ДИДАКТИЧЕСКИЙ ПРОЕКТ УРОКА МАТЕМАТИКИ по теме "Замечательные линии и точки треугольника"

№п/п

Этап урока

Время

(мин.)

Цели

Метод

Деятельность учителя

Деятельность уч-ся

Оценивание

1

Организация класса

2

Беседа

Приветствует учащихся, формулирует тему и цели (слайд 1)

-Треугольник – фигура удивительная. Она удивляет своей простотой, лаконичностью и в то же время своей универсальностью. Вспомните сколько раз, чтобы решить задачу или доказать теорему мы прибегали к разбиению многоугольника на треугольники.

Треугольник – первая геометрическая фигура, изученная нами в курсе геометрии. И сегодня мы поговорим о новых для вас свойствах треугольника, а треугольник в свою очередь поможет вам повторить очень много изученных в курсе планиметрии тем.

Приветствуют учителя, готовят к работе ПК

Визуальная проверка готовности класса

2

Повторение

5

Ц1

Ц2

Устный опрос (фронт.)

Работа в группах

Вспоминаем изученные замечательные точки треугольника:

• Центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис треугольника);

• Центр описанной окружности (точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника);

• Точка пересечения высот треугольника (ортоцентр);

• Точка пересечения медиан треугольника.

Также вспоминаем алгоритм построения с помощью циркуля и линейки каждой из этих точек.

Каждая группа получает индивидуальное задание (приложение 1, задание 1).

Задание № 1 (группа 1)

С помощью циркуля и линейки построить окружность, описанную около треугольника (треугольник остроугольный, тупоугольный и прямоугольный).

Задание № 1 (группа 2)

С помощью циркуля и линейки построить окружность, вписанную в треугольник (треугольник остроугольный, тупоугольный и прямоугольный)

Задание № 1 (группа 3)

С помощью циркуля и линейки построить точку пересечения высот треугольника (треугольник остроугольный, тупоугольный и прямоугольный)

Задание № 1 (группа 4)

С помощью циркуля и линейки построить точку пересечения медиан треугольника (треугольник остроугольный, тупоугольный и прямоугольный)

(Для экономии времени, группы получают заготовленные на альбомных листах изображения треугольников; все построения выполняются фломастерами, циркуль – «козья ножка» также с фломастером). После выполнения каждая группа демонстрирует свои результаты и комментирует построения. При необходимости учитель вносит дополнения (слайды 3 – 6)

Формулируются ответы

Выполняют необходимые построения. После выполнения каждая группа демонстрирует свои результаты и комментирует построения.

Вербальная оценка

Оцениваются полученные результаты

3

Формирование способностей

4

Работа в парах

Свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

Как вы думаете, все ли закономерности, связанные с треугольником мы изучили? (приложение 1, задание 2).

Задание № 2

Вариант 1

1. Постройте произвольную окружность.

2. Впишите в нее произвольный остроугольный треугольник АВС.

3. Постройте высоты AA₁, BB₁, CC₁. Пусть H - точка пересечения высот.

4. Постройте точку А₂, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону ВС.

5. Постройте точку В₂, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону АС.

6. Постройте точку С₂, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону АВ.

Какое свойство вы заметили?

Сформулируйте свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

Задание № 2

Вариант 2

1. Постройте произвольную окружность.

2. Впишите в нее произвольный тупоугольный треугольник АВС.

3. Постройте высоты AA₁, BB₁, CC₁. Пусть H - точка пересечения высот.

4. Постройте точку А₂, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону ВС.

5. Постройте точку В₂, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону АС.

6. Постройте точку С₂, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону АВ.

Какое свойство вы заметили?

Сформулируйте свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

Проверяем выполнение задания. Формулируем свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника. (Слайды 7, 9)

Выполнить задание своего варианта, обменяться тетрадями и проверить работу соседа, заполняя лист оценивания.

Выполняют задание своего варианта, затем проверяют работу соседа, заполняя лист оценивания. Два человека формулируют свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон остроугольного и тупоугольного треугольников.

Оцениваются полученные результаты

4

Формирование способностей

20

2

4

12

2

Ц1

Ц2

Ц3

Ц4

Ц5

Беседа

Работа в группах

Беседа

Продолжаем «открывать» новые точки и линии, связанные с геометрией треугольника.
1. А верите ли вы, что, если на сторонах треугольника построить равносторонние треугольники и около них описать окружности, то эти окружности пересекутся в одной точке? (слайд 11).

2. А верите ли вы, что основания перпендикуляров, опущенных из любой точки окружности на три стороны вписанного в нее треугольника, лежат на одной прямой? (слайд 14).

3. А верите ли вы, что в треугольнике середины его сторон, середины отрезков, соединяющих его вершины с его ортоцентром, и основания его высот лежат на одной окружности? (слайд 17)

4. А верите ли вы, что, в треугольнике центр описанной окружности, ортоцентр и центр тяжести лежат на одной прямой? (слайд 21).

Докажем рассмотренные нами свойства треугольника.

Каждая группа получает карточку с заданием и копию соответствующего слайда. Карточка содержит формулировку задачи, ее доказательство и чертеж. Необходимо подготовить выступление по теме и привести доказательство утверждений, отмеченных значком (приложение 1, задание 3).

Задание № 3 (группа 1)

На сторонах треугольника построены равносторонние треугольники и около них описаны окружности. Докажите, что эти окружности пересекутся в одной точке, называемой точкой Торричелли. Воспользуйтесь подсказкой и докажите утверждение, отмеченное значком «?».

Рисунок 1

Задание № 3 (группа 2)

Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из любой точки окружности на три стороны вписанного в нее треугольника, лежат на одной прямой (прямая Симпсона). Воспользуйтесь подсказкой и докажите утверждение, отмеченное значком «?».

Рисунок 2

Задание № 3 (группа 3)

Докажите, что в треугольнике середины его сторон, середины отрезков, соединяющих его вершины с его ортоцентром, и основания его высот лежат на одной окружности (окружность Эйлера).

Воспользуйтесь подсказкой и докажите утверждения, отмеченные значком «?».

Рисунок 3

Задание № 3 (группа 4)

Докажите, что в треугольнике центр описанной окружности, ортоцентр и центр тяжести лежат на одной прямой (прямая Эйлера) (слайд 23).

Воспользуйтесь подсказкой и докажите утверждения, отмеченные значком «?».

Рисунок 4

Проверяем выполнение задания. Каждая группа «представляет» свою замечательную точку или линию и доказывает связанное с ней утверждение (слайды 12 - 13, 15-16, 18-20, 22-24).

В качестве «сувенира», после доказательства каждой теоремы можно посмотреть соответствующие «созвездия» на «звездном небе» (слайды 28-31, к которым можно перейти с помощью кнопки «астроном», появляющейся, когда доказательство закончено).

Во время выступления слушатели должны отметить, какие теоремы из курса планиметрии за 7-9 классы используются для доказательства каждого утверждения, и заполняют таблицу (приложение 3).

После выступления группа строит соответствующую точку или прямую, выбирая наиболее подходящий чертеж (приложение 2).

Учитель контролирует, при необходимости помогает выполнить построения. По завершении этого этапа работы еще раз проговариваем алгоритм построения.

Точки Фейербаха. (Слайды 25, 32)

Ну, и это еще не все!

Вернемся на минуту к окружности Эйлера.

Эта окружность, найденная в XVIII веке великим ученым А.Эйлером, была заново открыта в следующем столетии учителем провинциальной гимназии в Германии. Звали его Карл Фейербах. Он был родным братом известного философа Людвига Фейербаха. Дополнительно К.Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого треугольника. Это точки ее касания с четырьмя окружностями специального вида.

Одна из этих окружностей вписанная, остальные три – вневписанные. Они вписаны во внешние углы треугольника и касаются внешним образом его сторон. Точки касания этих окружностей с окружностью девяти точек К1, К2, К3 и К – называются точками Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек является в действительности окружностью тринадцати точек.

Ну, и это еще не все!

Смотрят соответствующие слайды и выдвигают гипотезы.

Группы готовят выступление по теме и приводят доказательство утверждений, отмеченных значком. Каждая группа «представляет» свою замечательную точку или линию и доказывает связанное с ней утверждение

Учащиеся отмечают, какие теоремы из курса планиметрии за 7-9 классы используются для доказательства каждого утверждения, и заполняют таблицу.

Группа строит соответствующую точку или прямую, выбирая наиболее подходящий чертеж

Поощритель-ные высказыва-ния

Оцениваются полученные результаты

Оцениваются полученные результаты

5

Формирование способностей

10

Ц1

Ц2

Ц3

Ц4

Ц5

Работа в группах

Беседа

Доказательство свойства точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

Теперь, вспомнив практически весь материал по теме «Треугольник» и не только (таблица 1), рассмотрев методы доказательств четырех теорем, связанных с геометрией треугольника, мы можем вернуться к вашему сегодняшнему «открытию» и попробовать доказать его самостоятельно.

Задание:

Доказать свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

(Группы работают самостоятельно при необходимой помощи учителя)

Наиболее успешное доказательство представляется классу, остальные группы вносят дополнения и замечания (слайды 8, 10, 26, 27)

Ну, и это еще не все!

Следствия:

1. Вернемся еще раз к окружности Эйлера: 1) радиус окружности Эйлера равен половине радиуса описанной окружности ∆АВС (слайд 33); 2) ∆АВH, ∆АСH, ∆ВСH имеют ту же окружность Эйлера, что и ∆АВС (слайд 34).

2. Вернемся к точке Торричелли – т.Ферма: 1) отрезки AA₁, BB₁ и СС₁ пересекаются в точке Торричелли и равны между собой; и 2) если точка Торричелли М лежит внутри треугольника, то сумма расстояний от точки М до вершин треугольника MА+MВ+MС – минимальна (слайд 35).

(А в каком случае т.Торичелли не лежит внутри треугольника?)

3. Вернемся к прямой Симпсона: 1) точки F₁, E₁, D₁ - симметричные точке Р относительно сторон ∆АВС, лежат на одной прямой F₁D₁; 2) прямая F₁D₁ проходит через ортоцентр Н ∆АВС; 3) прямая Симпсона делит отрезок РН пополам: РК = КН (слайд 36).

4. Вернемся к прямой Эйлера: 1) точка пересечения медиан делит отрезок ОН в отношении 1:2, считая от точки О; 2) центр окружности Эйлера т.N – лежит на прямой Эйлера и делит отрезок OH пополам (слайды 37).

А еще есть Точка Нагеля, точка Жергонна, точка Брокара, точка Лемуана…

Учащиеся доказывают свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

(Группы работают самостоятельно при необходимой помощи учителя)

Наиболее успешное доказательство представляется классу, остальные группы вносят дополнения и замечания

Оцениваются полученные результаты

6

Домашнее задание

2

1. Выясните, как расположены точки, симметричные ортоцентру относительно середин сторон треугольника. Сформулируйте теорему и докажите ее.

2. Подготовьте экспресс-сообщение об ученом, чьим именем была названа точка или линия, свойство которой вы сегодня доказывали (Торричелли, Симпсон, Эйлер, Фейербах).

7

Итоги урока

2

Ц2

Предлагает подвести итоги.

Проводит обобщение нового материала, анализ работы групп.

Согласовывает и выставляет отметки.

Участвуют в обсуждении итогов