республиканская научно-практическая конференция школьников
«От школьного проекта к формированию интеллектуальной элиты РТ»
Секция:информатика
Тема: Как люди считают? Древние системы счисления.
Маллямов Алмаз Рифатович, ученик 6 класса
МБОУ «Старочукалинская средняя
общеобразовательная школа»
Дрожжановского муниципального района РТ
Научный руководитель: учитель информатики
Ахметова Гелнара Мансуровна
Оглавление
Введение …………………………………………………………………………………………….3
I. Возникновение чисел
1.1 Как люди научились считать? Появление цифр………………………………………….5
1.2. Пальцевой счёт……………………………………………………………………………...6
II. Появление систем счисления.Древние системы счисления…………….………………8
2.1 Простая система счисления……………………………………………………………… .10
2.2 Позиционные и непозиционные системы счисления……………………………..……..13
2.3 Основание системы счисления…………………………………………………………....14
III. Непозиционные системы счисления
3.1 Древнеегипетская десятичная…………………………………………………………...16
3.2 Римская пятеричная………………………………………………………………………17
3.3 Древнегреческая аттическая пятеричная………………………………………………..18
3.4 Древнегреческая ионийская десятеричная алфавитная………………………………..19
3.5 Славянская глаголическая десятеричная………………………………………………..20
3.6 Славянская кириллическая десятеричная алфавитная…………………………………21
3.7 Древнеиндийские системы счисления…………………………………………………..22
3.8 Недостатки непозиционной системы счисления……………………………………….23
IV. Позиционные системы счисления
4.1 Вавилонская десятеричная / шестидесятеричная………………………………………24
4.2 Древнекитайская десятеричная………………………………………………………….26
4.3 Двадцатеричная система счисления индейцев Майя или долгий счет………………..27
4.4 Двоичная система счисления ………………………………………………………29
V. История «арабских» чисел………………………………………………………………32
Заключение …………………………………………………………………………………………34
Использованная литература………………………………………………………………………..36
Введение.
Можно ли представить мир без чисел? Вспомните, что мы с вами делаем изо дня в день: без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберёшь. А космические корабли, лазеры и все другие достижения! Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах.
Число одно из основных понятий, позволяющее выразить результаты счета или измерения.
Люди так часто пользуются числами и счетом, что трудно даже представить себе, что они существовали не всегда, а были изобретены человеком.
В школе мне нравятся многие предметы, но больше всех мне интересна математика и информатика. Мы на уроке учимся считать, решать задачи и уравнения. И я задумался…
Сначала я предположил, что какой-то ученый придумал цифры и всем рассказал. А потом подумал, а что, если их придумал народ. Ведь бывают разные народные сказки. И чтобы проверить свои предположения я решил найти книги, спросить у старших и родителей , посмотреть в интернете.
Что я знаю? Мы в школе пишем цифры обычные (их называют арабскими) и иногда римскими. Значит, их придумали арабы и римляне?
А как люди научились считать? Тогда я решил об этом узнать и рассказать своим друзьям.
Тема моего исследования: Как люди считают? Древние системы счисления.
Цель моего исследования: Исследовать происхождение чисел, древние системы счисления.
Для этого я решил поставить для себя несколько задач:
Задачи моего исследования:
Узнать происхождение цифр с самых древних времен.
Как появились цифры, которыми пользуемся мы. Найти материал о каждой цифре.
Какие системы счисления использовались в разные исторические периоды?
Почему системы счисления актуальны сейчас и почему мы с ними знакомимся?
Почему мы используем больше одной системы счисления? Как мы считаем? Где мы используем разные системы счисления?
Обоснование выбора темы: Я выбрал данную тему, так как числа в нашей жизни играют огромную роль
3
Актуальность
Современному человеку трудно представить себе математику без обозначений чисел и арифметических действий. Но ведь когда-то же этих обозначений не существовало. А тогда откуда они взялись? И почему именно такие, а не иначе? И вообще много ли их существовало? Ни для кого не секрет, что всюду и повсеместно каждое мгновение наша жизнь наполнена цифрами и числами: день недели, денежные знаки,номера дома, автомобиля, ценники, штрих-коды, количество калорий в пирожном и сколько дней осталось до каникул?.. Вся наша бытность состоит из арифметики, простой или сложной, у нас есть счастливые числа и памятные даты и мы не мыслим свою жизнь без количественной системы счисления. Мы никогда не задумываемся о значимости чисел в нашей культуре, общении и о том, что этим нехитрым знакам можно подчинить все на свете.
4
I.Возникновение числа
1.1 Как люди научились считать? Появление цифр.
Чтобы все подсчитать, нужно знать цифры. А как считали древние люди, которые их не знали? Оказывается вот как.
Давным-давно, многие тысячи лет назад, наши далекие предки жили небольшими племенами. Они бродили по полям и лесам, по долинам рек и ручьев, разыскивая себе пищу. Питались листьями, плодами и корнями различных растений. Иногда ловили рыбу, собирали ракушки или охотились. Одевались в шкуры убитых зверей.
Жизнь первобытных людей мало чем отличалась от жизни животных. Да и сами люди отличались от животных только тем, что владели речью и умели пользоваться простейшими орудиями труда: палкой, камнем или камнем, привязанным к палке.
Первобытные люди, так же как и современные маленькие дети, не знали счета. Но теперь детей учат считать родители и учителя, старшие братья и сестры. А первобытным людям не у кого было учиться. Их учителем была сама жизнь. Поэтому и обучение шло медленно.
Наблюдая окружающую природу, от которой полностью зависела его жизнь, наш далекий предок из множества различных предметов сначала научился выделять отдельные предметы. Из стаи волков – вожака стаи. Из стада оленей – одного оленя.
Поначалу они определяли это соотношение как «один» и «много».
Частые наблюдения пары предметов, таких как: глаза, уши, рога, крылья, руки привели человека к представлению о числе. Наш далекий предок, рассказывая о том, что видел двух уток, сравнивал их с парой глаз. А если он видел их больше, то говорил: «много». Лишь постепенно человек научился выделять три предмета, ну а затем четыре, пять, шесть и т.д.
Учиться считать требовала жизнь. Добывая пищу, людям приходилось охотиться на крупных зверей: лося, медведя, зубра. Охотились наши предки большими группами, иногда всем племенем. Чтобы охота была удачной, нужно было уметь окружить зверя. Обычно старший ставил двух охотников за берлогой медведя, четырех с рогатинами – против берлоги для этого он должен был уметь считать, а так как названий чисел тогда еще не было, он показывал число на пальцах. Специальные названия чисел имелись поначалу только для одного и двух. Числа же больше двух называли с помощью сложения: 3 – это два и один, 4 – это два да два, 5 – это два, еще два и один.
5
1.2. Пальцевой счёт.
Развитие счёта пошло значительно быстрее, когда человек догадался обратиться к самому близкому ему, самому естественному счётному аппарату – к своим пальцам. Быть может, первым актом счёта по пальцам было оказание предмета, указательным пальцем; тут палец сыграл роль единицы. Участие пальцев в счёте помогло человеку переступить за число четыре, так как когда все пальцы на одной руке стали считаться равноценными единицами, это сразу позволило довести счёт до пяти. Дальнейшее развитие счёта потребовало усложнения счётного аппарата, и человек нашёл выход, привлекая к счёту сначала пальцы второй руки, а затем распространяя свой приём на пальцы ног: для племён, не носивших обуви, использование пальцев ног было вполне естественным. При этом такое расширение счётных этапов, очевидно, произошло в следствии возможности привести в однозначное соответствие пальцы рук и ног, что и отмечается у некоторых народов.
Так, для выражения числа «двадцать» индейцы из Южной Америки противопоставляют пальцы на руках пальцам на ногах.
В описываемую эпоху хозяйственные расчёты людей ограничивались тем, что после распределения пищи и одежды, захваченных в результате стычки с врагом, уже не было потребности помнить числа, возникшие во время расчётов, а потому счёт и не нуждался в наименованиях для чисел, а производился главным образом путём соответствующих жестов.
Например, туземные жители Андоманских островов, расположенных в Бенгальском заливе Индийского океана, не имели слов для выражения чисел и при счете объяснялись теми или иными жестами. Отсюда видно, что жестикуляция при счете как пережиток еще надолго сохранилось у многих народов, которые не вырабатывали словесную нумерацию.
Словесный счет начал развиваться, лишь когда ведущей формой производства стало сельское хозяйство. В ту пору постепенно возникла частная собственность, объектами которой служили поля, огороды, стада. Обладатели полей, домашних животных, будучи крепко связанными с ними, вынуждены были не только считать принадлежащие им объекты, но и запоминать их число, а это и толкнуло человека путь создания именованных чисел. Сначала запоминание проводилось весьма громоздким и неуклюжим способом: путем восстановления в памяти внешних признаков запоминаемых предметов. Например, обладатель стада волов запоминал количество принадлежащих ему животных по тем признакам, что один вол серый, другой – черный и т.д. Разумеется такой способ запоминания не мог быть пригоден, когда число запоминаемых объектов было большим.
Следующей ступенью в развития наименования чисел надо признать появление описательных
6
выражений совокупность нескольких единиц. Например, вместо наименования числа,
выражающего два предмета, употреблялась фраза «столько, сколько у меня рук», наименование четыре передавалось фразой: «столько, сколько ног у животного». Итак, словесными выражениями нескольких предметов явилось преимущественно части тела человека и животного.
В дальнейшем эти описания выражения у многих народов заменились наименованием соответствующих слов, и таким образом эти наименования закрепились за числами. Так, число два стало выражаться словами, обозначающими «уши», «руки», «крылья», четыре – «нога страуса» (четырехпалая) и пр.
Пальцевой счет постепенно приводил к упорядочению счета, и человек стихийно приходил к упрощению словесного выражения чисел. Так, например, выражение, которое должно соответствовать числу 11 – «десять пальцев на обеих руках и один палец на одной ноге» - упрощалось в «палец на ноге»; для выражения числа 23 вместо слов «десять пальцев на обеих руках, десять пальцев на обеих ногах и три пальца на руке другого человека» говорилось просто: «три пальца другого человека».
Подобного рода сокращения в то же время приводили как бы к выделению единиц из высшего разряда. В самом деле, такие называния, как «рука» - для обозначения пяти, «две руки» - для обозначения десяти, «нога» - для обозначения пятнадцати «человек» - для обозначения двадцати и т.п., служили для обозначения единиц высшего разряда, чем пальца, а пальцы играли роль единиц низшего разряда.
В этом смысле выражение «один на другой руке», означающее «шесть» можно рассматривать как «один из второго пятка» или как «пять и один», т.е. «рука» - единица высшего разряда. Точно также наименование «два на ноге», означающее «двенадцать», указывало на то, что две единицы взяты из второго десятка; это можно было бы передать и такой фразой: «две руки и два пальца», где «две руки» играют роль единицы высшего порядка по отношению к пальцам.
Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если на двух руках не хватало, переходили на ноги. Поэтому, если в те времена кто-то хвалился, что у него «две руки и одна нога кур», это означало, что у него пятнадцать кур, а если это называлось «весь человек», то есть две руки и две ноги.
7
II. Появление систем счисления. Древние системы счисления
Переход человека к пальцевому счету привел к созданию нескольких различных систем счисления.
Самой древней из пальцевых систем счисления считается пятеричная. Эта система, как полагают, зародилась и наибольшее распространение получила в Америке. Её создание относится к этой эпохе, когда человек считал по пальцам одной руки. Очевидно, при таком способе счета делался какой-нибудь всякий раз, когда заканчивался отсчет всех пальцев одной руки. До последнего времени у некоторых племен пятеричная система сохранилась еще в чистом виде (например, у жителей Полинезии и Меланезии).
Дальнейшее развитие систем счисления пошло по двум путям. Племена, не остановившиеся на счете по пальцам на одной руке, перешли к счету по пальцам второй руки и далее – по пальцам ног. При этом часть племен остановилась на счете пальцев только на руках и этим положило основу для десятичной системы счисления, а другая часть племен, вероятно большая, распространила счет на пальцы ног и тем самым создало предпосылки на основание системы с основанием 20. Такая система получила распространение главным образом среди значительной части индейских племен Северной Америки и Туземных обитателей Центральной и Южной Америки, а так же в северной части Сибири и в Африке.
Десятичная система счисления является преобладающей у народов Европы. Однако это не означает, что в Европе эта система всегда была единственной: некоторые народы перешли к десятичной системе уже в более поздние времена, а ранние пользовались другой системой.
Естественной единицей высшего разряда при возникновении двадцатеричной системы явился «человек» как обладатель 20 пальцев. В этой системе 40 выражается как «два человека», 60 – «три человека» и т.д. Двадцатеричная система имеет большой недостаток: для её словесного выражения надо иметь 20 различных названий для основных чисел. Поэтому, когда у некоторых племен развилась десятичная система счисления, то и многие другие племена, употреблявшие двадцатеричную, постепенно отошли от нее, переняв десятичную. Как полагают, переходу от двадцатеричной системы к десятеричной способствовало и то, что с тех пор, как люди стали употреблять обувь, закрывавшую пальцы ног, возможность непосредственного счета двумя десятками утратилось. Двадцатеричная система в наше время в чистом воде не отмечена ни у одного народа; обычно она соединяется с десятичной или с пятеричной. Однако следы этой системы сохранились в называниях у некоторых, даже
достигших высокого культурного развития народов.
8
Некоторые племена в качестве счетного аппарата применяли не сами пальцы рук, а их суставы. В этом случае счет иногда развивался тоже достаточно продуктивно и оформлялся в стройные системы. Здесь процесс счета протекал таким образом: большой палец одной руки является счетчиком суставов остальных пальцев этой руки; т.к. на каждом из остальных четырех пальцев этой руки содержится по три сустава, то следующий за суставом выше единицей являлось число 12, что и послужило двенадцатеричной системой счисления. Этот процесс иногда не останавливался на двенадцати, а продолжался далее, причем каждый палец другой руки служил единицей высшего разряда, т.е. представлял собой 12, и после отсчета всех пальцев на второй руке создавалась новая единица высшего разряда 12х5, т.е. 60. Возможно, что такого рода счет способствовал созданию шестидесятеричной системы счисления, имевшей большое распространение в древнем Вавилоне и перешедшей позднее ко многим другим народам.
Следы двенадцатеричной и шестнадцатеричной систем счисления сохранились и до нашего времени. Стоит вспомнить хотя бы счет часов в сутках, измерение углов градусами, минутами и секундами.
Так постепенно, под влиянием потребностей экономического характера, человечество создавало свои методы счета и достигло, наконец, стройного метода, который в дальнейшем сознательного совершенствовался и упрощался, пока не превратился в метод, которым и пользуется современная математика.
9
2.1 Простая система счисления
У первобытных людей не было даже чисел, они количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков. Такими значками могли быть зарубки, черточки, точки, а так же узелки на веревках.
Это самая простая система счисления. В этой системе счисления для записи чисел используется только одна цифра. Ее можно изобразить в виде палочки , кружочка ○, или любой другой фигуры. Тогда числа будут записываться примерно так:
| 1 | |
| 2 | |
| 3 | |
| 4 | |
| 5 | и т. д. |
Такая система счисления использовалась, и до сих пор используется народами, не имеющими письменности.
Но иногда такой системой счисления пользуются и современные люди, например, отмечая зарубками количество прошедших дней, или карандашом отмечая черточками в тетради количество проданных товаров.
Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу.
Но это удобно, пока числа небольшие. Вы только представьте себе число 1 000 записанное с помощью кучки камушков, а 1 000 000? Неудобно?
И люди начали изобретать системы счисления. Названия чисел у многих народов указывают на их происхождение.
Так, у индейцев два – глаза, у тибетцев – крылья, у других народов один– луна, пять – рука и т.д.
Способов счета было придумано немало: делались зарубки на палке по числу предметов, завязывались узлы на веревке, складывались в кучу камешки. Но палку с зарубками с собой не возьмешь, да и камни таскать не очень приятно. И тут на помощь приходят пальцы рук. Так,
например, папуасы из Новой Гвинеи загибали один за другим пальцы руки, говоря при этом:
10
"Бе, бе, бе…"Досчитав до пяти, они говорили "ибон-бе" (рука). Затем загибали пальцы другой руки, снова повторяя: "Бе, бе, бе…", пока не доходили до "ибон-али" (две руки). Затем они считали дальше, пока не доходили до "самба-бе" (одна нога) и "самба-али" (две ноги). Если нужно было считать дальше, папуасы пользовались пальцами рук и ног кого-нибудь другого.
В 1937 в Моравии (на территории современной Чешской Республики) была найдена относящаяся к 3 тысячелетию до н. э. волчья кость с 55 глубокими зарубками; это старейшая из известных в настоящее время записей числа (если, конечно, это действительно запись числа, а не что-либо другое, например, специфический орнамент). В позднейшее время числа тоже обозначались зарубками: еще в XIX в. Таким образом возникла необходимость изобретать различные системы счисления.
Ещё недавно существовали племена, в языке которых были названия только двух чисел: «один» и «два». Туземцы островов, расположенных в Торресовом проливе, знали два числа: «урапун» - один, «окоза» - два и умели считать до шести. Островитяне считали так: «окоза-урапун» - три, «окоза-окоза» - четыре, «окоза-окоза-урапун» - пять, «окоза-окоза-окоза» - шесть. О числах, начиная с 7, туземцы говорили «много», «множество». Наши предки, наверняка, тоже начинали с этого. В старинных пословицах и поговорках как, например, «Семеро одного не ждут», «Семь бед – один ответ», «У семи нянек дитя без глазу», «Один с сошкой, семеро с ложкой» 7 тоже означало «много».
В древние времена, когда человек хотел показать, сколькими животными он владел, он клал в большой мешок столько камешков, сколько у него было животных. Чем больше животных, тем больше камешков. Отсюда и произошло слово «калькулятор», «калькулюс» по латински означает «камень».
Перуанские инки вели счет животных и урожая, завязывая узелки на ремешках или шнурках разной длины и цвета (Рис. 1).
Эти узелки назывались кипу. У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают 4 узелочка на шнурочке! Поэтому того, кто завязывал узелки, называли вспоминателем.
11
П
ервыми придумали запись чисел древние шумеры. Они пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная чёрточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих чёрточек – десять. Эти чёрточки у них получались в виде клиньев, потому что они писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали. Вот так выглядели эти дощечки (Рис. 2).
После счета по зарубкам люди изобрели особые символы, названные цифрами. Они стали применяться для обозначения различных количеств каких-либо предметов. Разные цивилизации создавали свои собственные цифры .Так, например, в древней египетской нумерации, зародившейся более 5000 лет назад, существовали особые знаки (иероглифы) для записи чисел 1, 10, 100, 1000, …: (Рис. 3).
Для того чтобы изобразить, например, целое число 23145, достаточно записать в ряд два иероглифа, изображающие десять тысяч, затем три иероглифа для тысячи, один – для ста, четыре – для десяти и пять иероглифов для единицы: (Рис.4).
Этого одного примера достаточно, чтобы научиться записывать числа так, как их изображали древние египтяне. Это система очень проста и примитивна.
Древние индийцы изобрели для каждой цифры свой знак. Вот как они выглядели (Рис.5)
12
2.2 Позиционные и непозиционные системы счисления
Системы счисления бывают непозиционными (аддитивными) и позиционными (мультипликативными).
Чтобы разобраться в этом рассмотрим для примера нашу «арабскую» систему счисления. Например, число 3333 – три тысячи триста тридцать три. Здесь каждая цифра «3» в зависимости от того, в каком месте находиться обозначает свое число. Первая тройка слева, это три тысячи, вторая, три сотни, третья – три десятка, четвертая – три единицы. Т.е. это позиционная система. В таких же системах значение каждой цифры, зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа. В непозиционных системах значение каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.
Число 3333 можно представить в таком виде 3×1000 + 3×100 + 3×10 + 3. Т.е. для представления этого числа используется умножение (по-английски multiplication), отсюда название этой системы - мультипликативная.
В непозиционных же системах для представления числа используется сложение всех цифр, по-английски сложение – add. Поэтому другое название этих систем - аддитивные.
13
2.3 Основание системы счисления
Основание системы счисления – это число, на основе которого ведется счет. Например, если основание системы счисления равно десяти, то минимальная счетная группа этой системы счисления равна десяти, это значит, что, сосчитав какие-либо предметы до десяти, мы считаем снова с единицы, но при этом запоминаем число десятков. В нашей «арабской» системе основанием является число десять. Есть системы счисления и с другим основанием. Это такие системы счисления как пятеричная, двенадцатеричная, двадцатеричная, шестидесятеричная.
Десятеричная и пятеричная система возникла от того факта, что на одной руке человека пять пальцев, на обоих руках 10 пальцев.
Так проще считать. Если добавить пальцы и на ногах, то будет понятная и двадцатеричная система. Происхождение двенадцатеричной системы тоже связано со счетом на пальцах. Считали большой палец руки и фаланги остальных четырех пальцев.
Если двенадцать умножить на пять получим шестидесятеричную систему. Например, на одной руке загибаем пальцы, пока не получим, что отсчитано, пять штук, а на другой руке прикосновением большого пальца к суставам остальных четырех указываем количество этих пятерок.
14
В некоторых системах счисления используются для обозначения цифр буквы, такие системы счисления называются алфавитными.
Итак, бывают непозиционные (аддитивные) и позиционные (мультипликативные), пятеричные, десятичные, двенадцатеричные, двадцатеричные, шестидесятеричные и алфавитные системы счисления.
Вначале рассмотрим непозиционные (аддитивные) системы счисления.
15
III. Непозиционные системы счисления
3.1 Древнеегипетская десятичная
Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки — иероглифы.
Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной и аддитивной.
|  | 1. Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки. |
|  | Если палочек нужно изобразить несколько, то их изображали в два ряда, причем в нижнем ряду должно быть столько же палочек, сколько и в верхнем, или на одну больше. |
| 
| 10. Такими путами египтяне связывали коров |
|
| Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам. |
|  | 100. Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила. |
|  | 1 000. Вы когда-нибудь видели цветущий лотос? Если нет, то вам никогда не понять, почему Египтяне присвоили такое значение изображению этого цветка. |
|  | 10 000. "В больших числах будь внимателен!" - говорит поднятый вверх указательный палец. |
|
| 100 000. Это головастик. Обычный лягушачий головастик. |
|  | 1 000 000. Увидев такое число, обычный человек очень удивится и возденет руки к небу. Это и изображает этот иероглиф |
|  | 10 000 000. Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и,наверное, поэтому самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца |
Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду.
16
- 1205, 
- 1 023 029
Попробуйте сложить эти два числа, зная, что более 9 одинаковых иероглифов использовать нельзя, и вы сразу поймете, что для работы с этой системой нужен специальный человек. Обычному человеку это не под силу.
3.2 Римская пятеричная
Это, наверное, самая известная система, после «арабской», она возникла более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.
| I | 1 |
| V | 5 |
| X | 10 |
| L | 50 |
| C | 100 |
| D | 500 |
| M | 1 000 |
Предполагаемое происхождение римских цифр
Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим. Например, XI = 11, XII= 12, XIII = 13, но следующее число уже особенное, так как такое число «XIIII» писать не удобно, римляне придумали сокращения, они стали писать так XIV = 14, т.е. 10+5-1 = 14. Т.е. если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то происходило ее вычитание.
17
Так же записывалось число 9 = IX. И кроме этого нельзя было писать четыре одинаковые цифры подряд, например, «XXXX» = XL (50-10) = 40.
О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. В языке же римлян ни каких следов пятеричной системы нет. Значит, эти цифры были заимствованы римлянами у другого народа (скорее всего этрусков). Такая нумерация преобладала в Италии до XIII века, а в других странах Западной Европы - до XVI века.
В Санкт- Петербурге стоит памятник Петру I. На гранитном постаменте памятника есть римское число:MDCCLXXXII = 1000 + 500 + 100 + 100 + 50 + 3*10 + 2 = 1782 год. Это год открытия памятника.
Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). С нею мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни. Это номера глав в книгах, указание века, числа на циферблате часов, и т. д.
3.3 Древнегреческая аттическая пятеричная
В древнейшее время в Греции была распространена так называемая Аттическая система счисления, название происходит от области Греции – Аттики со столицей Афины.
В этой системе числа 1, 2, 3, 4 изображались соответствующим количеством вертикальных полосок: ,
,
,
. Число 5 записывалось знаком 
(древнее начертание буквы "Пи", с которой начиналось слово "пять" - "пенте"). Числа 6, 7, 8, 9 обозначались сочетаниями этих знаков:
Число 10 обозначалось 
- заглавной "Дельта" от слова "дека" - "десять". Числа 100, 1 000 и 10 000 обозначались H, X, M. Числа 50, 500, 5 000 обозначались комбинациями чисел 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1 000, а именно:
Числа в пределах первого десятка тысяч записывались так:
18
3.4 Древнегреческая ионийская десятеричная алфавитная
Примерно в третьем веке до нашей эры аттическая система счисления в Греции была вытеснена другой, так называемой "Ионийской" системой (она возникла в Милеете – греческая малоазиатская колония Ионии). В ней числа 1 - 9 обозначаются первыми буквами древнегреческого алфавита:
числа 10, 20, … 90 изображались следующими девятью буквами:
числа 100, 200, … 900 последними девятью буквами:
Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами, но только с добавлением особого значка '. Любая буква с этим значком сразу же становилась в тысячу раз больше.
Для отличия цифр и букв писали черточки над цифрами.
Древние евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока имели такие же системы счисления.
При ее помощи можно было просто записать числа до ста миллионов (100 000 000). Эта система по быстроте счета мало отличается от «арабской». И хоть она не позиционная, но в ней есть мультипликативность.
19
3.5 Славянская глаголическая десятеричная
Эта система была создана для обозначения чисел в священных книгах западных славян. Использовалась она нечасто, но достаточно долго. По организации она в точности повторяет греческую нумерацию. Использовалась она с VIII по XIII в.
|  1
|  10
|  100
|  1 000
|
|  2
|  20
|  200
| |
|  3
|  30
|  300
| |
|  4
|  40
|  400
| |
|  5
|  50
|  500
| |
|  6
|  60
|  600
| |
|  7
|  70
|  700
| |
|  8
|  80
|  800
| |
|  9
|  90
|  900
| |
Числа записывали из цифр так же слева, направо, от больших к меньшим цифрам. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали. Такая запись числа аддитивная, то есть в ней используется только сложение:
= 800+60+3 = 863
Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, или точки.
20
3.6 Славянская кириллическая десятеричная алфавитная
Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг для славян греческими монахами братьями Кириллом и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.
Числа записывали из цифр так же слева, направо, от больших к меньшим. Числа от 11 до 19 записывались двумя цифрами, причем единица шла перед десятком:
Читаем дословно "четырнадцать" - "четыре и десять". Как слышим, так и пишем: не 10+4, а 4+10, - четыре и десять. Числа от 21 и выше записывались наоборот, сначала писали знак полных десятков.
Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке.
Для обозначения чисел больших, чем 900 использовались специальные значки, которые дорисовывались к букве. Так образовывались числа:
|  | Тысяча | 1000 |
| | Тьма | 10 000 |
| | Легион | 100 000 |
| | Леодр | 1 000 000 |
| | Ворон | 10 000 000 |
| | Колода | 100 000 000 |
Славянская нумерация просуществовала до конца XVII столетия, пока с реформами Петра I в Россию из Европы не пришла позиционная десятичная система счисления.
21
3.7 Древнеиндийские системы счисления
Система счисления кхарошти имела хождение в Индии между VI веком до нашей эры и III веком нашей эры. Эта была непозиционная аддитивная система счисления. О ней мало что известно, так как сохранилось мало письменных документов той эпохи. Система кхарошти интересна тем, что в качестве промежуточного этапа между единицей и десятью выбирается число четыре. Числа записывались справа налево.
Наряду с этой системой существовала в Индии еще одна система счисления брахми.
Числа брахми записывались слева направо. Однако в обеих системах было не мало общего. В частности первые три цифры очень похожи. Общим было то, что до сотни применялся аддитивный способ, а после мультипликативный. Важным отличием цифр брахми, было то, что цифры от 4 до 90, были представлены только одним знаком. Эта особенность цифр брахми в дальнейшем была использована при создании в Индии позиционной десятичной системы.
В древней Индии так же была словесная система счисления. Она была мультипликативная, позиционная. Знак нуля произносился как «пустое», или «небо», или «дыра». Единица как «луна», или «земля». Двойка как «близнецы», или «глаза», или «ноздри», или «губы». Четыре как «океаны», «стороны света». Например, число 2441 произносилось так: глаза океанов стороны света луны.
22
3.8 Недостатки непозиционной системы счисления
Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:
1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.
2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.
3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. В частности, у всех народов наряду с системами счисления были способы пальцевого счета, а у греков был счетная доска абак – что-то наподобие наших счетов.
Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системы счисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков, тысяча, миллион, миллиард, триллион.
Далее рассмотрим позиционные системы счисления.
23
IV. Позиционные системы счисления
4.1 Вавилонская десятеричная / шестидесятеричная
Расцвет вавилонского государства относится ко второй половине XVIII в. до н.э. Продукты сельского хозяйства (зерно, фрукты, скот) являлись предметами вывоза в соседние страны. Торговле благоприятствовало центральное положение Вавилона на берегу судоходных рек. Расцвет торговли повлек за собой развитие денежной системы мер. В Вавилоне была создана система мер аналогичная нашей метрической, только в основе её лежало не число 10, а число 60. Полностью эта система выдерживалась у вавилонян для измерения времени и углов, и мы унаследовали от них деление часа и градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд.
В древнем Вавилоне примерно во II тысячелетие до нашей эры была такая система счисления - числа менее 60 обозначались с помощью двух знаков: 
для единицы, и 
для десятка. Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных табличках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз, например
- 3; - 20; - 32; - 59
Числа больше 60 записывались по разрядам, с небольшими пробелами между ними:
Так записывается число 302, то есть 5*60+2.
А это 1*60*60+2*60+5 = 3725.
Но представление не которых чисел в этой системе будет одинаковым, например, число 302, может быть и равно и 5*60*60 + 2 = 18002. Так как нет значка для обозначения нуля.
Лишь в V веке до нашей эры был введен особый знак 
- наклонный клин для обозначения пропущенных разрядов, игравший роль нуля.
24
это запись числа 7203 (2*60*60+3).
Однако отсутствие низшего разряда не обозначалось, и поэтому число 180 = 3*60 записывалось так , а обозначать эта запись могла и 3, и 180, и 10800 (3*60*60), и т. д.
Исследователи по-разному объясняют появление у вавилонян шестидесятеричной системы счисления. Скорее всего здесь учитывалось основание 60, которое кратно 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, что значительно облегчает всякие расчеты.
Шестидесятеричная запись целых чисел не получила широкого распространения за пределами Ассиро-вавилонского царства, но шестидесятеричные дроби применяются до сих пор при измерении времени. Например, одна минута = 60 секунд, один час = 60 минут.
25
4.2 Древнекитайская десятеричная
Эта система одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную «арабскую», которой мы с Вами пользуемся. Возникла эта система около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае.
Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. (Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда - кружок - аналог нашего нуля). Чтобы не перепутать разряды использовали несколько служебных иероглифов, писавшихся после основного иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде.
|  | | | |
| 10 | 100 | 1 000 | 10 000 |
- 1*1 000 = 1000;
- 5 * 100+4* 10+8 = 548
Эта мультипликативная запись, так как в ней используется умножение. Она десятичная, в ней есть знак нуля, кроме этого она позиционная. Т.е. она почти соответствует «арабской» системе счисления.
26
4.3 Двадцатеричная система счисления индейцев Майя или долгий счет
Эта система очень интересна тем, что на ее развитие не повлияла ни одна из цивилизаций Европы и Азии. Эта система применялась для календаря и астрономических наблюдений. Характерной особенностью ее было наличие нуля (изображение ракушки). Основанием этой системы было число 20, хотя сильно заметны следы пятеричной системы. Первые 19 чисел получались путем комбинирование точек (один) и черточек (пять).
Число 20 изображалось из двух цифр, ноль и один наверху 
и называлось уиналу. Записывались числа столбиком, внизу располагались наименьшие разряды, вверху наибольшие, в результате получалась «этажерка» с полками. Если число ноль появлялось без единицы наверху, то это обозначало, что единиц данного разряда нет. Но, если хоть одна единица была в этом разряде, то знак нуля исчезал, например, число 21, это будет 
. Так же в нашей системе счисления: 10 – с нулем, 11 – без него. Вот несколько примеров чисел:
27
В двадцатеричной системе счета древних майя есть исключение: стоит прибавить к числу 359 только одну единицу первого порядка, как это исключение немедленно вступает в силу. Суть его сводится к следующему: 360 является начальным числом третьего порядка и его место уже не на второй, а на третьей полке.
Но тогда выходит, что начальное число третьего порядка больше начального числа второго не в двадцать раз (20x20=400, а не 360!), а только в восемнадцать! Значит, принцип двадцатеричности нарушен! Все верно. Это и есть исключение.
Дело в том, что у индейцев Майя 20 дней-кинов образовывали месяц или уинал. 18 месяцев-уиналов образовывали год или туну (360 дней в году) и так далее:
К'ин = 1 день.
Виналь = 20 к'ин = 20 дней.
Тун = 18 виналь = 360 дней = около 1 года.
К'атун = 20 тун = 7200 дней = около 20 лет.
Бак'тун = 20 к'атун = 144000 дней = около 400 лет.
Пиктун = 20 бак'тун = 2880000 дней = около 8000 лет.
Калабтун = 20 пиктун = 57 600 000 дней = около 160000 лет.
К'инчильтун = 20 калабтун = 1152000000 дней = около 3200000 лет.
Алавтун = 20 к'инчильтун = 23040000000 дней = около 64000000 лет.
Это довольно сложная система счисления, в основном использовалась жрецами для астрономических наблюдений, другая система индейцев Майя была аддитивной, похожей на египетскую и применялась в повседневной жизни.
28
4.4 Двоичная система счисления.
Наименьшее из чисел, которое можно взять за основание системы счисления, — это число два. Соответствующая этому основанию система, называемая двоичной, — одна из самых старых.
Некоторый недостаток двоичной системы состоит в том, что поскольку основание системы мало, для записи даже не очень больших чисел приходятся использовать много знаков. Например, число 1000 записывается в двоичной системе в виде 1111101000, т. е. с помощью десяти цифр.
Однако этот ее недостаток, часто окупается рядом преимуществ. Удобство этой системы — в ее необычайной простоте. В двоичной системе участвуют только две цифры 0 и 1, а число 2 представляет собой уже единицу следующего разряда. Весьма просто выглядят и правила действия над числами, записанными в двоичной системе. Основные правила сложения даются равенствами: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=(10)2.
Все это послужило причиной того, что двоичная система получила широкое распространение в различных областях техники, в особенности в современных вычислительных машинах.
29
Таблица . Запись чисел в двоичной системе счисления.
| 1 - 1 2 - 10 3 - 11 4 - 100 5 - 101 6 - 110 7 - 111 8 - 1000 9 - 1001 10 - 1010 11 - 1011 12 - 1100 13 - 1101 14 - 1110 15 - 1111 16 - 10000 | 17 - 10001 18 - 10010 19 - 10011 20 - 10100 21 - 10101 22 - 10110 23 - 10111 24 - 11000 25 - 11001 26 - 11010 27 - 11011 28 - 11100 29 - 11101 30 - 11110 31 - 11111 32 - 100000 | 33 - 100001 34 - 100010 35 - 100011 36 - 100100 37 - 100101 38 - 100110 39 - 100111 40 - 101000 41 - 101001 42 - 101010 43 - 101011 44 - 101100 45 - 101101 46 - 101110 47 - 101111 48 - 110000 | 49 - 110001 50 - 110010 51 - 110011 52 - 110100 53 - 110101 54 - 110110 55 - 110111 56 - 111000 57 - 111001 58 - 111010 59 - 111011 60 - 111100 61 - 111101 62 - 111110 63 - 111111 64 - 1000000 |
Рассмотрим задачу, связанную с двоичной записью чисел.
С помощью двоичной системы счисления можно угадать любое целое число от 1 до 1000, задав не более 10 вопросов, на каждый из которых будет получен ответ только «да» или «нет»? Задача эта вполне разрешима.
Одна из возможных серий вопросов, заведомо приводящая к успеху, такова: 1-й вопрос: Разделите задуманное число на 2. Разделится ли оно без остатка? Если ответ «да» то запишем цифру ноль, если «нет», то запишем единицу (иначе говоря, мы запишем остаток от деления задуманного числа на 2)
30
2-й вопрос: Разделите на 2 то частное, отбрасывая остаток, которое получилось при первом делении. Делится ли оно без остатка? Снова при ответе «да» запишем нуль, а при ответе «нет» единицу. Запись ведется справа налево.
Каждый следующий вопрос будем составлять по тому же самому образцу, т. е. так: разделите на 2 то частное, которое получилось при предыдущем делении. Делится ли оно без остатка? Всякий раз мы пишем нуль при положительном ответе и единицу при отрицательном. Повторив эту процедуру 10 раз до единицы, мы получим 10 цифр, каждая из которых есть нуль или единица. Не трудно убедиться в том, что эти цифры образуют запись искомого числа в двоичной системе. Если перевести его в десятеричную систему, то мы получим задуманное число.
Система наших вопросов воспроизводит ту самую процедуру, с помощью которой делается перевод некоторого числа в двоичную систему. При этом десяти вопросов достаточно потому, что каждое число от 1 до 1000 записывается в двоичной системе с помощью не более чем десяти знаков.
Например: Задумано число «63».
Задаем вопрос: Разделите это число на «2». Делится ли оно без остатка?
63 : 2 = 31,5 - Нет. Значит, мы записываем число «1». Далее продолжаем деление целого числа без остатка: 31 : 2 = 15,5 Остаток есть и мы вновь записываем число «1» и т.д. 15 : 2 = 7,5 - записываем число «1»; 7 : 2 = 3,5 - записываем число «1»; 3 : 2 = 1,5 - записываем число «1»; 1 : 2 = 0,5 - записываем число «1». Получилось число «111111», Если перевести это число из двоичной в десятичную систему, то мы получим число «63».
Если считать, что задуманное число уже заранее переведено в двоичную систему, то система вопросов, с помощью которой его можно узнать, становится совершенно очевидной: нужно о каждой его цифре спросить, равна она нулю или нет.
31
V. История «арабских» чисел.
История наших привычных «арабских» чисел очень запутана. Нельзя сказать точно и достоверно как они произошли. Вот один из вариантов этого истории этого происхождения. Одно точно известно, что именно благодаря древним астрономам, а именно их точным расчетам мы и имеем наши числа.
Как мы уже знаем, в вавилонской системе счисления присутствует знак для обозначения пропущенных разрядов. Примерно во II веке до н.э. с астрономическими наблюдениями вавилонян познакомились греческие астрономы (например, Клавдий Птолемей). Они переняли их позиционную систему счисления, но целые числа они записывали не с помощью клиньев, а в своей алфавитной нумерации, а дроби в вавилонской шестидесятеричной системой счисления. Но для обозначения нулевого значения разряда греческие астрономы стали использовать символ "0" (первая буква греческого слова Ouden - ничто).
Между II и VI веками н.э. индийские астрономы познакомились с греческой астрономией. Они переняли шестидесятеричную систему и круглый греческий нуль. Индийцы соединили принципы греческой нумерации с десятичной мультипликативной системой взятой из Китая. Так же они стали обозначать цифры одним знаком, как было принято в древнеиндийской нумерации брахми. Это и был завершающий шаг в создании позиционной десятичной системы счисления.
Блестящая работа индийских математиков была воспринята арабскими математиками и Аль-Хорезми в IX веке написал книгу "Индийское искусство счета", в которой описывает десятичную позиционную систему счисления. Простые и удобные правила сложения и вычитания сколь угодно больших чисел, записанных в позиционной системе, сделали ее особенно популярной в среде европейских купцов.
Форма «арабских» цифр со временем сильно изменялась. Та форма, в которой мы их пишем, установилась в XVIвеке.
32
Первым по времени крупным математиком был у народов входивших в состав халифата, мы назовем великого узбекского (хорезмийского) математика и астролога IX в. Мухаммеда бен Мусса аль-Хорезми (2-я половина VIII в. – между 830-840).
Сочинение аль-Хорезми по арифметике дошло до нашего времени только в переводе на латинский язык. Оно сыграло значительную роль в развитии европейской математики, так как именно в нем европейцы познакомились с индийскими методами записи чисел, то есть с системой индийских цифр, с употреблением нуля и с помесным значением цифр. Вследствие того, что сведения эти были получены европейцами из книги, автор которой жил в арабском государстве и писал на арабском языке, индийские цифры десятичной системы стали неправильно именоваться «арабскими цифрами».
Однако Индия была оторвана от других стран, - на пути лежали тысячи километров расстояния и высокие горы. Арабы были первыми «чужими», которые заимствовали цифры у индийцев и привезли их в Европу. Чуть позже арабы упростили эти значки, они стали выглядеть вот так :
Они похожи на многие наши цифры. Слово «цифра» тоже досталось нам от арабов по наследству. Арабы нуль, или «пусто», называли «сифра». С тех пор и появилось слово «цифра». Правда, сейчас цифрами называются все десять значков для записи чисел, которыми мы пользуемся: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
История нуля.
Нуль бывает разный. Во-первых, нуль – это цифра, которая используется для обозначения пустого разряда; во-вторых, нуль – это необычное число, так как на нуль делить нельзя и при умножении на нуль любое число становиться нулем; в-третьих, нуль нужен для вычитания и сложения, иначе, сколько будет, если из 5 вычесть 5?
Впервые нуль появился в древневавилонской системе счисления, он использовался для обозначения пропущенных разрядов в числах, но такие числа как 1 и 60 у них записывали одинаково, так как нуль в конце числа у них не ставился. В их системе нуль выполнял роль пробела в тексте.
33
Изобретателем формы нуля можно считать великого греческого астронома Птолемея, так как в его текстах на месте знака пробела стоит греческая буква омикрон, очень напоминающая современный знак нуля. Но Птолемей использует нуль в том же смысле, что и вавилоняне.
На стенной надписи в Индии в IX веке н.э. впервые символ нуля встречается в конце числа. Это первое общепринятое обозначение современного знака нуля.
Нуль - это уникальный знак. Нуль – это чисто абстрактное понятие, одно из величайших достижений человека. Его нет в природе окружающей нас. Без нуля можно спокойно обойтись в устном счете, но невозможно обойтись для точной записи чисел. Кроме этого, нуль находится в противовесе всем остальным числам, и символизирует собой бесконечный мир. И если “все есть число”, то ничто есть все!
Разговор о нуле
Что можно сказать о нуле? - спросите вы. Нуль - все равно что ничто, нуль вообще не число, а самый обычный нуль. И что тут еще говорить?
Это не совсем так, а потому я прошу вас - наберитесь терпения и вынесите свой приговор нулю в конце нашего разговора. Не такой уж он беззначительный, этот нуль, как вам кажется на первый взгляд. Число нуль обладает самыми разнообразными и интересными свойствами, и именно о них мне хотелось бы с вами поговорить. Посмотрим прежде всего, как он возник. Попытайтесь сложить два противоположных числа, например:
3+(-3)=0, 7+(-7)=0, 786+(-786)=0 или обобщенно a+(-a)=0. В результате мы получим всегда нуль.
Вот видите в процессе вычитания мы пришли к числу нуль. Но всегда это было так быстро и просто, как у нас сейчас? Первыми признали нуль настоящим числом математики Индии еще тысячу лет назад, но все европейские математики очень долго гадали, делать это или нет.
Теперь вас интересует другой вопрос:
К каким числам можно отнести число нуль, к положительным или отрицательным?
Ответ: Ни к тем, ни к другим. Он на самой границе между ними и занимает там почетное место, так что нуль "персона". Словом, нуль - это нуль.
Итак, вы убедились, что нуль - не пустяк, а очень интересное число, которое занимает особое место среди чисел. В будущем никогда не говорите о нуле с пренебрежением!
34
Заключение
Познакомившись с различной литературой по интересующей меня теме «Древние системы счета», я понял, что развитие числа и системы счисления было долгим и трудным.
В этой работе были рассмотрены 11 древних систем счисления, история «арабских» чисел и нуля. Из всех рассмотренных систем счисления, наиболее интересной мне показалась древне- китайская нумерация. Так как она наиболее близка к нашей «арабской» системе счисления. Наиболее красивые цифры и числа в древнеегипетской системе счисления. Так же мне удалось узнать запутанную историю происхождения «арабских» чисел и нуля.
В продолжение этой работы хотелось бы, исследовать каким образом в древности вели устный счет (сложение, вычитание, умножение и деление), а также как использовались счетные доски (например, греческий абак). Кроме этого, интересно узнать, как с помощью древних цифр происходило представление дробей.
Отголоски использования различных древних систем счета нашли отражение в современном мире.
Так система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, и мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуты на 60 секунд. Следуя примеру вавилонян, мы и окружность делим на 360 частей (градусов), а 1градус на 60 минут. Существует и шестидесятилетний цикл в названиях года по календарю ариев. В целом шестидесятеричная система счисления громоздка и неудобна.
По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев.
Нередко и мы сталкиваемся в быту с двенадцатеричной системой счисления: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков — 12 штук. Время считается тоже в этой системе 12 месяцев, 24 часа в сутках,12-летний цикл в названиях года по китайскому календарю, в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам).
35
Этим системам свойственны два недостатка, которые привели к их вытеснению другими: необходимость большого числа различных знаков, особенно для изображения больших чисел, и, что еще важнее неудобство выполнения арифметических операций.
Сейчас наиболее распространена десятичная система счисления. Европейцы, как, впрочем, и подавляющее большинство народов мира, пользуются сейчас так называемой арабской цифровой системой, созданной в Индии лишь в конце первой половины прошлого тысячелетия (V век). В соответствии с этой системой — ради справедливости ее следовало бы называть индийской — мы расставляем цифровые знаки горизонтально-строчечным способом, применяя «позиционный принцип» — одно из замечательных достижений человеческого разума. Это значит, что цифры стоят друг за другом в строгом порядке, справа налево от первой позиции или первого порядка к последующим, а именно: единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д.
Самой старой системой счисления по праву можно считать двоичную систему счисления. Но эта система обладает рядом качеств, делающей ее очень выгодной и необходимой в использовании в телеграфах, а также в вычислительных машинах и в современных компьютерах.
У каждого человека есть свое главное число. Мы решили сосчитать «главные числа» для всех учеников нашего класса и провели маленькое исследование
36
Список использованной литературы
С. Б. Гашков Системы счисления и их применение. — М.: МЦНМО, 2004. — (Библиотека «Математическое просвещение»).
Депман И.Я. Виленкин Н.Я За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы М.»Просвещение» 1989г.287стр.
"Российское предпринимательство" Журнал по экономике. Статья Кузьмищева В.А «О системах счисления»
С. В. Фомин Системы счисления. — М.: Наука, 1987. — 48 с. — (Популярные лекции по математике). Шестаков А.П. Введение в информатику. Пермский университет. Пермь. 1999
Яглом И., «Системы счисления», Квант, № 6, 1970.
www.creativeconomy.ru В. А. Кузьмищев Тайна жрецов майя
http://school-collection.edu.ru история чисел
Александров Э., Левшин В. «В лабиринте чисел».- М., 1997
Босова Л.Л. Информатика: учебник для 6 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 208 с.: ил.
http://www.bigpi.biysk.ru/ - различные системы счисления
http://www.svoboda.org - А.Костинский, В.Губайловский, Триединый нуль
http://goldlara.narod.ru – позиционные и непозиционные системы счисления
37
П Р И Л О Ж Е Н И Е
| Мои друзья | Характеристика воспитателя (основные черты характера) | Главное число | Характеристика главного числа
|
|
Ильяс |
Любит быть в центре внимания, добрый, упрямый, настойчивый. |
| Символ единицы - корона. Она принадлежит тем, кто властвует, повелевает, командует. Эти люди никогда не сварачивают в сторону от избранного пути, не меняют свой характер и привычки, потому что их личность формируется очень рано. «Единицы» все схватывают на лету и ждут того же от других. Они требовательны к себе, но не терпимы и даже жестокий к тем, кто не разделяет их взглядов. Несмотря на это благородства заставляет их помогать тем, кто нуждается в их помощи. Главный не достаток «единиц» - упрямство и привычка противоречить людям. Успеха они добиваются только при неустанной, тяжёлой работе, в результате которой могут стать маршалами, военными лётчиками, директорами, учителями, и журналистами. |
|
Динар |
Мягкий,не всегда уверенный в себе. Робкий, торопливый, никогда не отстаивает свою точку зрения. |
| Двойка – символ любви и не постоянство. Люди этого числа находятся как бы между светом и мраком, добрым и злом, богатством и нищетой. Мягкий,тактичный, сверхчувствительный и не уверенный в себе «двойки», очутившись в неблагоприятной обстановки и не видя поддержки, быстро выпадают в отчаяние. Если же их поддержать, то эти робкие и застенчивые люди храбро берутся за трудные задания. Им следует избегать изнурительной работы без отдыха, а также ссор и споров.Из «двоек» отличные целители,врачи,учителя младших классов. |
|
Ландыш Раиля |
Общительная,активная, непоседливая, нетерпеливая,на настроение влияет окружающий микроклимат. |
| Тройка-символ полноты и совершенства.В старину числом 3 обозначали окружающий мир и его небесное,земное и подземное царство,поэтому тройка у многих священное число. Люди -«тройки» общительны,добры и благородны.Они верные друзья и верят в силу добра.Любят делать подарки,однако имеют склонность жить не по средствам.Поэтому все думают,что им живется легко. «Тройки» тяжело переносят трудности быта,но при всяких неприятностях остаются маленьким солнышком,способным обогреть.Лучше всего они себя выражают в релегии,философии, искусстве и научной теорие. |
|
Лейла
Алмаз Ильнар |
Умный ,упрямый и любит быть первым,надежный,ответствен-ный и самостоятельный. |
| Четверка – символ устойчивости и прочности. Это четыре стороны света,четыре времени года и четыре стихии:огонь,воздух,земля и вода. Люди - «четверки» прямолинейны и порядочны, требовательны и строги во всем.Они не созданы для развлечений и часто недооценивают себя.Отношения с людьми складываются не просто.Им нужно избавляться от упрямства и желания везде быть первыми. «Четверки» медленно думают и чтобы достичь успехов в жизни они должны много работать.Только в этом случае из них получается хорошие юристы, пограничники и научные работники. |
|
Гульнара |
Очень любит путешествовать, «загорается» новыми идеями. Она смелая, сильная и не боится трудностей,у неё много друзей. |
| Пятерка- символ власти. Путь этих людей труден и полон случайностей. Их постоянно влекут новые места,события и идеи.Они быстры ,сметливы,не боятся трудностей,но не переносят однообразия ,поэтому любят начинать новые дела. «Пятерки» доброжелательны и у них много друзей, и везде они себя чувствуют как дома.Однако главный недостаток неумение и нетерпение слушать других. Они любят рисковать и хорошо проявляют себя будучи предпринимателями,журналистами. |
|
Настя |
Трудолюбивая,добрая, самостоятельная, имеет свое мнение, стараясь его отстоять к лидерству не стремится. |
| Шестерка- символ гармонии. Это число независимых, трудолюбивых людей. У них тонкий вкус,они понимают и ценят прекрасное, а богатое воображение делает их жизнь красочной и насыщенной.Прощая слабость другим,они нередко идут по жизни легким путем,получая как можно больше удовольствий. У них всегда есть свое мнение,но они не стремятся стать лидерами, потому что не переносят конфликтов и споров.Если слова не будут расходиться с делом, «шестерки» станут известными в обществе. |
|
Ляля |
Спокойная, мечтательная, старательная, любит похвалу, любознательная. |
| Семерка- символ загадочности и тайны.У людей этого числа повышенная духовность.Им снятся фантастические сны, чудятся неведомые запахи, и все это они толкуют по- своему.Они всегда заняты собой.Часто теряются и не понимают даже самих себя, поэтому нуждаются в умных и тонко чувствующих людях.Характер у «семерок» неуравновешенный,взрывной.Они не выносят критики, но любят похвалу.Их интересует история,искусство, загадки человеческой души и не волнует заработок. |
|
Лейсан |
Спокойная,с завышенной самооценкой,непостоянная, но любит участвовать в самодеятельности. |
| Восьмерка- символ бесконечности.Люди этого числа обречены на вечную борьбу с собой.Капризные и не постоянные, они предъявляют к себе очень высокие требования.Такие же требования предъявляют они без всякого снисхождения к другим.Их не легко сломать.Они независимы, и делают все по- своему. «Восьмерок» часто подстерегают потери и унижения, но в делах им многое удается.Умеют увлечь за собой коллектив и отлично проявляют себя в политике,деловом мире и искусстве. |
|
Талия |
Подвижная, не всегда ответственная в работе, жизнерадостная, спортивная. |
| Девятка – символ воинственности. Это бойцы,если войны нет,они превращают саму жизнь в битву.Вспыльчивые,резкие безрассудные «девятки или строят или разрушают.Отношения с окружающими сложные.Если в чем-то ошибатся,обвиняют кого угодно,только не себя.У них много друзей,и много врагов, поэтому следует воспитать в себе доброту и уважения к другим.Из них получаются хорошие военные, спортсмены,цирковые артисты,летчики-испытатели, каскадеры и разведчики. |
Получите свидетельство
Вход
Как люди научились считать? Древние системы счисления (1.46 MB)
1
30012
3202
Нравится
0
