Повторение:
- Какая фигура называется криволинейной трапецией?
- Как найти площадь криволинейной трапеции?
- Назовите формулу Ньютона-Лейбница
- Как она связана с формулой площади криволинейной трапеции?
y = f(x)
y = g(x)
Площадь фигуры PDCM ?
y
D
C
M
P
x
b
0
a
A
B
y = f(x)
y = g(x)
Площадь фигуры PMCD ?
y
C
D
A
B
x
b
a
0
P
M
y = x 2
y = x + 2
Пример 1:
вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y = x 2 , y = x + 2.
y
C
2
B
A
D
O
x
-1
2
y = (x – 2 ) 2
y = 2 √ 8 – x
вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями
y = ( x – 2) 2 , y = 2 √ 8 – x , х = 2, х = 8, у = 0
Пример 2:
y
4
D
B
C
A
4
0
x
8
2
Пример 2:
вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями
y = ( x – 2) 2 , y = 2 √ 8 – x , х = 2, х = 8, у = 0
Определенный интеграл от непрерывной функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ] обозначается как
Читается как определенный интеграл от a до бэ эф от икс дэ икс.
.(Нижний и верхний пределы). Числа a и b – пределы интегрирования
Геометрический смысл определенного интеграла : Площадь криволинейной трапеции вычисляет по формуле:
Физический смысл определенного интеграла : масса m неоднородного стержня, плотностью ρ=ρ( x ) находящегося на отрезке [ a ; b ] вычисляется по формуле:
Перемещение S материальной точки , движущейся по прямой со скоростью V = V ( t ), за промежуток времени от t = a до t = b , вычисляется по формуле:
Определенный интеграл имеет множество других смыслов, и если хорошо понимать, что это такое, то он нам встречается на каждом шагу.
Теорема. Формула Ньютона – Лейбница.
Если функция y = f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ], то справедлива формула
где F ( x ) – первообразная для f ( x ).
Чаще всего встречается вот такая форма записи формулы:
Из теоремы следуют два важных свойства.
Свойство1 . Интеграл от суммы функции равен сумме интегралов функций.
Свойство2 . Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.
Пример. Вычислить определенный интеграл
Решение. Первообразной для служит
Воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница
Ответ: 31/5
,
Задание №1:
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной функцией y = cos ( x ) на отрезке [0;π/2].
Решение. Давайте построим график косинуса на нашем отрезке
Площадь полученной фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла, гда a =0, b = π/2, f ( x )= cos ( x )
Ответ: 1
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение. Давайте построим требуемую фигуру на координатной плоскости.
Вычислим площадь нашей фигуры с помощью определенного интеграла.
Ответ: S=25.6
Задание №2
Задачи для самостоятельного решения.
1.Вычислить определенный интеграл
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной функцией y = sin ( x ) на отрезке [2 π;3π].
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Дополнительное задание*:
Домашнее задание:
Образовательная среда, урок 9, задание «Вычислите интеграл»
Давайте обсудим
- Что мы сегодня на уроке повторили, закрепили?
- Чем мы сегодня на уроке занимались?
- Достигли ли мы цели урока?
- Понравился ли тебе урок?
- Какие задания понравились?
- Все ли у тебя получилось?
- Какую оценку ты бы себе поставил за работу на уроке?
Закодированное настроение
- Какие сведения вы храните в своей записной книжке? Как можно назвать записную книжку с точки зрения хранения информации?
- Перечислите достоинства и недостатки хранения информации в оперативной и долговременной памяти.
- Объясните своими словами, что такое носитель информации. Какие носители информации вам известны? Каким носителем информации вы пользуетесь чаще всего?
Спасибо за активную работу на уроке!!!