Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися

переменными

Преподаватель естественнонаучных дисциплин Даниленко С.В.

Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х , искомую функцию у и её производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

F(x, y, y’)=0, F(x, y, y’’)=0, …, F(x, y, y (n) )=0.

Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в данное уравнение.

Определение: Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Определение: Общим решением дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входят столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Определение: Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Определение: Дифференциальным уравнением 1–го порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Определение: Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида .

Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные , а затем проинтегрировать обе части уравнения

Пример 1.  Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Интегрируем обе части уравнения:

Оба интеграла – табличные, следовательно

Пример 2.  Найти общее решение дифференциального уравнения (1+y)dx=(x-1)dy

Решение . Разделив переменные, имеем

ln (x-1)=ln (1+y)+C → ln (x-1)=ln (1+y)+ln C

Общее решение: x-1=C (1+y)

Пример 3.  Найти частное решение дифференциального уравнения y dу = x dх; удовлетворяющее начальным условиям у=4 при х = - 2

Решение. Интегрируем обе части уравнения:

16=4 +C C = 12

.

Так как произвольная постоянная С может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо С мы написали

Пример 4. Найти общее решение уравнения

Решение . Разделив переменные, имеем

Интегрируем обе части полученного уравнения:

Потенцируя последнее равенство, получим

х 2 =С(1+у 2 ).

Это и есть общее решение данного уравнения.

где f(x) и  (х) – функции от х, называются линейными дифференциальными уравнениями 1-го порядка. В частном случае f(x) и  (х) могут быть постоянными величинами.

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y=u z, где u и z – новые функции от х.

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Определение. Уравнение вида или

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а)

б)

2. Найти частное решение дифференциального уравнения (1+ y) dx = (1-x) dy; удовлетворяющее начальным условиям у=3 при х = - 2