Меню
Разработки
Разработки  /  Геометрия  /  Уроки  /  Прочее  /  Методическая разработка лекции по теме "Кривые второго порядка"

Методическая разработка лекции по теме "Кривые второго порядка"

В методической разработке лекции по теме "Кривые второго порядка" рассмотрены канонические уравнения окружности и эллипса.Приведены примеры решения задач.Автор предлагает задания для закрепления изученного материала и списик контрольных вопросов. Методическую разработку рекомендовано использовать при проведении занятий по высшей математике.

12.01.2018

Содержимое разработки

Тема: Кривые второго порядка. Канонические уравнения

окружности, эллипса.


Цели: рассмотреть общий случай линии второго порядка, канонические
уравнение эллипса и окружности, геометрический смысл параметров уравнения; развивать умения обобщать полученные знания, проводить анализ и сравнения, делать необходимые выводы; способствовать развитию логического мышления; воспитывать у обучающихся сознательное отношение к процессу обучения.


Вид занятия: лекция


План (изучаемые вопросы)

1. Кривые второго порядка.

2. Окружность.

3. Эллипс.


Теоретический материал

1. Кривые второго порядка.

Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат х, у.

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид , где  – произвольные действительные числа ( принято записывать с множителем-«двойкой»), причём коэффициенты  не равны одновременно нулю.

Если , то уравнение упрощается до , и если коэффициенты одновременно не равны нулю, то это общее уравнение «плоской» прямой, которая представляет собой линию первого порядка. Остановимся на простых, так называемых канонических уравнениях линий второго порядка.


2. Окружность.

К кривым второго порядка относится и хорошо известна линия, которая называется окружностью .

Множество точек, находящихся на одинаковом расстоянии от
заданной точки - центра, называется окружностью. По определению ОМ R или .

Возведим обе части уравнения в квадрат, получаем:

(ха)2 + (уb)2 = R2каноническое уравнение окружности.

Здесь (а, b) — координаты центра окружности, R — его радиус. Раскрыв скобки в левой части (3), получим, очевидно, уравнение второй степени. Значит окружность — также кривая второго порядка.











Пример 1. Написать уравнение окружности, диаметром которого является отрезок

Решение: Найдем координаты центра окружности по формулам координат середины отрезка:

Получаем точку

Найдем радиус окружности:

Каноническое уравнение окружности имеет вид:

Подставляя значения получаем: или

3. Эллипс

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.


Обозначим фокусы F1, F2, расстояние между ними – 2с, постоянную из определения – 2а (по условию 2а 2с, то есть а с). Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось ОХ проходила через фокусы и точка О находилась на середине отрезка F1F2. В такой системе координат F1(-с; о), F2(с; о)

рис 1 рис 2

Выведем уравнение эллипса в выбранной системе координат. Для этого рассмотрим произвольную точку эллипса М(х, у).

По определению  

Но  следовательно,  Преобразуем это уравнение, дважды возводя в квадрат обе части:

Обозначим  Разделив обе части на а2в2, получим каноническое уравнение эллипса:


Уравнение содержит только четные степени х, у, следовательно, кривая симметрична относительно осей координат. В первой координатной четверти уравнение имеет вид  при возрастании х от 0 до а у убывает от в до 0. Учитывая симметрию, можно сделать вывод о форме эллипса (рис. 2).


Оси симметрии эллипса называются осями эллипса, точка их пересечения 0 – центром эллипса. Ось, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Точки пересечения эллипса с осями называются вершинами эллипса (А1, А2, В1, В2). Отрезки А1А2 и В1В2, а также их длины 2а и 2в называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа а и в называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси называется эксцентриситетом эллипса. e

Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем меньше эксцентриситет, тем меньше его малая полуось в отличается от большой полуоси а, то есть тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси

Так, при имеем круг, если  приближается к единице, то отношение длины полуосей эллипса становится малым, то есть эллипс вытягивается вдоль оси Ох.

Две прямые, уравнения которых называются директрисами эллипса. Для эллипса и отношение , директрисы эллипса - это две прямые, расположенные симметрично относительно оси Оу и проходят снаружи эллипса.


Для эллипса можно сформулировать важное утверждение: если r — расстояние от некоторой точки эллипса к любому фокуса, а d — расстояние от этой же точки до директрисы, которая соответствует этому фокусу, то отношение постоянное и равно эксцентриситета, то есть .


Пример 2. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки  и  Написать его уравнение, найти эксцентриситет.

Решение. Координаты точек М и А должны удовлетворять уравнению эллипса

 Решив систему, получим  тогда уравнение эллипса   



Закрепление изученного материала.

  1. Составить уравнение окружности, проходящей через три заданные точки: .

  2. Дано уравнение эллипса: . Вычислить длины осей, координаты фокусов и его эксцентриситет.

  3. На эллипсе определите точку, находящуюся на расстоянии 5 единиц от малой оси.








Контрольные вопросы:


1. Сформулируйте определение окружности.

2. Запишите каноническое уравнение окружности.

3. При каком соотношении между коэффициентами общее уравнение второго порядка описывает окружность?

4. Сформулируйте определение эллипса.

5. Запишите каноническое уравнение эллипса.

6. Какой вид имеет формула связи между длинами полуосей эллипса и расстоянием между фокусами?
5. По какой формуле определяется эксцентриситет эллипса?
6. В чем заключается геометрический смысл эксцентриситета эллипса.




Литература

  1. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс Д. Т. Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. 608 с.: ил. – (Высшее образование).

  2. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. 576 с.: – (Высшее образование).


-75%
Курсы повышения квалификации

Развитие пространственных представлений школьников в обучении математике в условиях реализации ФГОС

Продолжительность 36 часов
Документ: Удостоверение о повышении квалификации
3000 руб.
750 руб.
Подробнее
Скачать разработку
Сохранить у себя:
Методическая разработка лекции по теме "Кривые второго порядка" (176.5 KB)

Комментарии 0

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или на сайт