Меню
Разработки
Разработки  /  Математика  /  Подготовка к ЕГЭ  /  11 класс  /  Элективный курс по теме " Метод координат"

Элективный курс по теме " Метод координат"

Данный элективный курс содержит программу курса и 2 презентации " Нахождение расстояний"," Нахождение углов". Будет полезна при подготоке к решению задачи 12 ЕГЭ профиля.

08.06.2018

Содержимое разработки

Авторская программа элективного курса по математике

для учащихся 11 класса

«Применение метода координат при решение задач ЕГЭ уровня С2»

учителя математики 1 квалификационной категории МОУ Вохомская средняя общеобразовательная школа Вохомского района Костромской области

Адеевой Галины Витальевны.





ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА



Элективный курс«Применение метода координат при решение задач ЕГЭ уровня С2» раз­работан в рамках реализации концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования и соответствует Госу­дарственному стандарту среднего образования по математике. При разработке данной программы учитывалось то, что элек­тивный курс как компонент образования должен быть направ­лен на удовлетворение познавательных потребностей и инте­ресов старшеклассников, на формирование у них новых видов познавательной и практической деятельности, которые не ха­рактерны для традиционных учебных курсов.

Программа элективного курса по теме ориентирована на коррекцию уровня подготовки, дополнение и углубление базового и предметного образования, компенсацию недостатков обучения по профильным предметам. Математика является обязательным предметом для сдачи ЕГЭ и о немалую часть материала единого государственного экзамена составляют задачи по геометрии. Результаты ЕГЭ показывают пробелы изучения геометрии в школе. Самыми трудными заданиями по математике являются геометрические задачи.

Особого внимания требуют вопросы, связанные с вычислением расстояний и углов в пространстве применительно к конкретной фигуре. Они остаются трудными для большинства учащихся, причем, даже в тех достаточно типичных ситуациях, которые используются в задачах повышенного уровня. Так, если в задачах высокого уровня сложности рассматривается угол между двумя плоскостями, которые зачастую являются плоскостями боковых граней или плоскостями проведенных сечений, то в задачах повышенного уровня это угол между плоскостью основания и плоскостью боковой грани пирамиды или плоскостью типичного сечения призмы. Задачи, связанные с такими ситуациями, из года в год присутствуют в вариантах ЕГЭ (как и в вариантах многих вступительных экзаменов в вузы), тем не менее, процент их верного решения невысок. Это объясняется двумя причинами. Первая причина связана с тем, что углы между плоскостями (а также другие вопросы, связанные с углами и расстояниями в пространстве) в учебниках часто рассматриваются и проходят первичное закрепление до изучения многогранников и тел вращения. Вторая причина связана с задачами, в которых рассматриваются углы между прямой и плоскостью или между плоскостями, где необходимо применять планиметрический материал, нередко усвоенный непрочно. В данном случае речь идет о решении прямоугольных (реже – косоугольных) треугольников.

В школьном курсе стереометрии упор делается на дополнительные построения, которые позволяют выделить искомый угол, а затем рассчитать его величину.

Здесь уместно вспомнить задачи на построение сечений многогранников, которые рассматриваются в 10 классе и у многих вызывают трудности. Существование формального алгоритма для таких построений совершенно не облегчает задачу, поскольку каждый случай достаточно уникален, а любая систематизация лишь усложняют процесс.

Именно поэтому задача C2 оценивается в два балла. Первый балл дается за правильные построения, а второй — за правильные вычисления и собственно ответ.

Преимущества традиционного решения:

  1. Высокая наглядность дополнительных построений, которые подробно изучаются на уроках геометрии в 10-11 классах;

  2. При правильном подходе значительно сокращается объем вычислений.

Недостатки:

  1. Необходимо знать большое количество формул из стереометрии и планиметрии;

  2. Дополнительные построения каждый раз приходится придумывать «с нуля». И это может оказаться серьезной проблемой даже для хорошо подготовленных учеников.

В методе координат главная нагрузка приходится на алгебраические выкладки, однако их целесообразность базируется на наглядном осмыслении задачи. Что же требуется , чтобы освоить метод координат? 1)знание определенных формул; 2) умение вычислять координаты вершин многогранников и точек, расположенных на их ребрах и гранях; 3)умение составлять уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Цели курса:

- углубить теоретическое и практическое содержание курса стереометрии;

- развивать пространственные представления и логическое мышление;

- развивать умение применять знания на практике, приводить аргументированное решение, анализировать условие задачи и выбирать наиболее рациональный способ решения.

- Формирование системы знаний по теме «Метод координат»

Задачи курса:

- расширить и углубить представления учащихся о приемах и методах решения стереометрических задач;

- создать условия для выдвижения различных гипотез при поиске решения задачи и доказательства истинности или ложности этих гипотез;

- развивать интерес и положительную мотивацию изучения геометрии, создавать условия для подготовки учащихся к успешной сдаче ЕГЭ по математике.



Основной тип занятий - практикум. Для наиболее успеш­ного усвоения материала планируются различные формы ра­боты с учащимися: лекционные и практические занятия, с использованием презентаций, группо­вые, индивидуальные формы работы.

Весь теретический и практический материал крса представлен в презентациях,которые прилагаются к данной рабочей программе.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

- выполнять чертежи по тексту задачи; находить углы и расстояния в пространстве

- точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения задач;

- уметь анализировать задачу и выбирать наиболее рациональный способ ее решения.





УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

№ п/п

Наименование тем курса

Всего часов

1

Метод координат. Повторение основных понятий.

1

2

Введение системы координат

1

3

Угол между прямыми

2

4

Угол между прямой и плоскостью

2

5

Угол между плоскостями

2

6

Расстояние между точками



2

7

Расстояние от точки до плоскости

2

8

Расстояние от точки до прямой

2

9

Расстояние между скрещивающимися прямыми

2


Всего

16















СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ КУРСА



Тема 1. Метод координат. Повторение основных понятий.

Понятие вектора.Координаты вектора.Угол между векторами.Понятие нормали.Уравнение плоскости.

Тема 2. Введение системы координат

Оптимальный вариант введения системы координат.Призма,пирамида.

Тема 3. Угол между прямыми

Нахождение угла между прямыми методом координат.

Тема 4. Угол между прямой и плоскостью

Нахождение угла между прямой и плоскостью методом координат

Тема 5. Угол между плоскостями

Нахождение угла между плоскостями методом координат

Тема 6.Расстояние между точками

Нахождение расстояний между точками методом координат

Тема 7. Расстояние от точки до плоскости

Нахождение расстояний от точки до плоскости методом координат

Тема 8. Расстояние от точки до прямой

Нахождение расстояний от точки до прямой методом координат

Тема 9. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Нахождение расстояний между скрещивающимися прямыми методом координат

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2013 (типовые задания С2)

ЕГЭ 2010.Математика. Задача С2 . Смирнов В.А./Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. М.:МЦНМО, 2010

ЕГЭ 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся. Авт.-сост. Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д. и др. /ФИПИ- М.; Интеллект-Центр, 2010.

Смирнова И.М. ,Смирнов В.А.Расстояния и углы в пространстве(Москва,2009 г.)





Содержимое разработки

Нахождение углов.          Выполнила учитель МОУ Вохомская средняя школа  Адеева Г.В.

Нахождение углов.

Выполнила учитель МОУ Вохомская средняя школа

Адеева Г.В.

В задаче C2 рассматриваются многогранники, на основе которых,  как правило, нужно найти одну из следующих величин: Угол между скрещивающимися прямыми  — это угол между двумя прямыми, которые  пересекаются в одной точке и параллельны данным прямым. Угол между прямой и плоскостью  —  это угол между самой прямой и   ее проекцией на данную плоскость. Угол между двумя плоскостями  — это угол между прямыми, которые лежат в данных плоскостях и перпендикулярны линии пересечения этих плоскостей. Прямые всегда задаются двумя точками на поверхности или   внутри многогранника, а плоскости — тремя. Сами многогранники всегда задаются длинами своих граней.

В задаче C2 рассматриваются многогранники, на основе которых,

как правило, нужно найти одну из следующих величин:

  • Угол между скрещивающимися прямыми  —
  • это угол между двумя прямыми, которые
  • пересекаются в одной точке и параллельны данным прямым.
  • Угол между прямой и плоскостью  —
  • это угол между самой прямой и
  •   ее проекцией на данную плоскость.
  • Угол между двумя плоскостями  —
  • это угол между прямыми, которые лежат в данных плоскостях

и перпендикулярны линии пересечения этих плоскостей.

Прямые всегда задаются двумя точками на поверхности или

  внутри многогранника, а плоскости — тремя.

Сами многогранники всегда задаются длинами своих граней.

Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их три: Главная формула — косинус угла φ между векторами a = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) и b = (x 2 ; y 2 ; z 2 ): Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит через начало координат, D = 0. А  если не проходит, то D = 1. Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0, имеет координаты: n = (A; B; C) и  называется вектором нормали к плоскости.

Для того, чтобы использовать метод координат,

надо хорошо знать формулы. Их три:

  • Главная формула — косинус угла φ между
  • векторами a = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) и b = (x 2 ; y 2 ; z 2 ):
  • Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0,

где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит

через начало координат, D = 0. А 

если не проходит, то D = 1.

  • Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0,

имеет координаты: n = (A; B; C) и

называется вектором нормали к плоскости.

Задача . Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5). Решение .  Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу: Ответ: 36/65

Задача . Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).

Решение .

Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу:

Ответ: 36/65

Задача.  Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0),  если известно, что она не проходит через начало координат. Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но,  поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0)  то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство. Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем :  A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0; Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:  A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;  A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Задача.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0),

если известно, что она не проходит через начало координат.

Решение.

Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но,

поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0) 

то положим D = 1.

Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек

должны обращать уравнение в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем : A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения: A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0; A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных.  Составим и решим систему уравнений: Получили, что уравнение плоскости имеет вид: −  0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0. Ответ: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных.

Составим и решим систему уравнений:

Получили, что уравнение плоскости имеет вид:

−  0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Ответ: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0

Задача.  Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости. Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4)  Ответ: n = (7; − 2; 4)

Задача.

Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.

Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) 

Ответ: n = (7; − 2; 4)

Вычисление координат векторов Теорема. Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала. Задача . В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC. Решение. Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A:  AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4). Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем:  AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5). Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B:  BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9). Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Вычисление координат векторов

Теорема. Чтобы найти координаты вектора,

надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Задача . В пространстве расположены три точки, заданные

своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2).

Найти координаты векторов AB, AC и BC.

Решение. Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A,

а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты,

надо из координат точки B вычесть координаты точки A: AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A,

зато конец — точка C. Поэтому имеем: AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Наконец, чтобы найти координаты вектора BC,

надо из координат точки C вычесть координаты точки B: BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Введение системы координат  Самое замечательное свойство этого метода заключается в том,  что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат.  Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным. Некоторые рекомендации, как лучше ввести систему координат для самых часто встречающихся  в задаче C2 многогранников:

Введение системы координат

Самое замечательное свойство этого метода

заключается в том,

что не имеет никакого значения,

как именно вводить систему координат.

Если все вычисления будут правильными,

то и ответ будет правильным.

Некоторые рекомендации,

как лучше ввести систему координат

для самых часто встречающихся

в задаче C2 многогранников:

Решение задач методом координат упрощает знание опорной задачи:

Решение задач методом координат упрощает знание опорной задачи:

Угол между прямыми -  направляющий вектор прямой а - направляющий вектор прямой b - угол между прямыми

Угол между прямыми

- направляющий вектор прямой а

- направляющий вектор прямой b

- угол между прямыми

Задача 1 В единичном кубе найдите угол между прямыми AE и BF, где Е – середина ребра , а F – середина ребра Решение (1 способ) К - середина По теореме косинусов для

Задача 1

В единичном кубе найдите угол между прямыми AE и BF, где Е – середина ребра , а F – середина ребра

Решение (1 способ)

К - середина

По теореме косинусов для

Решение (2 способ)

Решение (2 способ)

Задача 2  В правильной треугольной призме все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми  AD и  CE , где  D и  E - соответственно середины ребер и Решение.

Задача 2

В правильной треугольной призме все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AD и CE , где D и E - соответственно середины ребер и

Решение.

Координаты правильной треугольной призмы

Координаты правильной треугольной призмы

Решение.

Решение.

Задача 3 В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми и Решение.

Задача 3 В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми и

Решение.

Координаты правильной шестиугольной призмы

Координаты правильной шестиугольной призмы

Решение.

Решение.

Задача 4 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1 , отмечены точки Е и F – середины сторон SB  и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AE  и  BF . Решение.

Задача 4 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1 , отмечены точки Е и F – середины сторон SB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF .

Решение.

Координаты правильной четырехугольной пирамиды

Координаты правильной четырехугольной пирамиды

Решение. Е - середина SB F - середина SC

Решение.

Е - середина SB

F - середина SC

Угол между прямой и плоскостью - направляющий вектор прямой - нормальный вектор плоскости

Угол между прямой и плоскостью

- направляющий вектор прямой

- нормальный вектор плоскости

Задача 5 В правильной четырехугольной пирамиде  SABCD , все ребра которой равны 1 , найдите угол между прямой DE , где Е - середина апофемы SF  грани ASB  и плоскостью ASC Решение. - вектор нормали плоскости - направляющий вектор прямой

Задача 5 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1 , найдите угол между прямой DE , где Е - середина апофемы SF грани ASB и плоскостью ASC

Решение.

- вектор нормали плоскости

- направляющий вектор прямой

- вектор нормали плоскости - направляющий вектор прямой DE

- вектор нормали плоскости

- направляющий вектор прямой DE

Задача 6 Найдите синус угла между прямой и плоскостью - вектор, перпендикулярный плоскости - направляющий вектор прямой

Задача 6

Найдите синус угла между прямой

и плоскостью

- вектор, перпендикулярный плоскости

- направляющий вектор прямой

Задача 7 правильная треугольная призма, все ребра середина середина которой равны 1 . угол между прямой и плоскостью Найдите Н

Задача 7

правильная треугольная призма, все ребра

середина

середина

которой равны 1 .

угол между прямой

и плоскостью

Найдите

Н

Задача 8 В единичном кубе найдите угол между прямой A В 1 и плоскостью (А 1 EF ) , где Е – середина В 1 С 1, A (1; 0; 0) A 1 (1; 0; 1) z B 1 (1; 1; 1) Е ( 0,5 ; 1 ; 1) E 1 Запишем уравнение плоскости (А 1 EF ): у F 1 1 х

Задача 8 В единичном кубе найдите угол между прямой A В 1 и плоскостью (А 1 EF ) , где Е – середина В 1 С 1,

A (1; 0; 0)

A 1 (1; 0; 1)

z

B 1 (1; 1; 1)

Е ( 0,5 ; 1 ; 1)

E

1

Запишем уравнение плоскости (А 1 EF ):

у

F

1

1

х

A 1 (1; 0; 1) Е ( 0,5 ; 1 ; 1) - уравнение плоскости (А 1 EF ).

A 1 (1; 0; 1)

Е ( 0,5 ; 1 ; 1)

- уравнение плоскости (А 1 EF ).

- вектор нормали к плоскости - направляющий вектор прямой Ответ:

- вектор нормали к плоскости

- направляющий вектор прямой

Ответ:

Задача 9 В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите синус угла между прямой A В 1 и плоскостью (АС F 1 ) . z Запишем уравнение плоскости (АС F 1 ): х у

Задача 9 В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите синус угла между прямой A В 1 и плоскостью (АС F 1 ) .

z

Запишем уравнение плоскости (АС F 1 ):

х

у

C ( 1 ; 0;0) F 1 (- 1 ; 0; 1 ) - уравнение плоскости (АС F 1 ).

C ( 1 ; 0;0)

F 1 (- 1 ; 0; 1 )

- уравнение плоскости (АС F 1 ).

- вектор нормали к плоскости - направляющий вектор прямой Ответ:

- вектор нормали к плоскости

- направляющий вектор прямой

Ответ:

Задача 10 В правильной четырехугольной пирамиде ребро основания равно 4, а высота – 6. Найдите угол между прямой ВЕ, где Е- середина SC и плоскостью (А DS ) . z E Запишем уравнение плоскости (А SD ): y х

Задача 10 В правильной четырехугольной пирамиде ребро основания равно 4, а высота – 6. Найдите угол между прямой ВЕ, где Е- середина SC и плоскостью (А DS ) .

z

E

Запишем уравнение плоскости (А SD ):

y

х

- уравнение плоскости  (А SD ).

- уравнение плоскости (А SD ).

- вектор нормали к плоскости - направляющий вектор прямой Ответ:

- вектор нормали к плоскости

- направляющий вектор прямой

Ответ:

Угол между плоскостями Вектор нормали плоскости Вектор нормали плоскости

Угол между плоскостями

Вектор нормали плоскости

Вектор нормали плоскости

Задача 11 В единичном кубе найдите угол между плоскостями и , где Е – середина ребра , а F – середина ребра Решение. Уравнение плоскости Вектор нормали плоскости

Задача 11 В единичном кубе найдите угол между плоскостями и , где Е – середина ребра , а F – середина ребра

Решение.

Уравнение плоскости

Вектор нормали плоскости

Уравнение плоскости Вектор нормали плоскости

Уравнение плоскости

Вектор нормали плоскости

Задача 12 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1   AB = 3, ВС = 4, АА 1 = 12. Через середину ребра АВ перпендикулярно диагонали В D 1 проведена плоскость. Найдите угол образованный этой плоскостью с основанием параллелепипеда. z Решим задачу методом координат. Введем нормали к плоскостям. (0;  0; 12 ) D 1 C 1 1. Нормаль к плоскости А BC DD 1  2 . Нормаль ко второй плоскости , которую я и строить не берусь… Но по условию это сечение проходит перпендикулярно прямой BD 1 . Значит, В D 1 - перпендикуляр к плоскости. Выберем нормаль D 1 B. A 1 B 1 12 y C D 1 B D D (0;0; 12 ) ( 4 ; 3 ; -12 ) DD 1 D 1 B 4 DD 1 – это радиус-вектор, поэтому его координаты такие же, как и точки D 1 Чтобы найти координаты вектора D 1 B , вычтем из конца вектора его начало. x A B 3 ( 4 ; 3 ; 0 )

Задача 12 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1

AB = 3, ВС = 4, АА 1 = 12. Через середину ребра АВ перпендикулярно диагонали В D 1 проведена плоскость. Найдите угол образованный этой плоскостью с основанием параллелепипеда.

z

Решим задачу методом координат. Введем нормали к плоскостям.

(0; 0; 12 )

D 1

C 1

1. Нормаль к плоскости А BC

DD 1

2 . Нормаль ко второй плоскости , которую я и строить не берусь… Но по условию это сечение проходит перпендикулярно прямой BD 1 . Значит, В D 1 - перпендикуляр к плоскости. Выберем нормаль D 1 B.

A 1

B 1

12

y

C

D 1 B

D

D

(0;0; 12 )

( 4 ; 3 ; -12 )

DD 1

D 1 B

4

DD 1 – это радиус-вектор, поэтому его координаты такие же, как и точки D 1

Чтобы найти координаты вектора D 1 B , вычтем из конца вектора его начало.

x

A

B

3

( 4 ; 3 ; 0 )

( 4 ; 3 ; -12 ) (0;0; 12 ) DD 1 D 1 B  12 52

( 4 ; 3 ; -12 )

(0;0; 12 )

DD 1

D 1 B

12

52

y  Задача 13 В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 диагональ основания в 2 раза больше бокового ребра. Найдите угол между плоскостью А CB 1 и боковой гранью ВВ 1 С 1 С. Эта система имеет бесконечное множество решений, так как векторов, перпендикулярных плоскости ACB 1 , бесконечно много. Выберем из данного множества ненулевой вектор n ,  положив х  =  1,  тогда у  = 1, z = – В данной задаче построение линейного угла не столь очевидно. Поэтому применим метод координат. Если в задаче не дано числовое значение, то можем обозначить боковое ребро «1», тогда диагональ основания равна 2. Найдем сторону основания. Основание – квадрат. Вектор нормали плоскости ВВ 1 С 1 : Найдем вектор нормали плоскости А CB 1 . Рассмотрим два вектора этой плоскости : 2 /  :  Из (1) z D 1 C 1 С D (-  ; ;0) AC (0; ;1) AB 1 2 2 2 Пусть  вектор нормали n { x ; y ; z }.  Вектор, перпендикулярный плоскости, будет перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой  плоскости. Тогда, 2 1 ? B 1 A 1 (  ;  ; 1 ) 2 2 45 0 А В  2 D ( 0 ;  ; 0 ) C 2 (0; ;0) p 2 AC n = 0 n AC значит, 2 = 0 n значит, AB 1 AB 1 n Получим систему Вектор нормали плоскости ACB 1 :  (  ; 0 ; 0 ) A 2 2 B х (1;1;- ) n 2

y

Задача 13 В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 диагональ основания в 2 раза больше бокового ребра. Найдите угол между плоскостью А CB 1 и боковой гранью ВВ 1 С 1 С.

Эта система имеет бесконечное множество решений, так как

векторов, перпендикулярных плоскости ACB 1 , бесконечно

много. Выберем из данного множества ненулевой вектор n ,

положив х = 1,

тогда у = 1, z = –

В данной задаче построение линейного угла не столь очевидно. Поэтому применим метод координат.

Если в задаче не дано числовое значение, то можем обозначить боковое ребро «1», тогда диагональ основания равна 2. Найдем сторону основания. Основание – квадрат.

Вектор нормали плоскости ВВ 1 С 1 :

Найдем вектор нормали плоскости А CB 1 . Рассмотрим два вектора этой плоскости :

2

/ :

Из (1)

z

D 1

C 1

С

D

(- ; ;0)

AC

(0; ;1)

AB 1

2

2

2

Пусть вектор нормали n { x ; y ; z }. Вектор, перпендикулярный плоскости, будет перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой

плоскости. Тогда,

2

1

?

B 1

A 1

( ; ; 1 )

2

2

45 0

А

В

2

D

( 0 ; ; 0 )

C

2

(0; ;0)

p

2

AC

n

= 0

n

AC

значит,

2

= 0

n

значит,

AB 1

AB 1

n

Получим систему

Вектор нормали плоскости ACB 1 :

( ; 0 ; 0 )

A

2

2

B

х

(1;1;- )

n

2

(1;1;- ) n (0; ;0) p 2 2

(1;1;- )

n

(0; ;0)

p

2

2

D 1 (0; 0; 1) A (1; 0; 0) z C (0; 1; 0) D (0; 0; 0) C 1 (0; 1; 1) B (1; 1; 0) Запишем уравнения плоскостей (АС D 1 )  и ( BDC 1 ): у х

D 1 (0; 0; 1)

A (1; 0; 0)

z

C (0; 1; 0)

D (0; 0; 0)

C 1 (0; 1; 1)

B (1; 1; 0)

Запишем уравнения плоскостей (АС D 1 ) и ( BDC 1 ):

у

х

A (1; 0; 0) C (0; 1; 0) D 1 (0; 0; 1) D (0; 0; 0) B (1; 1; 0) C 1 (0; 1; 1) Ответ:

A (1; 0; 0)

C (0; 1; 0)

D 1 (0; 0; 1)

D (0; 0; 0)

B (1; 1; 0)

C 1 (0; 1; 1)

Ответ:

z С 1 В 1 А 1 С Запишем уравнения плоскостей ( А B С 1 )  и (A 1 B 1 C) : В А у х

z

С 1

В 1

А 1

С

Запишем уравнения плоскостей ( А B С 1 ) и (A 1 B 1 C) :

В

А

у

х

Ответ:

Ответ:

z C (1; 0;0) х Запишем уравнения плоскостей ( А 1 BC)  и (AA 1 E) : у

z

C (1; 0;0)

х

Запишем уравнения плоскостей ( А 1 BC) и (AA 1 E) :

у

C (1; 0;0)

C (1; 0;0)

Ответ:

Ответ:

Литература :   Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2)    ЕГЭ 2010.Математика. Задача С2 . Смирнов В.А./Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. М.:МЦНМО, 2010 ЕГЭ 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся. Авт.-сост. Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д. и др. /ФИПИ- М.; Интеллект-Центр, 2010. Некоторые рисунки из ресурсов Интернета Материалы с сайта репетитора по математике Павла Бердова-  http://www.berdov.com/ege/solid_geometry/ Материалы с сайта учителя математики Савченко Е.М.- http://le-savchen.ucoz.ru/news/2012-07-15-24 Материалы учителя математики Ларькиной Г.А.-  https://sites.google.com/site/larkinaga91/metodiceskaa-rabota/publika

Литература :

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2)

ЕГЭ 2010.Математика. Задача С2 . Смирнов В.А./Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. М.:МЦНМО, 2010

ЕГЭ 2010. Математика. Универсальные

материалы для подготовки учащихся. Авт.-сост. Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д. и др. /ФИПИ- М.; Интеллект-Центр, 2010.

Некоторые рисунки из ресурсов Интернета

Материалы с сайта репетитора по математике Павла Бердова- http://www.berdov.com/ege/solid_geometry/

Материалы с сайта учителя математики Савченко Е.М.- http://le-savchen.ucoz.ru/news/2012-07-15-24

Материалы учителя математики Ларькиной Г.А.- https://sites.google.com/site/larkinaga91/metodiceskaa-rabota/publika

Содержимое разработки

МЕТОД КООРДИНАТ  В ЗАДАЧАХ С2  Нахождение расстояний Выполнила учитель МОУ Вохомская средняя школа  Адеева Г.В.

МЕТОД КООРДИНАТ В ЗАДАЧАХ С2

Нахождение расстояний

Выполнила учитель МОУ Вохомская средняя школа

Адеева Г.В.

В задаче C2 рассматриваются многогранники, на основе которых,  как правило, нужно найти одну из следующих величин:

В задаче C2 рассматриваются многогранники, на основе которых,

как правило, нужно найти одну из следующих величин:

  • Расстояние между точками
  • Расстояние от точки до прямой- длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
  • Расстояние от точки до плоскости– длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
  • расстояние между скрещивающимися прямыми - длину общего перпендикуляра скрещивающихся прямых .
  • Расстояние между параллельными прямой и плоскостью – длину перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на плоскость.
Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать: Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит через начало координат, D = 0. А  если не проходит, то D = 1. Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0, имеет координаты: n = (A; B; C) и  называется вектором нормали к плоскости.

Для того, чтобы использовать метод координат,

надо хорошо знать:

  • Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0,

где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит

через начало координат, D = 0. А 

если не проходит, то D = 1.

  • Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0,

имеет координаты: n = (A; B; C) и

называется вектором нормали к плоскости.

Задача.  Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0),  если известно, что она не проходит через начало координат. Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но,  поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0)  то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство. Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:  A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0; Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:  A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;  A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Задача.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0),

если известно, что она не проходит через начало координат.

Решение.

Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но,

поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0) 

то положим D = 1.

Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек

должны обращать уравнение в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем: A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения: A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0; A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных.  Составим и решим систему уравнений: Получили, что уравнение плоскости имеет вид: −  0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0. Ответ: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных.

Составим и решим систему уравнений:

Получили, что уравнение плоскости имеет вид:

−  0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Ответ: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0

Задача.  Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости. Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4)  Ответ: n = (7; − 2; 4)

Задача.

Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.

Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) 

Ответ: n = (7; − 2; 4)

Вычисление координат векторов Теорема. Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала. Задача . В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC. Решение. Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A:  AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4). Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем:  AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5). Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B:  BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9). Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Вычисление координат векторов

Теорема. Чтобы найти координаты вектора,

надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Задача . В пространстве расположены три точки, заданные

своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2).

Найти координаты векторов AB, AC и BC.

Решение. Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A,

а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты,

надо из координат точки B вычесть координаты точки A: AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A,

зато конец — точка C. Поэтому имеем: AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Наконец, чтобы найти координаты вектора BC,

надо из координат точки C вычесть координаты точки B: BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Введение системы координат  Самое замечательное свойство этого метода заключается в том,  что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат.  Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным. Некоторые рекомендации, как лучше ввести систему координат для самых часто встречающихся  в задаче C2 многогранников:

Введение системы координат

Самое замечательное свойство этого метода

заключается в том,

что не имеет никакого значения,

как именно вводить систему координат.

Если все вычисления будут правильными,

то и ответ будет правильным.

Некоторые рекомендации,

как лучше ввести систему координат

для самых часто встречающихся

в задаче C2 многогранников:

Решение задач методом координат упрощает знание опорной задачи:

Решение задач методом координат упрощает знание опорной задачи:

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ А И В МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ:  1) ПО ФОРМУЛЕ          ГДЕ A( X1; Y1; Z1 ), B( X2; Y2; Z2 )   2) ПО ФОРМУЛЕ  .

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ А И В МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ:

1) ПО ФОРМУЛЕ

ГДЕ A( X1; Y1; Z1 ), B( X2; Y2; Z2 )

2) ПО ФОРМУЛЕ .

Задача 1 В ОСНОВАНИИ ПИРАМИДЫ SABCD ЛЕЖИТ РОМБ СО СТОРОНОЙ 2 И ОСТРЫМ УГЛОМ В 60˚. БОКОВОЕ РЕБРО SA ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО ОСНОВАНИЮ ПИРАМИДЫ И РАВНО 4. НАЙДИТЕ РАССТОЯНИЕ ОТ СЕРЕДИНЫ Н РЕБРА SD И СЕРЕДИНОЙ М РЕБРА ВС.

Задача 1

В ОСНОВАНИИ ПИРАМИДЫ SABCD ЛЕЖИТ РОМБ СО СТОРОНОЙ 2 И ОСТРЫМ УГЛОМ В 60˚. БОКОВОЕ РЕБРО SA ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО ОСНОВАНИЮ ПИРАМИДЫ И РАВНО 4. НАЙДИТЕ РАССТОЯНИЕ ОТ СЕРЕДИНЫ Н РЕБРА SD И СЕРЕДИНОЙ М РЕБРА ВС.

Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Найдём координаты точки Н как координаты середины отрезка SD: S(0; 0; 4), D(0; 2; 0). Решение. Чтобы найти координаты точек В и С, найдём координаты их проекций на оси. АВх=ACx=2·cos30˚= , ABy=ACу–2=2·cos60˚=1. Отсюда В( ;1;0), С( ;3;0). Тогда координаты точки М равняются:  Теперь находим расстояние между точками, заданными своими координатами: Ответ:

Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Найдём координаты точки Н как координаты середины отрезка SD: S(0; 0; 4), D(0; 2; 0).

Решение.

Чтобы найти координаты точек В и С, найдём координаты их проекций на оси. АВх=ACx=2·cos30˚= ,

ABy=ACу–2=2·cos60˚=1.

Отсюда В( ;1;0), С( ;3;0). Тогда координаты точки М равняются:

Теперь находим расстояние между точками, заданными своими координатами:

Ответ:

Задача2  В ЕДИНИЧНОМ КУБЕ АВСDA1В1С1D1 ТОЧКИ Е И К – СЕРЕДИНЫ РЕБЕР АА1 И СD СООТВЕТСТВЕННО, А ТОЧКА М РАСПОЛОЖЕНА НА ДИАГОНАЛИ В1D1 ТАК, ЧТО В1М = 2МD1. НАЙДИТЕ РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ Q И L, ГДЕ Q – СЕРЕДИНА ОТРЕЗКА ЕМ, А L – ТОЧКА ОТРЕЗКА МК ТАКАЯ, ЧТО ML=2LK.

Задача2

В ЕДИНИЧНОМ КУБЕ АВСDA1В1С1D1 ТОЧКИ Е И К – СЕРЕДИНЫ РЕБЕР АА1 И СD СООТВЕТСТВЕННО, А ТОЧКА М РАСПОЛОЖЕНА НА ДИАГОНАЛИ В1D1 ТАК, ЧТО В1М = 2МD1. НАЙДИТЕ РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ Q И L, ГДЕ Q – СЕРЕДИНА ОТРЕЗКА ЕМ, А L – ТОЧКА ОТРЕЗКА МК ТАКАЯ, ЧТО ML=2LK.

Решение.  Введём декартову систему координат. E(1;0;0,5), K(0,5;1,0) , В1(0;0;1), D1(1;1;1).  Чтобы вычислить координаты т.М, воспользуемся формулой для нахождения координат точки, которая делит отрезок B1D1 в отношении λ=2:1: Аналогично находим координаты точки L:

Решение.

Введём декартову систему координат. E(1;0;0,5), K(0,5;1,0) , В1(0;0;1), D1(1;1;1). Чтобы вычислить координаты т.М, воспользуемся формулой для нахождения координат точки, которая делит отрезок B1D1 в отношении λ=2:1:

Аналогично находим координаты точки L:

Координаты точки Q находим по формуле координат середины отрезка: .  Ответ: .

Координаты точки Q находим по формуле координат середины отрезка:

.

Ответ: .

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости

Координатный метод Расстояние от точки М до плоскости можно   вычислить по формуле   M(и плоскость задана уравнением ax + by + cz + d=0 Задача 3 В единичном кубе А…D₁ найдите расстояние от точки А₁ до (ВDC₁ ). z A₁ B₁ D₁ C₁ A B у D C х

Координатный метод

Расстояние от точки М до плоскости можно

 

вычислить по формуле

M(и плоскость задана уравнением ax + by + cz + d=0

Задача 3 В единичном кубе А…D₁ найдите расстояние

от точки А₁ до (ВDC₁ ).

z

A₁

B₁

D₁

C₁

A

B

у

D

C

х

Задача 4    ОСНОВАНИЕ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ АВСА1В1С1 – РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК АВС, ОСНОВАНИЕ АС И ВЫСОТА ВD КОТОРОГО РАВНЫ 4. БОКОВОЕ РЕБРО РАВНО 2. ЧЕРЕЗ СЕРЕДИНУ К ОТРЕЗКА В1С ПРОВЕДЕНА ПЛОСКОСТЬ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ К ЭТОМУ ОТРЕЗКУ. НАЙДИТЕ РАССТОЯНИЕ ОТ ВЕРШИНЫ А ДО ЭТОЙ ПЛОСКОСТИ.

Задача 4 ОСНОВАНИЕ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ АВСА1В1С1 – РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК АВС, ОСНОВАНИЕ АС И ВЫСОТА ВD КОТОРОГО РАВНЫ 4. БОКОВОЕ РЕБРО РАВНО 2. ЧЕРЕЗ СЕРЕДИНУ К ОТРЕЗКА В1С ПРОВЕДЕНА ПЛОСКОСТЬ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ К ЭТОМУ ОТРЕЗКУ. НАЙДИТЕ РАССТОЯНИЕ ОТ ВЕРШИНЫ А ДО ЭТОЙ ПЛОСКОСТИ.

Решение. Выберем систему координат как показано на рисунке и выпишем координаты вершин данной призмы и точки К в этой системе координат: А(0;–2;0), В(0;0;0), С(0;2;0), В1(4;0;2), К(2;1;1). Тогда . Этот вектор перпендикулярен плоскости, значит, он является его нормалью. К тому же плоскость проходит через точку К . То есть уравнение плоскости имеет вид –2(x–2)+2(у–1)–2(z–1)=0 или, после упрощения, 2x–y+z-4=0. Теперь находим расстояние от т.А(0;-2;0) до плоскости: Ответ: .

Решение.

Выберем систему координат как показано на рисунке и выпишем координаты вершин данной призмы и точки К в этой системе координат: А(0;–2;0), В(0;0;0), С(0;2;0), В1(4;0;2), К(2;1;1). Тогда . Этот вектор перпендикулярен плоскости, значит, он является его нормалью. К тому же плоскость проходит через точку К . То есть уравнение плоскости имеет вид –2(x–2)+2(у–1)–2(z–1)=0 или, после упрощения, 2x–y+z-4=0.

Теперь находим расстояние от т.А(0;-2;0) до плоскости:

Ответ: .

Задача 5   В единичном кубе АВСDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки А1 до плоскости (BDC1) . z D (0; 0; 0) A 1 (1; 0; 1) B (1; 1; 0) C 1 (0; 1; 1) Запишем уравнение плоскости DBC 1 . у х

Задача 5 В единичном кубе АВСDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки А1 до плоскости (BDC1) .

z

D (0; 0; 0)

A 1 (1; 0; 1)

B (1; 1; 0)

C 1 (0; 1; 1)

Запишем уравнение плоскости DBC 1 .

у

х

Найдем искомое расстояние по формуле A 1 (1; 0; 1) Ответ:

Найдем искомое расстояние по формуле

A 1 (1; 0; 1)

Ответ:

Задача 6  В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1 , найдите расстояние от середины ребра ВС до плоскости SCD Решение.

Задача 6 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1 , найдите расстояние от середины ребра ВС до плоскости SCD

Решение.

Решение.

Решение.

Задача 7  В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки А до плоскости (DEF 1 ) C 1 (1; 0;1) z 1 F 1 (- 1; 0;1) Запишем уравнение плоскости DC 1 F 1 . х 1 у

Задача 7 В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки А до плоскости (DEF 1 )

C 1 (1; 0;1)

z

1

F 1 (- 1; 0;1)

Запишем уравнение плоскости DC 1 F 1 .

х

1

у

Найдем искомое расстояние по формуле Ответ:

Найдем искомое расстояние по формуле

Ответ:

Тренировочная работа  Расстояние от точки до плоскости

Тренировочная работа Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки до прямой можно найти следующим образом: 1.Строим треугольник,соединяющий данную точкуи 2 точки,задающие прямую. 2.Находим длины сторон треугольника и его площадь. 3.Находим высоту в треугольнике- Это и есть искомое расстояние Пусть АН – искомое расстояние. А В С Н Н

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой можно найти следующим образом:

1.Строим треугольник,соединяющий данную точкуи

2 точки,задающие прямую.

2.Находим длины сторон треугольника и его площадь.

3.Находим высоту в треугольнике-

Это и есть искомое расстояние

Пусть АН – искомое расстояние.

А

В

С

Н

Н

Задача 9 (Расстояние от точки до прямой) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки F до Прямой BG, где G – середина ребра SC z у х

Задача 9 (Расстояние от точки до прямой)

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания

которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки F до

Прямой BG, где G – середина ребра SC

z

у

х

2 способ: 1.Строим прямую,соединяющую данную точку и 2 точки,задающие прямую. 2.Находим длины сторон треугольника . 3.Находим косинус одног из углов(А). 4.Находим синус этого угла (основное тригонометрическое тождество) 5.Используя определение синуса, находим высоту треугольника-искомое расстояние .

2 способ:

1.Строим прямую,соединяющую

данную точку и 2 точки,задающие прямую.

2.Находим длины сторон треугольника .

3.Находим косинус одног из углов(А).

4.Находим синус этого угла

(основное тригонометрическое тождество)

5.Используя определение синуса,

находим высоту треугольника-искомое расстояние .

Тренировочная работа  Расстояние от точки до прямой

Тренировочная работа Расстояние от точки до прямой

Расстояние между параллельными плоскостями

Расстояние между параллельными плоскостями

Вычислите расстояние между параллельными плоскостями   Если умножить обе части второго уравнения плоскости на два, то коэффициенты при переменных x, y и z в уравнениях    и   станут равны и можно будет  применить формулу: 

Вычислите расстояние между параллельными плоскостями  

Если умножить обе части второго уравнения плоскости на два, то коэффициенты при переменных x, y и z в уравнениях  

и  

станут равны и можно будет

применить формулу: 

Расстояние между скрещивающимися прямыми Отрезок, имеющий концы на двух скрещивающихся прямых и перпендикулярный к ним, называется общим перпендикуляром скрещивающихся прямых .

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Отрезок, имеющий концы на двух скрещивающихся прямых и перпендикулярный к ним, называется общим перпендикуляром скрещивающихся прямых .

Способ решения А.Правдина – учителя математики Нижегородской области Точки А 1 и В 1 выбираем любые Находим х и у, затем длину АВ

Способ решения А.Правдина – учителя математики Нижегородской области

Точки А 1 и В 1 выбираем любые

Находим х и у, затем длину АВ

Задача 9 (Расстояние между скрещивающимися прямыми) В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от АD 1 до A 1 C 1 Пусть NM- общий перпендикуляр прямых АD 1 и A 1 C 1 z у х A N M A 1

Задача 9 (Расстояние между скрещивающимися прямыми)

В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от АD 1 до A 1 C 1

Пусть NM- общий перпендикуляр прямых АD 1 и A 1 C 1

z

у

х

A

N

M

A 1

Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки до прямой можно найти следующим образом: 1.Строим треугольник,соединяющий данную точкуи 2 точки,задающие прямую. 2.Находим длины сторон треугольника и его площадь. 3.Находим высоту в треугольнике- Это и есть искомое расстояние Пусть АН – искомое расстояние. А В С Н Н

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой можно найти следующим образом:

1.Строим треугольник,соединяющий данную точкуи

2 точки,задающие прямую.

2.Находим длины сторон треугольника и его площадь.

3.Находим высоту в треугольнике-

Это и есть искомое расстояние

Пусть АН – искомое расстояние.

А

В

С

Н

Н

2 способ:  1.Находим координаты направляющих векторов прямых.  2.находим координаты общего вектора нормали из условия,что произведение направляющего вектора и общего вектора нормали =0.  3.решаем полученную систему.      4.строим вектор,соединяющий любые 2 точки прямых и находим его координаты(вектор c=А1В)  5. Расстояние = Где n –общий вектор нормали,с-вектор А1В

2 способ: 1.Находим координаты направляющих векторов прямых. 2.находим координаты общего вектора нормали из условия,что произведение направляющего вектора и общего вектора нормали =0. 3.решаем полученную систему. 4.строим вектор,соединяющий любые 2 точки прямых и находим его координаты(вектор c=А1В) 5.

Расстояние =

Где n –общий вектор нормали,с-вектор А1В

Тренировочная работа  Расстояние между двумя прямыми

Тренировочная работа Расстояние между двумя прямыми

Диагностическая работа

Диагностическая работа

Литература :   Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2)    ЕГЭ 2010.Математика. Задача С2 . Смирнов В.А./Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. М.:МЦНМО, 2010  ЕГЭ 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся. Авт.-сост. Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д. и др. /ФИПИ- М.; Интеллект-Центр, 2010.  Некоторые рисунки из ресурсов Интернета  Материалы учителя математики Ларькиной Г.А.- https://sites.google.com/site/larkinaga91/metodiceskaa-rabota/publika

Литература :

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2)

ЕГЭ 2010.Математика. Задача С2 . Смирнов В.А./Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. М.:МЦНМО, 2010

ЕГЭ 2010. Математика. Универсальные

материалы для подготовки учащихся. Авт.-сост. Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д. и др. /ФИПИ- М.; Интеллект-Центр, 2010.

Некоторые рисунки из ресурсов Интернета

Материалы учителя математики Ларькиной Г.А.- https://sites.google.com/site/larkinaga91/metodiceskaa-rabota/publika

-75%
Курсы профессиональной переподготовке

Учитель, преподаватель физики и математики

Продолжительность 600 или 1000 часов
Документ: Диплом о профессиональной переподготовке
17800 руб.
от 4450 руб.
Подробнее
Скачать разработку
Сохранить у себя:
Элективный курс по теме " Метод координат" (8.43 MB)

Комментарии 0

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или на сайт