Олимпиадные задания по математике 10 класс.

10 класс

1. Найдите сумму корней всех квадратных трехчленов вида

,где p принимает все целые значения от -100 до 100.

1. Дана функция от четырех переменных 𝑓(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)=𝑥, которая называется - сложное отношение четырех чисел: a,b,c и d. Найдите чему равно сложное отношение четырех чисел f(d,a,b,c); f(b,d,a,c); f(c,a,b,d); f(b,a,c,d); f(c,b,d,a), если x=5.

1. Найти площадь выпуклого четырехугольника ABCD, у которого AC=2, BD=1, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны.

1. Решите систему уравнений:

1. Докажите, что если = , то обе эти дроби равны выражению: .

Решения

1. Поскольку для любого p ,то все трехчлены имеют два корня. Заметим, что по теореме Виета, сумма всех корней трехчлена равна –p , т.е. сумма корней всех написанных трехчленов равна (-100)+(-99)+(-98)+…+98+99+100=0.

1. Зная, что сложное отношение выражается формулой , можно подставить свои числа, например, a=0, b=1, c=2, d=3, подсчитать и получить следующие значения: − ; ;; 4; ; −3. Заметим, что -3 получается путем обращения числа − , значит 𝑓(𝑑,𝑎,𝑏,𝑐) = . Число получается путем вычитания из 1 числа − , значит 𝑓(𝑏,𝑑,𝑎,𝑐)= 1− 𝑥. Число 4 получается путем вычитания из 1 числа -3, значит 𝑓(𝑐,𝑎,𝑏,𝑑) =1− =. Число получается путем обращения числа 4, значит 𝑓(𝑏,𝑎,𝑐,𝑑)= . Число получается путем обращения числа , значит 𝑓(𝑐,𝑏,𝑑,𝑎)=. Теперь, когда каждое число выражено через х и не зависит от а, b, с и d, мы можем вычислить их, подставив вместо х значение 5. 𝑓(𝑑,𝑎,𝑏,𝑐) = ; 𝑓(𝑏,𝑑,𝑎,𝑐) = −4; 𝑓(𝑐,𝑎,𝑏,𝑑) =; 𝑓(𝑏,𝑎,𝑐,𝑑) = ; 𝑓(𝑐,𝑏,𝑑,𝑎) = − .

1. EF – средняя линия треугольника ABC , значит EFAC. HG- средняя линия треугольника ADC, значит HG AC, но тогда EF HG. Аналогично доказываем, что EH FG. Следовательно, EFGH- параллелограмм. Но по условию EG=HF, значит, EFGH – прямоугольник, то есть HG FG, а тогда BD AC. Получилось, что диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, следовательно, .

1. Сложив все три уравнения системы, получим уравнение , из которого найдем . Подставляя вместо (x + y + z) числа 12 и - 12,получим в первом случае: x = 2,y = 4, z = 6,а во втором случае x = - 2, y = - 4, z = - 6.

Ответ: (2;4;6), (-2;-4;-6).

1. Обозначим дроби числами (1), (2) и (3). Заметим, что в числителе первой дроби стоит выражение, напоминающее нам условие того, что три числа a, b и c составляют геометрическую прогрессию 𝑎𝑐 − 𝑏² = 0. Подобное же выражение стоит в числителе второй дроби. В знаменателе мы видим выражение, которое у нас ассоциируется с арифметической прогрессией 𝑎−2𝑏+𝑐=0, условие того, что три числа a, b и c составляют арифметическую прогрессию. В третьей же дроби мы видим своеобразное правило, по которому знаменатели можно вывести из числителей. Например, в числителе произведение ad, а в знаменателе сумма 𝑎+𝑑 в числителе -bc, а в знаменателе -(b+c). Таким же образом получаются числители и знаменатели первой и второй дробей. Зная этот факт, предполагаем, что все три дроби равны, тогда запишем, что все три дроби равны некоторому k. Получаем наши уравнения в следующем виде: ; ; . Преобразуем первое из получившихся равенств: ⟹ 𝑎𝑐−𝑏² = 𝑘𝑎−2𝑏𝑘+𝑘𝑐 ⟹ 𝑎𝑐−𝑘𝑎−𝑘𝑐 = 𝑏²−2𝑏𝑘+𝑘²⟹𝑎𝑐−𝑘𝑎−𝑘𝑐+𝑘²=𝑏²−2𝑏𝑘+𝑘²⟹(𝑎−𝑘)(𝑐−𝑘)=(𝑏−𝑘)²⟹ уравнение выражает тот факт, что a-k, b-k и c-k являются членами геометрической прогрессии. Рассматривая аналогичное второе равенство, получаем, что b-k, c-k и d-k тоже члены геометрической прогрессии. Так как по условию (1) = (2), то a-k, b-k, c-k, d-k - составляют геометрическую прогрессию. Но произведение первого и четвертого члена геометрической прогрессии равно произведению второго и третьего членов геометрической прогрессии, т.е.: (𝑎−𝑘)(𝑑−𝑘) = (𝑏−𝑘)(𝑐−𝑘) ⟹ 𝑎𝑑−𝑘𝑑−𝑎𝑘+𝑘² =𝑏𝑐−𝑏𝑘−𝑐𝑘+𝑘² ⟹𝑎𝑑−𝑏𝑐=𝑎𝑘−𝑏𝑘−𝑐𝑘+𝑑𝑘 ⟹ 𝑎𝑑−𝑏𝑐𝑎−𝑏−𝑐+𝑑 = 𝑘 т.е.: = =