МКОУ Тогучинского района «Дергоусовская средняя школа» Научно-практическая работа по математике по теме : «Различные способы решения квадратных уравнений»
Выполнила: ученица 8 класса Галузинская Анастасия
Руководитель: учитель математики Овчиникова Лариса Юрьевна
«Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам…
Стали прыгать, повисая…
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?»
Индийский математик XII в. Бхаскары
Актуальность темы:
В основном государственном экзамене по математике есть задания, связанные с темой «Квадратные уравнения».
Объект исследования: квадратное уравнение.
Предмет исследования
различные способы решения
квадратных уравнений.
Цель работы:
- Найти и изучить различные способы решения квадратных уравнений.
- Провести сравнительный анализ решения квадратных уравнений различными способами.
Задачи:
- Собрать информацию о различных способах решения квадратных уравнений;
- Освоить найденные способы решения;
- провести занятие «Быстрые способы решения квадратных уравнений» с учащимися 8 и 9 классов.
Гипотеза:
К вадратное уравнение можно решить разными способом.
Квадратным уравнением
называется уравнение вида
где х - переменная , а,b и с -некоторые числа, причем, а ≠0.
Если а=1 , - приведённое уравнение.
Если b=0 или с=0: =0 неполные
квадратные
0 уравнения
Методы решения квадратных уравнений излагались в вавилонских рукописях царя Хаммурапи XX в. до н. э.,
В древних китайских и японских
трактатах, в трудах древнегреческого
математика Евклида в III в. до н.э.
В III в. н. э. квадратное уравнение без обращения к геометрии решил великий древнегреческий математик Диофант .
Внесли большой вклад в решение квадратных уравнений великие математики
Француа Виет
Леонард
Фибоначчи
М.Штифель
Кардано
Рене Декарт
Способы:
1. Разложение левой части на множители;
2. Метод выделения полного квадрата;
3. Применение формул корней квадратного уравнения;
4. С применением теоремы Виета;
5. Способом «переброски» коэффициентов;
6. Свойство делителя свободного члена;
7. Свойство коэффициентов квадратного уравнения;
8.Способ решения квадратных уравнений
по теореме Безу;
9. Графический способ;
10. С помощью циркуля и линейки;
11. Геометрический способ;
12. С помощью номограмм;
13. Решения квадратного уравнения с
помощью Excel.
1. Разложение левой части на множители
Решим уравнение : х 2 + 2х – 3 = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители применяя способ группировки:
х 2 + 2х – 3 = х 2 + 3х – х – 3 = х (х + 3) – 1 (х +3) = (х + 3)(х – 1). Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 3)(х – 1) = 0.
Левая часть уравнения обращается в нуль при
х = -3, а также при х = 1.
Ответ: -3; 1
2. Метод выделения полного квадрата
Решим уравнение х 2 + 2х – 3 = 0
Выделим в левой части полный квадрат.
х 2 + 2х – 3 = х 2 + 2· х ·1 + 1 2 – 1 2 – 3 = (х + 1) 2 – 1 – 3 =
= (х + 1) 2 – 4.
Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 1) 2 –4 = 0, т.е. (х + 1) 2 = 4.
Следовательно, х +1 = 2, х 1 = 1,
или х +1 = - 2 , х 2 = – 3.
Ответ: -3; 1
3. Применение формул корней квадратного уравнения
.
Если а = 1, b = p, c = q, то
Если b – чётное, k=b|2, то
х 1,2 =
4. С применением теоремы Виета
Теорема Виета для квадратного уравнения а х 2 + в х + с = 0, где х 1 и х 2 – корни уравнения, имеет вид:
Теорема Виета выполняется и для приведенного квадратного уравнения
х 2 + px + q = 0 и имеет вид:
Решить уравнение:
х 2 – 3х + 2 = 0; p=-3, q = 2
Попробуем найти два числа х 1 и х 2 , такие, что
х 1 +х 2 = 3
х 1 х 2 = 2,
не трудно догадаться, что это числа х 1 = 2 и х 2 = 1
Ответ: 2; 1.
5. Способ «переброски» коэффициентов
Умножая обе части квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 на а,
получаем уравнение а 2 х 2 + да а bх + ас = 0.
Обозначим ах через у, х =
, тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0
Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.
Получаем х 1 =
и х 2 = .
Решим уравнение: 2х 2 – 11х + 15 = 0.
«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате
получим уравнение у 2 – 11 y + 30 = 0.
С помощью Теоремы Виета легко найти его корни
Ответ: 2,5; 3.
6. Свойство делителя свободного члена
Корень уравнения, если он есть целое число, является делителем свободного члена.
Рассмотрим на примере уравнения х 2 + 5х - 14 = 0.
Находим делители числа -14 начиная с меньших чисел, это
1, 2, 7, 14. Подставляя делители в уравнение получаем верное
равенство при делители равном 2, значит 2 – первый
корень уравнения.
По теореме Виета х 1* х 2 =с, значит, х 2 = -14/2 = -7.
Ответ:2; -7
7. Свойство коэффициентов квадратного уравнения
.
1.Если а + b + с = 0, то х 1 = 1, х 2 = с/а
2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х 1 = – 1, х 2 = - с/а
3. Если а =с и b = а 2 +1, то х 1 =-а, х 2 = –1/а.
4. Если а =с и b = -(а 2 +1), то х 1 = а, х 2 = 1/а
5. Если а = - с и b = а 2 +1, то х 1 =-а, х 2 = 1/а.
6. Если а = - с и b = -(а 2 -1), то х 1 =а, х 2 = –1/а.
7. Если а + в = с, то корней нет
Решим уравнение: 2017х 2 – 2018х +1 = 0.
Так как 2017+ (-2018)+ 1= 0, то по свойству 1
х 1 = 1, х 2 =
1/2017.
Ответ : 1; 1/2017 .
8. Способ решения квадратных уравнений по теореме Безу
Если число n является корнем многочлена P(x), то этот многочлен делится на х - n без остатка.
Число n находим методом подбора делителя свободного члена и выполняя деление многочлена х - n на многочлен P(x) , получаем: (х – n)(х – m) = 0, где n и m -корни уравнения.
Решим уравнение: х 2 + 2х – 3 = 0,
Меньший делитель свободного члена 1 является корнем уравнения.
Разделим многочлен х 2 + 2х – 3 на двучлен х – 1:
_ х 2 + 2х – 3 х – 1
х 2 - 1х х +3
_ 3х – 3
3х – 3
0
Уравнение принимает вид: (х – 1)( х +3) = 0
Левая часть уравнения обращается в нуль при х = -3,
а также при х = 1, это означает, что числа -3 и 1
являются корнями данного уравнения.
9. Графический способ
Если в уравнении x 2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим x 2 = – px – q.
Построим графики зависимостей у = х 2 и у = – px – q .
у= х 2
у = - рх – q
х 1 х х 2 х
1
2
3
1. Если прямая и парабола пересекаются в двух точках – 2 решения;
2. Если прямая и парабола касаются - 1решение;
3. Если прямая и парабола не имеют общих точек – корней нет.
10. С помощью циркуля и линейки
ах 2 + bх + с = 0
На координатной плоскости построим точки:
S(
;
) (центр окружности) и А (0;1);
3) х 2 – 2х + 3 = 0
S(1; 2)
1) х 2 – 2х – 3 = 0.
S(1;-1)
2) х 2 + 4х + 4 = 0.
S(-2;2,5)
х 1 = – 1 , х 2 = 3
х 1 = – 2
нет решений
11. С помощью номограмм
Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0.
Эта номограмма позволяет,
не решая квадратного уравнения,
по его коэффициентам
определить корни уравнения.
2) 3z 2 – 9 z + 6 = 0 или
12. Геометрический способ
Решим геометрически уравнения х 2 + 2х – 3 = 0.
Преобразуя уравнение, получаем х 2 + 2х = 3.
На рисунке находим «изображения» выражения х 2 + 2х,
т.е. к площади квадрата со стороной х два раза прибавляем
площади прямоугольников со сторонами, равными 1 и х.
К выражению х 2 + 2х добавился квадрат площадью 1.
Получаем:
х 2 + 2х + 1 = 3 + 1.
(х + 1) 2 = 4,
х + 1 = 2 и х + 1 = -2,
х1 = 1 х2= -3
Ответ: - 3; 1
х 1
х
1
х 2
1х
1х
1
13.Решения квадратного уравнения с помощью таблицы Excel
В таблицу Excel в ячейки А, В и С вводятся коэффициенты квадратного уравнения. В ячейку D - формула дискриминанта, а в ячейки Е и F - формулы корней, результате их значения получаем автоматически.
Сравнение разных способов решения квадратных уравнений
Способ
«+»
1. Разложение левой части уравнения на множители
«-»
Можно решить, не зная формул
2. Метод выделения полного квадрата
Подходит не ко всем уравнениям
быстрее находятся корни
3. Формула корней квадратного уравнения
4. С использованием теоремы Виета
Для всех квадратных уравнений
Дробные коэффициенты
Большие коэффициенты
Быстрота решения, экономия времени
5. Способ «переброски»
Дробные коэффициенты уравнения
Быстрота решения, если корни целые
6. Свойство делителя свободного члена
Дробные коэффициенты уравнения
Быстрота решения и экономия времени
7. Свойства коэффициентов
8. Следствие теоремы Безу
Подходит не ко всем уравнениям, дробные коэффициенты уравнения
Быстрота решения.
Большие коэффициенты
Подходит только для некоторых уравнений
Быстрота решения
9. Графический способ
Подходит не ко всем уравнениям.
Наглядность.
10. С помощью циркуля и линейки
11. С помощью номограммы
Приближённость решения,
Наглядность
Большие коэффициенты
Наглядность
Быстрота решения
12. Геометрический способ
Неточность решения.
Наглядность
13. С помощью таблицы Excel
Подходит не ко всем уравнениям.
Автоматический расчёт
Приближённость решения
Заключение
Умение решать квадратные уравнения разными способами позволяет:
- экономить время, применяя быстрый способ решения;
- решать уравнения с большими коэффициентами;
- выполнять автоматические расчёты;
- наглядно представлять решение уравнения;
- решить любое квадратное уравнение по формуле. .
«Быстрые способы решения квадратных уравнений»
Литература
- Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982 Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для среденй школы. – м., просвещение, 1990 Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Учебник для 8 класса. М., Просвещение, 2015 М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№ 21/96, 10/97, 24/97, 40/2000. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, №4/72. С.34.
- Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982
- Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для среденй школы. – м., просвещение, 1990
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Учебник для 8 класса. М., Просвещение, 2015
- М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№ 21/96, 10/97, 24/97, 40/2000.
- Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, №4/72. С.34.
6.Стратилатов П.В. «Повышение вычислительной культуры учащихся средней
- 6.Стратилатов П.В. «Повышение вычислительной культуры учащихся средней
школы». М., «Просвещение», 1965.
7. Штейнгауз В.Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005.
8. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.
9. https://ru.wikipedia.org/wiki
10. http://science-start.ru/ru/article/view?id=15
- школы». М., «Просвещение», 1965. 7. Штейнгауз В.Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005. 8. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985. 9. https://ru.wikipedia.org/wiki 10. http://science-start.ru/ru/article/view?id=15
Спасибо
за
внимание!