ДИДАКТИЧЕСКИЙ ПРОЕКТ УРОКА МАТЕМАТИКИ по теме "Применения определенного интеграла в различных областях"

ДИДАКТИЧЕСКИЙ ПРОЕКТ

УРОКА МАТЕМАТИКИ

Учитель: Матвеева О.В.

Учебная дисциплина: Maтематика

Тема урока: Применения определенного интеграла в различных областях.

Единицы компетенций:

2.6. Применение определенных интегралов при решении повседневных ситуаций и/или при решении задач из различных областей.

2.7. Анализирование решения задач на определенные интегралы в контексте корректности, простоты, четкости и значимости полученных результатов.

2.8. Обоснование вывода, результата, относящегося к определенным интегралам, посредством аргументирования, доказательства.

Цели урока:

В конце урока ученики будут способны:

Ц1: применять алгоритмы интегрирования при решении задач;

Ц2: применять геометрический смысл определенного интеграла при решении задач из различных областей;

Ц3: применять средства ИКТ;

Ц4: выявлять, в процессе решения задач, преимущества, предоставляемые математикой при рассмотрении, уяснении и решении некоторых практических задач или жизненных ситуаций;

Ц5: проявлять любознательность и воображение в выборе стратегий решения проблем.

Тип урока: Урок формирования способностей применения знаний.

Дидактические технологии:

1. Формы:

• фронтально;

• в парах;

• в группах.

1. Методы:

• бесседа;

• мeтод упражнений.

Средства обучения:

• Презентация Power Point;

• Компьютер;

• Интерактивная доска;

• Раздаточный материал.

Оценивание: формирующее, устное и письменное задание, самооценивание; учебные продукты – устные и письменные ответы, решенные задачи, примененные алгоритмы, подготовленные проекты (оценивание с отметками).

Замечание. Урок формирования способностей применения знаний (Урок применения знаний, умений и навыков). Урок творчества, межпредметный урок, интегрированный урок.

Урок проводится после изучения геометрического смысла интеграла. Основная форма организации учебной деятельности групповая, но также были использованы фронтальная форма; работа в парах. Часть урока отводится презентациям, выполненным самими учащимися. За 1,5 недели до урока класс разделен на 3 группы и назначены консультанты. Каждая группа получила задание приготовить презентацию «Применение определенного интеграла для решения задач из различных областей науки».

I группа - «Применение определенного интеграла при решении физических задач»;

II группа - «Решение химических и биологических задач с помощью определенного интеграла»;

III группа - «Решение задач с экономическим содержанием».

На подготовительном периоде и в ходе урока консультанты руководят работой группы: распределяют обязанности между учениками, оценивают вклад каждого учащегося в подготовку к уроку.

В начале урока всем консультантам были розданы листы оценивания:

Домашняя работа была проверена и учителем перед уроком и баллы за нее были проставлены.

Практически все этапы урока оценивались.

1. ПОВТОРЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО МАТЕРИАЛА.

Самоконтроль знаний формул интегрирования: 10 формул с самопроверкой по учебнику.

Разминка в виде решения устных заданий на применение этих формул (+ за ответ).

2 ПРОЕКТЫ УЧАЩИХСЯ.

Рассматриваются работы ребят, которые провели самостоятельные исследования по темам.

Работа в группе

Ученики решают задачу самостоятельно и сдают решения капитанам команд. Капитаны обсуждают решения задач с ребятами. Проверяем решения, после чего капитаны заполняют листы оценивания.

Работа в парах

Учащиеся выполняют задание своего варианта, обмениваются тетрадями и проверяют работу соседа, заполняя лист оценивания. Два человека показывают решения у доски.

Работа в группе.

ИТОГИ УРОКА.

Листы оценивания сдаются учителю, по количеству набранных баллов выставляются всем оценки.

Требования к уроку Традиционный урок Урок современного типа

ДОМАШНЯЯ РАБОТА

1. Сила в 10 Н растягивает пружину на 2 см. Какую работу она при этом совершает?

2. Тело брошено вертикально вверх со скоростью, которая изменяется по закону 

v=29,4-9,8t м/с . Найдите наибольшую высоту подъема.

3. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью_{ } м/с, второе- со скоростью _{ } м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5с?

4. Два тела движутся по прямой из одной и той же точки. Первое тело движется со скоростью _{ } м/с, второе- со скоростью _{ } м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?

5. В проводящем замкнутом контуре, помещенном в переменное магнитное поле, возникает ЭДС индукции по закону έ_i =16sin t в интервале времени от 1 до 2 секунд. Вычислите значение магнитного потока в этом интервале времени.

_____________________________________________________________________________________

ДОМАШНЯЯ РАБОТА

1. Сила в 10 Н растягивает пружину на 2 см. Какую работу она при этом совершает?

2. Тело брошено вертикально вверх со скоростью, которая изменяется по закону 

v=29,4-9,8t м/с . Найдите наибольшую высоту подъема.

3. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью_{ } м/с, второе- со скоростью _{ } м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5с?

4. Два тела движутся по прямой из одной и той же точки. Первое тело движется со скоростью _{ } м/с, второе- со скоростью _{ } м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?

5. В проводящем замкнутом контуре, помещенном в переменное магнитное поле, возникает ЭДС индукции по закону έ_i =16sin t в интервале времени от 1 до 2 секунд. Вычислите значение магнитного потока в этом интервале времени.

Задание 1. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?

___________________________________________________________________________

Задание 3. Царь зовет к себе Стрельца - удалого молодца. И дает ему поручение государственного значения: "Принеси-ка мне Стрелец 40 моль того - сего, сам не знаю я чего! Ночь даю тебе подумать, утром буду ждать доклад! Не смогешь - кого винить? Должен я тебя казнить. Запиши себе заданье, чтоб со страху не забыть". Сколько времени потребуется для получения в процессе химической реакции 40 моль "того - сего, сам не знаю я чего", если скорость реакции меняется по закону v(t)=10e^0,5t моль/c?(при вычислении считать _{ })

______________________________________________________________________

Задание 4. Производительность труда рабочего в течение дня задается функцией

  (ден.ед./ч.), где t – время в часах от начала работы,

0 ≤ t ≤ 8 . Найти объем продукции (в стоимостном выражении) за рабочий день.

Определенный интеграл в физике

Перемещение

• Пусть точка движется по прямой (по оси  OX ) и известна скорость движения этой точки. Пусть скорость меняется и задан закон этого изменения v = v(t) на некотором отрезке [ t 1 ;t 2 ]. Тогда перемещение равно: 

• Материальная точка движется со скоростью v(t) = t 2 + 1 . Вычислить ее перемещение за промежуток времени [0;1] секунды.

Задача 1

Работа силы

• Зависимость между работой A и силой  F при перемещение материальной точки от значения a к значению  b  устанавливается соотношением:

• Какую работу надо произвести, при перемещении материальной точки на 1 метр под действием силы F=(2-3x) 3

Задача 2

Масса тонкого стержня

• Масса m  тонкого стержня, если известна его линейная плотность  p(x) вычисляется по формуле:

• Вычислите массу участка стержня от значений x1 = 0 до x2 = 1 , если его линейная плотность задается формулой p(x) = x 3 + 3x 2 + 2 .

Задача 3

Сила тока

• Количество электричества (электрический заряд) за промежуток времени [ t 1 ;t 2 ] при известной силе тока  I = I(t)  вычисляется по формуле:

• Вычислите количество электричества, протекшего по проводнику за промежуток времени [3;4] , если сила тока задается формулой I(t) = 3t 2 -2t .

Задача 4

Теплота(теплоемкость)

• Если задана теплоемкость  Q(t) , то количество теплоты за время  t ∈  [ t 1 ;t 2 ] вычисляется по формуле:

• Найти количество теплоты, выделенное за время  t ∈  [ 1;9 ], если теплоемкость 

Q(t) = 1/(t√t) .

Задача 5

ЭДС индукции

• Математическая зависимость между магнитным потоком Ф  , пронизывающим проводящий замкнутый контур, и электродвижущей силой (ЭДС) индукции E i (t)   в этом контуре задается соотношением

• При вращении рамки в однородном магнитном поле возникает ЭДС индукции, изменяющаяся со временем по закону  Ei(t) = 50 cos(πt/120) . Найти значение магнитного потока, пронизывающего рамку в конце первой минуты вращения.

Задача 6

формула

производная

А=FS -работа силы F

интеграл

F=А  (x)

m=  Ɩ –масса тонкого стержня

 =m  (x)

I=q/t –сила тока (q-заряд)

I=q  (t)

Q=Cm(t 2 -t 1 ) –теплота (С-теплоемкость)

Q=С  (t)

 i =-Ф/t - ЭДС индукции (Ф-магнитный поток)

 i =-Ф  (t)

S= v t -перемещение

v=S  (t)

Спасибо за внимание

Интегральное исчисление в биологии и в химии

Численность популяции

Число особей в популяции (численность популяции) меняется со временем. Назовем скоростью роста популяции прирост числа особей в единицу времени.

Обозначим эту скорость v = v (t) .

Если известна скорость роста популяции v(t) , то прирост численности популяции за промежуток времени [ t 1 ,t 2 ] равен



Известно, что в условиях неограниченных ресурсов питания скорость роста многих популяций экспоненциальна,

т. е. v(t) = ае kt .

Популяция в этом случае как бы “не стареет”.

Применяя формулу для вычисления прироста численности популяции, в этом случае получим:

 N =

По получившейся формуле, подсчитывают, в частности, численность культивируемых плесневых грибков, выделяющих пенициллин.

Биомасса популяции

Рассмотрим популяцию, в которой масса особи заметно меняется в течение жизни, и подсчитаем общую биомассу популяции.

Пусть t означает возраст в тех или иных единицах времени, а N(t) — число особей популяции, возраст которых равен t .

Пусть, наконец, P(t) — средняя масса особи возраста t .

Тогда М(T) — биомасса всех особей в возрасте от 0 до T ,

где Т — максимальный возраст особи в данной популяции равна

Применение в химической кинетике

Химическая кинетика - раздел физической химии, изучающий скорости химических реакций.

Пусть скорость химической реакции изменяется по закону v = v (t) , тогда изменение концентрации одного из вступивших в реакцию или одного из образующихся в результате реакции веществ за промежуток времени [ t 1 ,t 2 ] равно

Интегралы в экономике

Маршалов Д. Майстренко Д. Каримов А.

∞  Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции ограниченной кривой y = f(x), осью ОХ и прямыми х = a и х = b" width="640"

Определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a;b] называется предел интегральной суммы, при условии, что длина наибольшего элементарного отрезка стремится к нулю при n—∞ 

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции ограниченной кривой y = f(x), осью ОХ и прямыми х = a и х = b

Основные понятия

Спрос на данный товар – это зависимость между объемом покупки и ценой товара на определенный момент времени. (кривая D)

Рыночное равновесие - количество и цена, при которых объем спроса совпадает с величиной предложения. (точка E*)

Определения потребительского излишка

Обратная функция спроса: P = f(Q)

Расчет потребительского излишка – это разность между максимальной суммой денег, которую потребитель готов и согласен за купленное количество благ заплатить, и суммой денег, которую фактически он заплатил за товар.

Задача на определение излишка потребителя

Пусть известно, что на некоторый товар спрос задается функцией  p=4−q² , где q – количество товара (в шт.), p – цена единицы товара (в леях), а при p*=q*=1 достигается равновесие на рынке данного товара. Необходимо определить величину потребительского излишка.

Объем произведенной продукции

• Определить объём продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией  f(t)= 3/(3t+1) + 4

                                            t 2

                                        V= ∫ f(t)dt

                                            t 1

Кривая обучения

Пусть Т = F(х) - время, измеряемое в человеко-часах, необходимое для производства первых х единиц продукции. Тогда f(х) = F'(х) приближенно равно времени, необходимому для производства (х + 1)-й единицы продукции. 

Время ∆Т, необходимое для производства единиц продукции с номерами от (n 1 +1) до n 2 определяется формулой :

Задача

После сбора 100 компьютеров оказалось, что в дальнейшем время убывает в соответствии с формулой y = 15x -0.14 . Найти время, которое потребуется для сборки еще 20 компьютеров (т. е. с номера 101 до номера 120).

Спасибо за внимание