Аксиомы стереометрии и следствия из них

Математика

• Математика
• Математика

10 класс

• 10 класс
• 10 класс

Геометрия (греч.)

наука о свойствах геометрических фигур

гео –земля

метрео - измерять

Геометрия

Стереометрия

Планиметрия

от лат. planum —

плоскость и... метрия

от др.-греч. στερεός, «стереос» —

«пространственный,объемный»

Геометрия

Стереометрия

Планиметрия

раздел геометрии, в котором изучаются свойства тел в пространстве

Евклид   — жил около 300 г. до н. э,

первый математик Александрийской школы.

Его главная работа «Начала» содержит изложение планиметрии, стереометрии.

Его называют «отцом геометрии».

Дави́д Ги́льберт  (1862-1943) — немецкий математик-универсал,

внёс значительный вклад в развитие многих областей математики.

Разработал аксиоматику евклидовой геометрии.

Основные фигуры в пространстве

точка

плоскость

прямая

B

A, B, C, …

A

C

a, b, c, …

b

A В , B С , CD, …

C

D

или

или

Основные фигуры в пространстве

⍺

М

точка

плоскость

а

прямая

Изображение плоскости

На рисунках плоскости обозначаются в виде параллелограмма или области.

Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно

во все стороны.

принадлежит

не принадлежит

содержится

не содержится

пересекает

не пересекает

для любого

существует

существует

единственная

рассмотрим

Что такое аксиома?

АКСИОМА ( ax íõ ma - греческое слово, означающее «бесспорное положение») –

это высказывание, истинность которого принимается без доказательства .

Аксиомы были сформулированы Евклидом

( III в. до н. э.) в его знаменитом сочинении «Начала».

На основе аксиом доказываются теоремы и строится вся геометрия

Аксиомы стереометрии

А1. (о трех точках)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

В

А

С



Табурет с тремя ножками всегда

идеально встанет на пол и не будет качаться.

Иллюстрации к аксиоме А 1 : стеклянная пластинка плотно ляжет на три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой.

C

На кнопку « i » можно нажать несколько раз.

A

B

Для видеокамеры, фотосъемки и для других приборов часто используют штатив – треногу. Три ножки штатива устойчиво расположатся на любом полу в помещениях, на асфальте или прямо на газоне на улице, на песке на пляже или в траве в лесу. Три ножки штатива всегда найдут плоскость .

Аксиомы стереометрии

А2. (аксиома принадлежности)

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразова. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 9-е изд., с изм. – М.: Просвящение, 2000. – 206 с.:ил. – ISBN 5-09-008612-5.

Аксиомы стереометрии

А2 .(аксиома принадлежности)

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

B

a

A

Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразова. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 9-е изд., с изм. – М.: Просвящение, 2000. – 206 с.:ил. – ISBN 5-09-008612-5.

А ∈ а, В ∈ а

18

I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Свойство, выраженное в аксиоме А 2 , используется для проверки «ровности» чертежной линейки. Линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный, то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет.

Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразова. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 9-е изд., с изм. – М.: Просвящение, 2000. – 206 с.:ил. – ISBN 5-09-008612-5.

19

Из аксиомы А 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки.

a

Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

N

Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразова. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 9-е изд., с изм. – М.: Просвящение, 2000. – 206 с.:ил. – ISBN 5-09-008612-5.

20

Аксиомы стереометрии

А3. (о пересечении плоскостей)

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей .



А



Наглядной иллюстрацией аксиомы А 3

является пересечение двух смежных стен,

стены и потолка классной комнаты.

20

C

Способ задания плоскости

А 1 .

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

B

A

Взаимное расположение

прямой и плоскости

B

А 2 .

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

a

A

Взаимное расположение плоскостей

А 3 .

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

a

Прочтите чертеж

С

A

Прочтите чертеж

c

b

B

a

Изображение геометрических тел

В

В

С

С

А

А

D

Чертеж

пирамиды

D

Чертеж

четырехугольника

№ 2

D

Назовите плоскости,

в которых лежат прямые

РЕ

МК

DB

AB

EC

K

DEC

ADB

P

BCD

M

CBD

ADB

C

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 8. На кнопку « i » нажмите несколько раз.

A

DAB

ABC

E

B

ABC

DEC

27

Назовите

точки пересечения прямой DK с плоскостью АВС ,

прямой СЕ с плоскостью А DB .

D

K

DK ∩ ABC = C

P

M

СЕ ∩ ADB = E

C

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 8.

A

E

B

27

D

Назовите точки, лежащие

в плоскостях

А DB и DBC

K

P

в ADB : A , D , B , P , M , E

M

в DBC : D , B , C , M , K

C

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 8.

A

E

Точки, лежащие в ADB и DBC одновременно:

D , B , M .

B

27

Назовите прямые по которым пересекаются плоскости

АВС и DCB

ABD и CDA

PDC и ABC

D

K

P

АВС ∩ DCB = BC;

M

C

ABD ∩ CDA = AD;

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 8.

A

PDC ∩ ABC = CE.

E

B

27

№ 2

B 1

Q

C 1

а) Назовите точки, лежащие в плоскости DCC 1

P

D 1

A 1

M

K

R

B

C

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 9.

A

D

27

B 1

Q

C 1

а) Назовите точки, лежащие в плоскости BQC

P

D 1

A 1

M

K

R

B

C

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 9.

A

D

27

Тренировочные упражнения

B 1

Q

C 1

б) Назовите плоскости, в которых лежит

прямая АА 1

P

D 1

A 1

M

K

R

B

C

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 9.

A

D

27

B 1

Q

C 1

в) Назовите точки, пересечения прямой

МК с плоскостью АВ D

P

D 1

A 1

M

K

R

B

C

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 9.

A

D

27

B 1

Q

C 1

в) Назовите точки, пересечения

прямых DK и ВС

с плоскостью А 1 В 1 С 1

P

A 1

D 1

M

K

R

B

C

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 9.

A

D

27

B 1

Q

C 1

г) Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости АА 1 В 1 и АС D

P

D 1

A 1

M

K

R

B

C

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 9.

A

D

27

B 1

Q

C 1

г) Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости P В 1 C 1 и ABC

P

D 1

A 1

M

K

R

B

C

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 9.

A

D

27

B 1

Q

C 1

д) Назовите точки пересечения прямых

МК и DC ,

В 1 С 1 и ВР

С 1 М и DC

P

D 1

A 1

M

K

R

B

C

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 9.

A

D

27

Следствия из аксиом

( о прямой и точке )

Теорема 1

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Дано:

a

М

⍺

Доказать:

Следствия из аксиом

Теорема 1

( о прямой и точке )

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

B

A

М

a

1. По аксиоме о трех точках (А1): через точки A , B , М, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

2. По аксиоме о принадлежности (А2): т.к. две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости

Следствия из аксиом.

Теорема 2

( о двух пересекающихся прямых )

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Дано:

⍺

b

a

Доказать:

Следствия из аксиом.

Теорема 2

( о двух пересекающихся прямых )

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

b

M

N

a

1. По теореме 1 существует единственная плоскость, проходящая через прямую и не лежащую на ней точку.

2. По аксиоме о принадлежности А2 прямая b лежит в плоскости

Следствия из аксиом.

Теорема 2

( о двух пересекающихся прямых )

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

b

B

A

N

a

1. По аксиоме о трех точках А1 существует единственная плоскость, проходящая через них.

2. По аксиоме о принадлежности А2 прямые a и b лежат в плоскости

Способы задания плоскости.

Единственную плоскость можно провести через …

3. … две пересекающиеся прямые.

2. … прямую и

не лежащую на ней точку.

• … три точки,

не лежащие на одной прямой.







Аксиома 1

Теорема 1

Теорема 2

№ 1

Ученик нарисовал четырехугольник АВС D

Точка D лежит в плоскости .

Прямая A В пересекает плоскость в точке K ,

прямая ВС пересекает плоскость в точке L .

Есть ли ошибка на рисунке?

№ 2

Ученик нарисовал четырехугольник АВС D

Прямая А D лежит в плоскости ,

прямая ВС пересекает плоскость

в точке К.

Есть ли ошибка на рисунке?

• Верно ли, что все точки окружности принадлежат плоскости, если эта окружность имеет с плоскостью

б) три общие точки ?

а) две общие точки ?

Да

Нет