Методы решения логарифмических уравнений

2. Уравнения, решаемые с использованием основных свойств

log a (bc) =log a │ b │ +log a │ c │

log a (b/c)=log a │ b │ - log a │ c │

log a b p =plog a │ b │

0 x-1 log 2 (x+1)(x+2)=1 x+20 x-2 (x+1)(x+2)=2 1 х -1 x 2 +3x=0 x(x+3)=0 x 1 =0 x 2 =-3( не уд. ОДЗ ) Ответ: x=0 " width="640"

Пример:

log 2 (x+1)+log 2 (x+2)=1 ОДЗ: x+10 x-1

log 2 (x+1)(x+2)=1 x+20 x-2

(x+1)(x+2)=2 1 х -1

x 2 +3x=0

x(x+3)=0

x 1 =0 x 2 =-3( не уд. ОДЗ )

Ответ: x=0

0 log a f(x)=log a g(x) g(x)0 f(x)=g(x) " width="640"

3. Метод потенцирования

f(x)0

log a f(x)=log a g(x) g(x)0

f(x)=g(x)

0 x4 x6 lg(x-4)(x-6)=lg8 x-60 x6 (x-4)(x-6)=8 x 2 -10x+16=0 x 1 =8 x 2 =2 ( не уд. ОДЗ ) Ответ: x=8 " width="640"

Пример:

lg(x-4)+lg(x-6)=lg8 ОДЗ: x -4 0 x4 x6

lg(x-4)(x-6)=lg8 x-60 x6

(x-4)(x-6)=8

x 2 -10x+16=0

x 1 =8

x 2 =2 ( не уд. ОДЗ )

Ответ: x=8

0 пусть lgx=t, t є R t 2 -3t+2=0 t 1 =1 t 2 =2 если t 1 =1 , то если t 2 =2 , то lgx=1 lgx=2 x=10 x=100 Ответ: x 1 =10, x 2 =100 " width="640"

4. Метод подстановки

а)Уравнения, сводящиеся к квадратным

Пример 1 :

lg 2 x-3lgx+2 =0 ОДЗ : x0

пусть lgx=t, t є R

t 2 -3t+2=0

t 1 =1 t 2 =2

если t 1 =1 , то если t 2 =2 , то

lgx=1 lgx=2

x=10 x=100

Ответ: x 1 =10, x 2 =100

0 (lg10+lgx) 2 =5-lgx 1+2lgx+lg 2 x-5+lgx=0 lg 2 x+3lgx-4=0 пусть lgx=t t 2 +3t-4=0 t 1 =1 ; t 2 = - 4 если t 1 =1 , то если t 2 = - 4 ,то lgx=1 lgx=-4 x=10 x=0,0001 Ответ: x 1 =10, x 2 =0,0001 " width="640"

Пример2:

lg 2 (10x)=5-lgx ОДЗ : x0

(lg10+lgx) 2 =5-lgx

1+2lgx+lg 2 x-5+lgx=0

lg 2 x+3lgx-4=0

пусть lgx=t

t 2 +3t-4=0

t 1 =1 ; t 2 = - 4

если t 1 =1 , то если t 2 = - 4 ,то

lgx=1 lgx=-4

x=10 x=0,0001

Ответ: x 1 =10, x 2 =0,0001

б)Использование формулы

log a b= 1 /log b a

0 (log x 9+log x x 2 )log 2 3 x=4 x ≠ 1 (2log x 3+2)log 2 3 x=4 (2/log 3 x+2)log 2 3 x=4 пусть log 3 x=t (2/t+2)t 2 =4 2t 2 +2t-4=0 t 1 =1 ; t 2 =-2 если t 1 =1, то если t 2 = -2, то log 3 x=1 ; x 1 =3 ; log 3 x=-2 . x 2 =1/9 . Ответ: x 1 =3, x 2 =1/9 " width="640"

Пример:

log x (9x 2 )log 2 3 x=4 ОДЗ: x0

(log x 9+log x x 2 )log 2 3 x=4 x ≠ 1

(2log x 3+2)log 2 3 x=4

(2/log 3 x+2)log 2 3 x=4

пусть log 3 x=t (2/t+2)t 2 =4

2t 2 +2t-4=0

t 1 =1 ; t 2 =-2

если t 1 =1, то если t 2 = -2, то

log 3 x=1 ; x 1 =3 ; log 3 x=-2 . x 2 =1/9 .

Ответ: x 1 =3, x 2 =1/9

0,b0, c0 a ≠ 1, c ≠ 1 " width="640"

5.Метод приведения к одному основанию

log a b=log с b/log c a

a0,b0, c0 a ≠ 1, c ≠ 1

0 log 2 x+log 2 2 x+log 2 3 x=11 log 2 x+1/2log 2 x+1/3log 2 x=11 11/6log 2 x=11 log 2 x=6 x=2 6 x=64 Ответ : x=64 " width="640"

Пример:

log 2 x+log 4 x+log 8 x=11 ОДЗ: x0

log 2 x+log 2 2 x+log 2 3 x=11

log 2 x+1/2log 2 x+1/3log 2 x=11

11/6log 2 x=11

log 2 x=6

x=2 6

x=64

Ответ : x=64

0; a0; a ≠ 1 " width="640"

6. Метод логарифмирования

log a b р = р log a b

b0; a0; a ≠ 1

0 прологарифмируем уравнение по основанию 10 lgx (lgx+5)/3 = lg10 5+lgx ( (lgx+5)/3 ) lgx=(5+lgx)lg10 1/3(lgx+5)lgx=5+lgx |* 3 (lgx+5)lgx=15+3lgx lg 2 x+5lgx=15+3lgx lg 2 x+2lgx-15=0 пусть lgx=t t 2 +2t-15=0 t 1 =-5 ; t 2 =3 если t 1 =-5, то lgx=-5 если t 2 = 3, то lgx=3 x 1 =0,00001 x 2 =1000 Ответ: x 1 = 0,00001, x 2 =1000 " width="640"

Пример:

x (lgx+5)/3 =10 5+lgx ОДЗ : x0

прологарифмируем уравнение по основанию 10

lgx (lgx+5)/3 = lg10 5+lgx

( (lgx+5)/3 ) lgx=(5+lgx)lg10

1/3(lgx+5)lgx=5+lgx |* 3

(lgx+5)lgx=15+3lgx

lg 2 x+5lgx=15+3lgx

lg 2 x+2lgx-15=0

пусть lgx=t

t 2 +2t-15=0

t 1 =-5 ; t 2 =3

если t 1 =-5, то lgx=-5 если t 2 = 3, то lgx=3

x 1 =0,00001 x 2 =1000

Ответ: x 1 = 0,00001, x 2 =1000

0;b ≠ 1 a0; a ≠ 1 ; с 0 ; с≠1 " width="640"

7. Использование специальной формулы

a log с b = b log с a

b0;b ≠ 1 a0; a ≠ 1 ;

с 0 ; с≠1

0 3*2 log 5 x +2 log 5 x =64 4*2 log 5 x =64 |:4 2 log 5 x =16 2 log 5 x =2 4 log 5 x=4 x=5 4 x=625 Ответ: x=625 " width="640"

Пример:

3 x log 5 2 +2 log 5 x =64 ОДЗ : x0

3*2 log 5 x +2 log 5 x =64

4*2 log 5 x =64 |:4

2 log 5 x =16

2 log 5 x =2 4

log 5 x=4

x=5 4

x=625

Ответ: x=625

-1,2 y= log 3 (x+1) - возрастающая функция y= log 4 (5x+6) - возрастающая функция 3 - const Сумма двух возрастающих функций равна возрастающей функции. Используем утверждение : если возр. функция равна const или убыв. функции, тогда уравнение имеет один корень , который находится с помощью метода подбора. Ответ: x=2 " width="640"

8. Использование свойств монотонности функции

Пример:

log 3 (x+1)+log 4 (5x+6)=3 ОДЗ: x -1,2

y= log 3 (x+1) - возрастающая функция

y= log 4 (5x+6) - возрастающая функция

3 - const

Сумма двух возрастающих функций равна возрастающей функции.

Используем утверждение : если возр. функция

равна const или убыв. функции, тогда

уравнение имеет один корень , который находится с

помощью метода подбора.

Ответ: x=2

9. Использование свойств ограниченности функции

Пример:

log 2 (17- | sin0,5 π x | )= √ 2x+15-x 2

1)рассмотрим левую часть

т.к. 0≤ | sin0,5 π x | ≥ 1 ,то

log 2 (17- | sin0,5 π x | ) ≥ log 2 (17-1)=log 2 16=4 т.е.

0≤ | sin0,5 π x | ≥ 4

при x=1 - достигается равенство

2)рассмотрим правую часть

√ 2x+15-x 2 = √16-( x +1) ≤ √ 16=4=16-(x-1) 2

√ 2x+15-x 2 ≤ 4

при x=1 – достигается равенство

Ответ: x=1

10. Однородные уравнения II степени

ax 2 +bxy+cy 2 =0 |: y 2 ≠ 0

a(x/y) 2 +b(x/y)+c=0

at 2 +bt+c=0

1/2 3(log 2 (x+1)/log 2 (2x+1)) 2- 4log 2 (2x+1)log 2 (x+1)/log 2 2 (2x+1)+1=0 t 3t 2 -4t+1=0 t 1 =1 t 2 =1/3 если t 1 =1 то, если t 2 =1/3 то, log 2 (x+1)/log 2 (2x+1)=1 log 2 (x+1)/log 2 (2x+1)=1 /3 log 2 (x+1)=log 2 (2x+1) 3 log 2 (x+1) = log 2 (2x+1) x+1=2x+1 log 2 (x+1) 3 =2x+1 x=0 x(x 2 +3x+1)=0 x 1 =0 x 2 =(-3+ √ 5)/2 x 3 =(-3- √ 5)/2 Ответ: x 1 =0, x 2 = =(-3+ √ 5)/2 не уд. " width="640"

Пример:

3log 2 2 (x+1)-4log 2 (2x+1)log 2 (x+1)+log 2 2 (2x+1)=0

Делим на log 2 2 (2x+1) ОДЗ: x 1/2

3(log 2 (x+1)/log 2 (2x+1)) 2- 4log 2 (2x+1)log 2 (x+1)/log 2 2 (2x+1)+1=0

t

3t 2 -4t+1=0

t 1 =1 t 2 =1/3

если t 1 =1 то, если t 2 =1/3 то,

log 2 (x+1)/log 2 (2x+1)=1 log 2 (x+1)/log 2 (2x+1)=1 /3

log 2 (x+1)=log 2 (2x+1) 3 log 2 (x+1) = log 2 (2x+1)

x+1=2x+1 log 2 (x+1) 3 =2x+1

x=0 x(x 2 +3x+1)=0

x 1 =0 x 2 =(-3+ √ 5)/2 x 3 =(-3- √ 5)/2

Ответ: x 1 =0, x 2 = =(-3+ √ 5)/2 не уд.

0, log x x √ x =log x √ x x x ≠ 1 log x x x 0,5 =log x ( x 0,5 ) x √ xlog x x =0,5 log x x √ x=0,5x √ x(1-0,5 √ x)=0 √ x=0 ( не уд.ОДЗ ) (1-0,5 √ x)=0 √ x= 2 x=4 Ответ: x=4 " width="640"

11. Уравнения, содержащие неизвестное в основании и показателе степени

Пример:

x √ x = √ x x ОДЗ: x0,

log x x √ x =log x √ x x x ≠ 1

log x x x 0,5 =log x ( x 0,5 ) x

√ xlog x x =0,5 log x x

√ x=0,5x

√ x(1-0,5 √ x)=0

√ x=0 ( не уд.ОДЗ ) (1-0,5 √ x)=0

√ x= 2

x=4

Ответ: x=4

12.Функционально - графический метод

(х – 1) = log 2 x

Строим графики функций у = (х – 1) и

у = log 2 x .

Ответ: х = 1, х=2.

у

1

2

х

0

1

Решить самостоятельно

• l q (х ² -2х)= lg30-1 ;
• lg(x²+2x-3)=lg(6X-2) ;
• log 3 X*l о g 2 х =4 log 3 2;
• log 3 X+log 9 X+log 27 X=1/12 ;
• log 5 (X-l0)-log 5 (X+2)=-1 ;
• 3+ 2 log X+1 3 =2log 3 (X+1).

Литература:

• Математика. Тренировочные тематические задания ЕГЭ повышенной сложности. Сост. Г.И. Ковалева и др. «Учитель». Волгоград. 2005.
• Математика. ЕГЭ. Эффективная подготовка. Л.Д. Лаппо, М.А. Попов. «Экзамен». Москва. 2007.