Системы счисления в заданиях ЕГЭ И ОГЭ по информатике

Системы счисления в заданиях ОГЭ и ЕГЭ 2016

Учитель информатики МОУ-Лицея №2

Безлюдная Ирина Сергеевна

16.03.2016

Важно знать:

Принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления:

чтобы перевести число из системы счисления с основанием N в десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры числа на N в степени, равной ее разряду.

(Например, 1 2 3 4 5 N = 1·N 4 + 2·N 3 + 3·N 2 + 4·N 1 + 5·N 0 )

N 0 = 1!!!

Важно знать:

• последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием N – это остаток от деления этого числа на N,
• две последние цифры – это остаток от деления на N 2 , и т.д.

Важно знать:

Число вида х N в p-ой системе счисления записывается как единица и N нулей:

х N = 1(000…000)

N

Пример:

2 N = 1(000…000)

N

2 5 = 100000

3 N = 1(000…000)

3 4 = 1000

N

Важно знать:

Число вида (х N -1) р в p-ой системе счисления записывается как

N старших цифр (а) данной p-ой системы счисления :

(х N -1) р = ааа…аааа

N

Пример:

(3 50 -1) 3 = 222…22

(2 100 -1) 2 = 111…11

100

50

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: 4 2020 + 2 2017 – 15?

Решение.

• Приведём все числа к степеням двойки:

4 2020 + 2 2017 – 15 = (2 2 ) 2020 + 2 2017 – 16 + 1 = 2 4040 + (2 2017 – 2 4 )+1 2

• Вспомним, что

• число 2 N -1 в двоичной системе записывается как N единиц:
• число 2 N – 2 K при K N записывается как N–K единиц и K нулей:

3. Число 2 2017 – 2 4 запишется как 2013 единиц и 4 нуля.

• прибавление (2 4040 +1) даст ещё две единицы, всего получается

2013 + 2 = 2015 единиц

Ответ: 2015.

Найдите сумму цифр числа в троичной системе счисления, результат представить в десятичной системе счисления: 3 100 + 3 50 – 2

Решение.

• 3 100 + 3 50 – 2 =3 100 + 3 50 – 1 - 1=

2. 50·5=100 Ответ: 100.

Найдите сумму цифр числа в пятеричной системе счисления, результат представить в десятичной системе счисления: 125 40 -25 20 +5 10 -17

Решение.

1. 125 40 -25 20 + 5 10 -17 = 5 120 - 5 40 + 5 10 - 32 5 =

= 5 40 (5 80 -1)+ (5 10 -1) - 32 5

2. 88·4+3+1=356

Ответ: 356

Городская олимпиада по базовому курсу информатики

• Число

перевели из десятичной в двоичную систему счисления. Сколько нулей получилось в двоичной записи числа?

Ответ: 22

Городская олимпиада по базовому курсу информатики

• Число

перевели из десятичной в двоичную систему счисления. Сколько нулей получилось в двоичной записи числа?

Ответ: 29

Городская олимпиада по базовому курсу информатики

• Сколько значащих нулей будет в записи данного числа, если его перевести в двоичную систему счисления:

Ответ: 44

Сколько единиц будет в записи данного числа, если его перевести в двоичную систему счисления:

Ответ: 20

Городская олимпиада по базовому курсу информатики

Сколько единиц будет в записи данного числа, если его перевести в двоичную систему счисления:

Ответ: 23

КЕГЭ

Сколько единиц содержится в двоичной записи результата выражения?

(2∙10 8 ) 2010 – 4 2011 + 2 2012 ?

Ответ: 4019

Городская олимпиада по базовому курсу информатики

• Решите следующий пример. В ответе укажите получившееся число в нужной системе счисления.

Ответ: 10101

Решите уравнение Ответ запишите в троичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

• переведём все числа в десятичную систему счисления:
• собирая всё в одно уравнение получаем
• это уравнение имеет два решения, 6 и -8; основание системы счисления – натуральное число, поэтому ответ: 6
• переводим ответ в троичную систему: 6 = 2∙3 1 = 20 3 .

Ответ: 20.

Городская олимпиада по базовому курсу информатики

• Укажите основание позиционной системы счисления X, в которой будет справедливо следующее равенство:

Ответ: 4

Городская олимпиада по базовому курсу информатики

Запись десятичного числа в системах счисления с основаниями 4 и 6 в обоих случаях имеет последней цифрой 0. Какое минимальное натуральное десятичное число удовлетворяет этому требованию?

Решение. Необходимо найти минимальное натуральное десятичное число, которое делится без остатка на 4 и на 6.

Ответ: 12

Запись десятичного числа в системах счисления с основаниями 3 и 5 в обоих случаях имеет последней цифрой 0. Какое минимальное натуральное десятичное число удовлетворяет этому требованию?

Ответ: 15 .

Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, …, 17 в системе счисления с основанием 5.

Решение

запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 5:

10 = 20 5 , 17 = 32 5 .

заметим, что оба они содержат цифру 2, так что, 2 цифры мы уже нашли

между 20 5 и 32 5 есть еще числа

21 5 , 22 5 , 23 5 , 24 5 , 30 5 , 31 5 .

в них 5 цифр 2 (в числе 22 5 – сразу две двойки), поэтому всего цифра 2 встречается 7 раз

таким образом, верный ответ: 7 .

Найти сумму восьмеричных чисел 17 8 +170 8 +1700 8 +...+1700000 8 , перевести в (16)-ую систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, третью цифру слева .

• Решение:
• Несложно выполнить прямое сложение восьмеричных чисел, там быстро обнаруживается закономерность:
• 17 8 + 170 8 = 207 8
• 17 8 + 170 8 + 1700 8 = 2107 8
• 17 8 + 170 8 + 1700 8 + 17000 8 = 21107 8
• 17 8 + 170 8 + 1700 8 + 17000 8 + 170000 8 = 211107 8
• 17 8 + 170 8 + 1700 8 + 17000 8 + 170000 8 + 1700000 8 = 2111107 8
• Переведем последнюю сумму через триады в двоичный код (заменяем каждую восьмеричную цифру на 3 двоичных):
• 10001001001001000111 2
• Теперь разбиваем цепочку на тетрады (группы из 4-х двоичных цифр), начиная справа, и каждую тетраду представляем в виде шестнадцатеричной цифры
• 10001001001001000111 2
• 8 9 2 4 7

Ответ (третья цифра слева): 2 .

+