Функциональный метод решения уравнений и неравенств

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Гирьянская средняя

общеобразовательная школа» Беловского района Курской области

Клейменова Валентина Ивановна учитель математики высшей квалификационной категории

Функциональный метод решения уравнений и неравенств

В соответствии с обязательным минимумом содержания среднего (полного) общего образования, утвержденным Министерством образования РФ (пр. №56 от 30.06.99), все учащиеся должны знать три основных метода решения уравнений:

разложение на множители,

замена переменных,

использование свойств функций.

К сожалению, в общеобразовательной школе очень мало времени уделяется решению уравнений и неравенств функциональным методом.

___________________________________________----

Рассмотрим нестандартные методы решения уравнений и неравенств, основанные на свойствах функций: области определения, области значения, монотонности, четности, периодичности .

Использование области определения функции Областью определения функции f(x) называется множество значений, которые принимает независимая переменная (аргумент). Областью определения уравнения f(x)=g(x) (ОДЗ) называются все значения переменной х при которых определена как функция f(x), так и функция g(x).

________________________________________________________

Пример1. Решите уравнение: + =5

Решение.

ОДЗ: 1-x 0,  x 1,  решений нет.

x-3 0 x 3

Ответ: Ø

_______________________________________________________________________________-

Пример2. Решите уравнение:

Решение: Первый радикал определен при 1-x²  -1 x 1.

Второй определен для любых значений x .

Третий определен, если  x  -3 или x  1

Т.О. 

Проверка показывает, что x=1, корень.

Ответ: 1

_______________________________________________________________----

Пример3 Решить неравенство:

ОДЗ:

:

Подставляя полученные значения в данное неравенство, получим: при x  1 исходное неравенство примет вид =0 , значит 1- не корень.

При x = 5 получим , значит 5 – корень.

Ответ: 5

__________________________________________________________________----

Реши самостоятельно:

1).Реши неравенство

Ответ:.1

2).Реши уравнение: + = x - 1 Ответ:1

_______________________-----____________-

Использование свойства монотонности :

Теорема 1. Если одна из функций y=f(x), y=g(x) убывает, а другая возрастает на
промежутке Х, то на этом промежутке уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного корня.

Теорема 2. Если f(x) возрастает на промежутке Х (или f(x) убывает на промежутке Х), то уравнение f(x)=C, где C=const, на промежутке Х имеет не более одного корня
то уравнение f(x)=C, где C=const, на промежутке Х имеет не более одного корня.

______________________________-

Пример 4. Решите уравнение:

Решение.

ОДЗ:

Функция х ² + убывает на промежутке (- ;-0], а - постоянная функция.

Подбором находим, что x =- - 4. В силу теоремы 2, найденный корень единственный.

Ответ: - 4.

Пример5. Решите уравнение: 2 arcsin 2x = 3 arccos x

Данное уравнение есть уравнение вида f(x) = g(x), где f(x) = 2 arcsin2x и g(x)=3 arccos x f(x) возрастает на D (f), g(x) убывает на D (g). Следовательно, уравнение имеет не более одного

корня. Подбором находим, что x =- 0,5. Ответ: 0,5

Пример 6 Решите неравенства: 2x⁵+x³+5x-80

Решение: Рассмотрим функции f(x)= 2x⁵+x³+5x-80 и g(x)= Эти функции определены и дифференцируемы на R. Исследуем f(x) на монотонность: f(x)  10x 4  3x 2  5  0 , как сумма неотрицательных слагаемых и положительного слагаемого. Поэтому функция f(x) строго возрастает на R. Функция g(x) определена на R и дифференцируема на множестве , причем

,

Значит, функция g(x) убывает на R. Поскольку функция f(x) строго возрастает, а функция g(x) убывает на R, то уравнение f(x)  g(x) имеет не больше одного корня. Подбором находим, что
x  2 является корнем этого уравнения,

Ответ: 2

Реши самостоятельно:

1) Решите уравнение

Ответ: 1.

2) Решите неравенство

Ответ: .

3) Решите неравенство .

Ответ:

Использование ограниченности функций.

Для использования ограниченности функции необходимо уметь находить множество значений функции и знать оценки области значений стандартных функций (например, 1  sin x  1 , .

Теорема 1: Если

Пример 7. Решите уравнение .

Решение. Перепишем уравнение в виде: .

Поскольку и , следовательно, данное уравнение равносильно системе

Ответ: -1.

Пример 8. Решите уравнение

Решение. Заметим, что и

Следовательно,неравенство может быть выполнено только при условии, что , а это достигается при , что невозможно.

Ответ: нет решений.

Следствие теоремы 1: Если для любого справедливы неравенства и где А – некоторое число, то на множестве М уравнение и неравенство решений не имеют.

Роль числа А часто играет нуль, в этом случае говорят о сохранении знака функций f(x) и g(x) на множестве М.

Пример 9. Решите уравнение .

Решение. 1. Заметим, что . Воспользуемся этим неравенством для левой части уравнения: .

2. В правой части уравнения получим: . Тогда .

Ответ: нет корней..

Пример 10. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

имеет решения. Найдите эти решения

Решение. Перепишем уравнение в виде

При всех значениях х выражение

а выражение Следовательно получаем систему

Ответ: x= , a =

Реши самостоятельно: Найти все значения параметра а при которых уравнение

имеет решение.

Ответ:5

Метод оценок. Признаком применения этого метода является наличие в уравнении функций разной природы.

.

.