Скрещивающиеся прямые

Определение

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

a

a b

М

b

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIi

Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая под эстакадой.

a b

a

b

Найдите на рисунке параллельные прямые.

Назовите параллельные прямые и плоскости.

Найдите скрещивающиеся прямые.

Признак скрещивающихся прямых

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

D

?

АВ С D

В

C

А

Три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве

b

а b

a

М

а II b

b

b

a

a

а b

Теорема о скрещивающихся прямых

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

A

B

С

E

D

Задачи.

№ 1 Построить плоскость α , проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b .

Построение:

b

• Через точку К провести

прямую а 1 || а.

а

2. Через точку К провести

прямую b 1 || b .

3 . Через пересекающиеся

прямые проведем

плоскость α . α – искомая

плоскость.

К

а 1

b 1

№ 2 Через вершину А ромба АВС D проведена прямая а, параллельная диагонали В D , а через вершину С – прямая b , не лежащая в плоскости ромба.

Докажите, что: а) а и С D пересекаются;

б) а и b скрещивающиеся прямые.

?

b a

b

В

a

C

А

D

10

№ 3 Каково взаимное положение прямых

1) AD 1 и М N; 2) AD 1 и ВС 1 ; 3) М N и DC ?

B 1

С 1

N

А 1

D 1

В

С

M

D

А

10

№ 4 Докажите, что прямые

1) AD и C 1 D 1 ; 2) A 1 D и D 1 C ; 3) AB 1 и D 1 C скрещивающиеся.

B 1

С 1

N

А 1

D 1

В

С

M

D

А

10

Задача № 5.

N

α

Дано: a || b

a

М

MN ∩ a = M

b

Определить

взаимное расположение

прямых MN u b .

Скрещивающиеся.

Задача № 6.

Дано: D (АВС),

АМ = М D ; В N = ND; CP = PD

D

К В N .

Определить взаимное

расположение прямых:

P

M

а) ND и AB

б) РК и ВС

в) М N и AB

N

С

А

К

В

Р 1

Задача № 7.

Дано: D (АВС),

АМ = М D ; В N = ND; CP = PD

D

К В N .

Определить взаимное

расположение прямых:

P

M

а) ND и AB

б) РК и ВС

в) М N и AB

N

С

г) МР и A С

А

д) К N и A С

К

е) М D и B С

В