История систем счисления

Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов.

Сначала люди просто различали один предмет перед ними или нет.

Если предмет был не один, то говорили «много».

Первыми понятиями математики были "меньше", "больше" и "столько же".

Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Самым простым инструментом счета были пальцы на руках человека.

С их помощью можно было считать до 5, а если взять две руки, то и до 10.

«История Систем счисления»

ы

С

и

м

с

е

т

счисления

Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов.

Сначала люди просто различали один предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «много».

Первыми понятиями математики были "меньше", "больше" и "столько же". Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся .

Самым простым инструментом счета были пальцы на руках человека

С их помощью можно было считать до 5, а если взять две руки, то и до 10.

Одна из таких систем счета впоследствии и стала общеупотребительной - десятичная.

В древние времена люди ходили босиком. Поэтому они могли пользоваться для счета пальцами как рук, так и ног. Таким образом они могли, казалось бы, считать лишь до двадцати.

Но с помощью этой «босоногой машины» люди могли достигать значительно больших чисел,

1 человек - это 20,

2 человека - это два раза по 20 и т.д.

До сих пор существуют в Полинезии племена, которые для счета используют с 20-ую систему счисления

Запомнить большие числа было трудно, поэтому к «счетной машине» рук и ног добавляли механические приспособления.

Способов счета было придумано немало : В разных местах придумывались разные способы передачи численной информации :

Например, перуанцы употребляли для запоминания чисел разноцветные шнуры с завязанными на них узлами.

Для запоминания чисел использовались камешки, зерна, ракушки и т.д.

=

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди научились считать. Количество предметов изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине и т.д.

=

Люди рисовали палочки на стенах и делали зарубки на костях животных или ветках деревьев

Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита ( 10 - 11 тыс. лет до н. э .)

Этот способ записи чисел называют единичной ("палочной”, “унарной”) системой счисления  

Любое число в ней образуется повторением одного знака - единицы.

Египетская нумерация

Очень наглядной была система таких знаков у египтян.

Египтяне придумали эту систему около 5 000 лет тому назад.

Это одна из древнейших систем записи чисел, известная человеку

Египетская нумерация

1

Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки

Каждая единица изображалась отдельной палочкой

Такими путами египтяне связывали коров Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам.

10

Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила.

100

Цветок лотоса

1 000

10 000

Поднятый палец - будь внимателен

100 000

головастик

Увидев такое число, обычный человек очень удивится и возденет руки к небу

1 000 000

Египтяне поклонялись богу Ра, богу Солнца и, наверное, так изображали самое большое свое число

10 000 000

Число 1 245 386 в древнеегипетской записи будет выглядеть

3

6

8

2

4

5

1

Алфавитная нумерация

В середине V в. до н. э. появилась запись чисел нового типа, так называемая алфавитная нумерация .

кириллическая нумерация

В этой системе записи числа обозначались при помощи букв алфавита., над которыми ставились черточки: первые девять букв обозначали числа от 1 до 9, следующие девять - числа 10, 20, 30, ..., 90, и следующие девять - числа 100, 200, ..., 900.

Таким образом, можно было обозначать любое число до 999 .

90

900

Римская нумерация

Это нумерация, известная нам и в настоящее время. С нею мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни.

Это номера глав в книгах, указание века, числа на циферблате часов, и т. д. Возникла эта нумерация в древнем Риме. В ней имеются узловые числа: один (один палец), пять (раскрытая ладонь), десять (две сложенные ладони). Для обозначения чисел 50, 100, 500, 1000 и 2000 специальные знаки.

Остальные числа получались путем прибавления или вычитания одних узловых чисел из других

Например,

четыре записывается как IV , т. е. пять минус один ,

восемь — VIII ( пять плюс три ), сорок — XL ( пятьдесят минус десять ),

девяносто шесть—XCVI ( сто минус десять плюс пять и плюс еще один ) и т. д.

В качестве цифр используются: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000), Z(2000).

Величина числа определяется как сумма или разность цифр в числе. MCCMXXXCXVI =

=1000+(1000—100-100)+(100—10-10-10)+5+1 =

= 1876

Запишите данное число арабскими цифрами. ZZCCCCMLCVX =

=2000+(1000-100-100-100-100)+(100-50)+(10-5) =

= 2655

Арабская нумерация

Это, самая распространенная на сегодняшний день нумерация , которой мы пользуемся в настоящее время.

В России арабская нумерация стала использоваться

при Петре I ( до конца XVII века сохранилась славянская нумерация)

По мнению марроканского историка Абделькари Боунжира арабским цифрам в их первоначальном варианте было придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры

Система счисления — совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью набора символов, называемых цифрами .

Количество цифр (знаков), используемых для представления чисел называют основанием системы счисления

Система счисления

Десятичная

Основание

Двоичная

10

Алфавит цифр

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Восьмеричная

2

Шестнадцатеричная

0, 1

8

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

16

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Системы счисления

Непозиционные

Позиционные

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа

Системы счисления, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число

Древнегреческая, кириллическая, римская

Десятичная, двоичная и т.д.

В римской записи числа важно не собственное положение цифры, а где она стоит относительно другой цифры:

записи XII и IX. Здесь в обоих случаях цифра "I" стоит на 2-ом месте справа, но в одном случае ее нужно прибавлять к 10, а в другом вычитать!

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число

Например, в числе 53 цифра "5" в разряде десятков дает числу вклад в 50 единиц (5*10).

Позиционные системы счисления результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления

Системы счисления, используемые в компьютере

0,1

Двоичная

Двоичная система счисления является основной системой представления информации памяти компьютера.

Восьмеричная

0,1,2,3,4,5,6,7

Шестнадцатеричная

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?

Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

- для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной

- представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

- двоичная арифметика намного проще десятичной .

Недостаток двоичной системы —

быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Правило: для перевода целого числа из десятеричной системы счисления в другую позиционную систему, его последовательно делят на основание новой системы счисления и каждый раз записывают остаток. Деление продолжается до тех пор, пока целая часть частного не окажется меньше, чем основание системы счисления. Результат формируется путём последовательной записи слева направо цифры старшего разряда и всех записанных остатков в порядке, обратном их получению.

Например, для перевода десятичного числа в двоичное, его последовательно делят на два и каждый раз записывают остаток:

_123

2

122

_61

1

2

60

_30

1

2

30

0

_15

2

14

_7

1

2

6

_3

1

2

2

1

1

123 10 =1111011 2

Переведите самостоятельно 123 10 =N 4

_123

3

123

_41

0

3

39

_13

2

3

12

_4

1

3

3

1

1

123 10 =11120 4

Перевод чисел внутри родственных систем (в частности, с основанием 2, 8 и 16) упрощен, поскольку все цифры алфавита для систем с большим основанием можно представить совокупностью цифр системы с наименьшим основанием:

№

1

Основание системы счисления

Числа

2

10

3

Десятеричная

2

0

1

0000

4

Двоичная

8

16

0001

2

Восьмеричная

0

0

1

Шестнадцатеричная

0010

3

1

2

0011

4

2

5

3

0100

0101

6

4

3

4

7

5

0110

0111

8

5

6

6

7

1000

9

7

10

1001

10

11

8

11

1010

12

1011

12

9

A

1100

13

13

B

14

1101

14

15

C

15

1110

1111

D

16

E

17

F

Использование таблицы:

123 10 =1111011 2 =1.111.011 2 =173 8 =

=111.1011 2 =7B 16

7B09 16 =0111.1011.0000.1001 2 =

111101100001001 2 =

= 111.101.100.001.001 2 =

=75411 8

ы

С

и

м

с

е

т

счисления

«Все есть число»

- так говорили пифагорейцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности.