

• развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;

• развивать познавательный интерес.

воспитательная:

- развивать познавательный интерес, способствовать пониманию необходимости интеллектуальных усилий для успешного обучения.

Оборудование: таблица производных; таблица правил дифференцирования; карточки – задания для проверочной работы; учебник Башмаков М.И. «Математика: учебник для учреждений нач. и сред.проф.образования, задачник Башмаков М.И. «Математика. Задачник: учебное пособие для образовательных учреждений нач. и сред.проф.образования.

Применяемая педагогическая технология: технология проблемного обучения, групповая.

ПЛАН УРОКА

1 Организационный момент

2 Повторение пройденного материала

3 Изучение нового материала

6 Заключение

1. Проверка готовности группы к работе.

2. Постановка цели занятия

1. Вопросы для фронтального опроса:

1. Что называется производной функции в точке?

2. Какая функция называется дифференцируемой в точке?

3. Какие правила дифференцирования вы знаете?

4. Как взаимосвязаны непрерывность функции в точке и ее дифференцируемость в этой точке?

Пример 3 Постановка проблемной ситуации: найти производную функции

у =ln( cos x).

Мы имеем здесь логарифмическую функцию, аргументом которой служит не независимая переменная х, а функция cos x этого переменного.

Как называются такого рода функции? (Функции называются сложными или функциями от функций)

Мы умеем находить производные сложных функций? (Нет)

Тогда чему мы должны сейчас научиться? ( Нахождению производной сложных функций)

Давайте сформулируем тему нашего сегодняшнего занятия. (Производная сложной функции)

Студенты сами формулируют тему и цели урока, преподаватель записывает тему на доске, а студенты – в тетради.

Цель нашего занятия рассмотреть понятие сложной функции и овладеть техникой дифференцирования сложной функции, т.е. техникой применения основных формул при дифференцировании сложных функций.

Из примера видно, что сложная функция это функция от функции. Следовательно, можно дать следующее определение сложной функции:

Определение: Функция вида y = f ( g (x) )называется сложной функцией, составленной из функ­ций f u g, или суперпозицией функций f и g.

Пример: Функция у =ln(cos x) есть сложная функция, составленная из функций

у = ln u и u = cos x .

Поэтому сложную функцию часто пишут в виде

y = f(u), где u = g(x).

Внешняя функция Промежуточная функция

При этом аргумент х называют независимой перемен­ной, а u - промежуточным аргументом.

Производную каждой из этих функций мы можем вычислить, используя таблицу производных.

Как же вычислить производную сложной функции?

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема: Если функция u = g(x) дифференци­руема в некоторой точке х₀, а функция y=f(u) дифференцируема в точке u₀ = g(x₀), то функция у=f(g(x)) дифференцируема в данной точке x₀.

При этом или ,

т.е. производная от у по переменной х равна производной от у по переменной и, умноженной на производную о т и по переменной х.

Правило:

1. Чтобы найти производную сложной функции, надо ее правильно прочитать;

2. Чтобы правильно прочитать функцию, надо определить в ней порядок действий;

3. Функцию читаем в обратном порядку действий направлении;

4. Производную находим по ходу чтения функции.

А теперь разберем это на примере:

Пример 1: Функция у =ln( cos x) получается последовательным выполнением двух операций: взятия косинуса угла х и нахождения от этого числа натурального логарифма:

.

Функция читается так: логарифмическая функция от тригонометрической функции.

Продифференцируем функцию: у = ln( cos x)=ln u, u=cos x.

.

На практике такое дифференцирование производится гораздо короче и проще, во всяком случае, без введения записи и.

Искусство дифференцирования сложной функции заключается в умении видеть в момент дифференцирования только одну функцию (именно - дифференцируемую в данный момент), не замечая пока другие, откладывая их видение до момента дифференцирования.

Будем использовать при дифференцировании дополненную таблицу производных.

.

Пример 2: Найти производную функции у = (x³ - 5х + 7)⁹.

Решение: Обозначив в «уме» u = х³ – 5x +7, получим у = u⁹. Найдем:

и

По формуле имеем

Решите примеры самостоятельно.

1) ;

2) ;

3) ;

V. Самостоятельная работа

1 Выполнение работы в форме теста

Студенты выполняют тест и проверяют ответы с помощью ключа, представленного на доске. Ставят оценку .

Вариант 1

Выберите правильный вариант ответа

1. Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

1. Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

1. Вычислить производную для функции :

а) ; б) ; в) .

Вариант 2

Выберите правильный вариант ответа

1. Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

1. Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

1. Вычислить производную для функции :

а) ; б) ; в) .

Вариант 3

Выберите правильный вариант ответа

1. Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

1. Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

1. Вычислить производную для функции :

а) ; б) ; в) .

Вариант 4

Выберите правильный вариант ответа

1. Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

1. Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

1. Вычислить производную для функции :

а) ; б) ; в) .

Ключи ответов

6 Заключение

• рефлексия;

• выставление оценок;

• домашнее задание

Н.И. Лобачевский “… нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…”