Получите свидетельство
Вход
, −5,36, 0,45(175),−32,149382750..., e, π, 
, cos3, log512 - это все действительные числа. Число нуль также является действительным числом, так как 0 – рациональное число. 
Алгебра и начала математического анализа
Действительные числа
Натуральные и целые числа
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … –
ряд натуральных чисел N или (Z + )
-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, … –
ряд противоположных натуральным чисел Z –
… , -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … –
ряд целых чисел Z (Z + и Z – и 0)
Множества чисел
N
Z
Q
R
…
Делимость натуральных чисел
Для двух натуральных чисел a и b если существует натуральное число q такое, что выполняется равенство a = bq , то говорят, что число a делится на число b .
a : b = q
a – делимое
b – делитель
q – частное
a b
– а делится на b без остатка
Свойства делимости
1 о Если a ⋮ с и с ⋮ b , то a ⋮ b .
Пример: 144 ⋮ 12 и 12 ⋮ 3 , то 144 ⋮ 3.
2 о Если a ⋮ b и с ⋮ b , то (a + c) ⋮ b .
Пример: 84 ⋮ 3 и 63 ⋮ 3 , то (84 + 63) ⋮ 3.
3 о Если a ⋮ b и с не делится на b , то (a + c) не делится на b .
Пример: 48 ⋮ 3 и 52 не делится на 3 ,
то (48 + 52) не делится на 3.
Автор: Хамраева Мехринисо
Свойства делимости
4 о Если a ⋮ b и (a + c) ⋮ b , то c ⋮ b .
Пример: 48 ⋮ 3 и (48 + 57) ⋮ 3 , то 57 ⋮ 3.
5 о Если a ⋮ b и с ⋮ d , то ac ⋮ bd .
Пример: 81 ⋮ 3 и 56 ⋮ 4 , то (81∙56) ⋮ ( 3∙4).
6 о Если a ⋮ b и с N , то ac ⋮ bc , и наоборот .
Пример: 48 ⋮ 12 и 11 N , то
(48∙11) ⋮ (12∙11 ), и обратно.
Свойства делимости
7 о Если a ⋮ b и с N , то ac ⋮ b .
Пример: 48 ⋮ 3 и 13 N , то (48∙13) ⋮ 3.
8 о Если a ⋮ b и с ⋮ b , то для любых n, k N
следует ( an + ck) ⋮ b .
Пример: 81 ⋮ 9 и 54 ⋮ 9 , то (81∙17 + 54∙28) ⋮ 9 .
9 о Среди n последовательных натуральных
чисел одно и только одно делится на n .
Пример: среди трех последовательных натур. чисел 111, 112, 113 только одно делится на 3. (111 ⋮ 3)
Автор: Хамраева Мехринисо
Признаки делимости
Для того, чтобы натуральное число делилось
На 2: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2 .
Пример: 56738 ⋮ 2 т.к. 8 ⋮ 2.
На 5: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 5 (0 или 5).
Пример: 56735 ⋮ 5 т.к. 5 ⋮ 5.
На 10: необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0 .
Пример: 56730 ⋮ 10.
Автор: Хамраева Мехринисо
Признаки делимости
Для того, чтобы натуральное число делилось
На 4: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 4 число, образованное двумя последними цифрами .
Пример: 56736 ⋮ 4 , т.к. 36 ⋮ 4 .
На 25: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними цифрами .
Пример: 56775 ⋮ 2 5 , т.к. 75 ⋮ 25 .
На 8: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 8 число, образованное тремя последними цифрами .
Пример: 56552 ⋮ 8 , т.к. 552 ⋮ 8 .
Автор: Хамраева Мехринисо
Признаки делимости
Для того, чтобы натуральное число делилось
На 125: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 125 число, образованное тремя последними цифрами .
Пример: 56375 ⋮ 125 , т.к. 375 ⋮ 125 .
На 3: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3 .
Пример: 56742 ⋮ 3 , т.к. (5+6+7+4+2) ⋮ 3 .
На 9: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9 .
Пример: 56545 ⋮ 9 , т.к. (5+6+7+4+5) ⋮ 9 .
Автор: Хамраева Мехринисо
Признаки делимости
Для того чтобы натуральное число делилось
На 11: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр, взятых со знаком «+», стоящих на нечетных местах, и сумма цифр, взятых со знаком « –», стоящих на четных местах, делилась на 11 .
Пример: 8637519 ⋮ 11 , т.к. (9-1+5-7+3-6+8) ⋮ 11 .
На 7 (на 13): необходимо и достаточно, чтобы сумма чисел, образующих грани, взятых со знаком «+» для нечетных граней и со знаком « –» для четных граней, делилась на 7 (на 13) .
Пример: 254 390 815 ⋮ 7 , т.к. (815-390+254) ⋮ 7 .
Автор: Хамраева Мехринисо
Обозначения
abcdef = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f
Пример: 2543 = 2∙1000 + 5∙100 + 4∙10 + 3
Пример: 100410 = 1∙100000 + 4∙100 + 1∙10
n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ … ∙ (n – 3)(n – 2)(n – 1)n
Примеры: 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720
2! = 1 ∙ 2 = 2
1! = 1
0! = 1
Автор: Хамраева Мехринисо
Деление с остатком
Теорема 4. Если натуральное число а больше натурального числа b и а не делится на b , то существует, и только одна, пара натуральных чисел q и r , причем r , такая что выполняется равенство:
a = bq + r
a – делимое
b – делитель
q – неполное частное
r – остаток
Пример: 37 : 15 = 2 (ост. 7)
а = 37, b = 15, тогда 37 = 15 ∙ 2 + 7;
где q = 2, r = 7.
Замечание. Если а ⋮ b , то можно считать, что r = 0 .
Автор: Хамраева Мехринисо
1 имеет хотя бы один простой делитель. Теорема 2. Множество простых чисел бесконечно. Теорема 3. Расстояние между двумя соседними простыми числами может быть больше любого наперед заданного натурального числа. Автор: Хамраева Мехринисо " width="640"
Простые числа
Если натуральное число имеет только два делителя – само себя и 1, то его называют простым числом .
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, … – простые числа.
Теорема 1. Любое, натуральное число а 1 имеет хотя бы один простой делитель.
Теорема 2. Множество простых чисел бесконечно.
Теорема 3. Расстояние между двумя соседними простыми числами может быть больше любого наперед заданного натурального числа.
Автор: Хамраева Мехринисо
Cоставные числа
Если натуральное число имеет более двух делителей, то его называют составным числом .
4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, … – составные числа
1 не является ни простым, ни составным числом .
Основная теорема арифметики. Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители.
Примеры: 210 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7; 56 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 7.
Автор: Хамраева Мехринисо
Наибольший общий делитель ( НОД )
Найти НОД чисел: 72 и 96 .
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Делители числа 72 :
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96
Делители числа 96 :
Среди них есть одинаковые :
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 24
Их называют общими делителями чисел 72 и 96 , а
наибольшее из них называют наибольшим общим
делителем ( НОД ) чисел 72 и 96 .
НОД (72; 96) = 24
Автор: Хамраева Мехринисо
Наибольший общий делитель ( НОД )
Два натуральных числа a и b называют взаимно простыми числами, если у них нет общих делителей, отличных от 1 , т.е. НОД(a, b) = 1 .
Пример: 35 и 36 взаимно простые числа,
т.к. НОД (35; 36) = 1.
Автор: Хамраева Мехринисо
Наименьшее общее кратное ( НОК )
Найти НОК чисел: 12 и 18 .
12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, …
Кратные числа 12 :
18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, …
Кратные числа 18 :
Среди них есть одинаковые :
36, 72, 108, 144, …
Их называют общими кратными чисел 12 и 18 , а
наименьшее из них называют наименьшим общим
кратным ( НОК ) чисел 12 и 18 .
НОК (12; 18) = 36
Автор: Хамраева Мехринисо
Разложение на простые множители
НОД (3780; 7056)=
2
= 2 2 ∙ 3 2 ∙ 7 = 252
2
3
3
3
5
7
2
3780
2
1890
945
2
2
315
3
105
35
3
7
7
1
7
7056
3528
1764
882
441
147
49
7
1
НОК (3780; 7056)=
= 2 4 ∙ 3 3 ∙ 5 ∙ 7 2 =
= 105840
3780 = 2 2 ∙ 3 3 ∙ 5 ∙ 7
7056 = 2 4 ∙ 3 2 ∙ 7 2
Автор: Хамраева Мехринисо
Рациональные числа
m
Рациональные числа – это числа вида ,
где m – целое число, а n – натуральное.
Q - множество рациональных чисел.
n
Любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби .
5
2
Примеры: = 0,17(857142); = 0,(285714);
6 = 6,000… = 6,(0); 7,432 = 7,432000… = 7,432(0).
28
7
Автор: Хамраева Мехринисо
Рациональные числа
Верно и обратное утверждение:
Любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби .
1
Примеры: 0,3333… = 0,(3) = ;
0,3181818… = 0,3(18) = .
3
7
22
Автор: Хамраева Мехринисо
Рациональные числа
Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь :
Пример (1 способ):
Пусть х = 1,(23) = 1,23232323…
Умножим х на 100, чтобы запятая переместилась вправо на один период:
100х = 123,232323…
х = 1,232323…
100х – х = 122,000000…
Т.е. 99х = 122, откуда х =
–
122
99
Автор: Хамраева Мехринисо
Рациональные числа
Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь :
Пример (2 способ):
Пусть 1,(23) = 1,232323… = 1 + 0,23 + 0,0023 + 0,000023 + …
Рассмотрим эту сумму 1 и суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: S = 1 + S 1 , где S 1 = b 1 / (1 – q) – формула суммы бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем q = 0,01 , и первым членом b 1 = 0,23 :
S 1 = =
S = 1 + =
23
0,23
99
1 – 0,01
23
122
99
99
Автор: Хамраева Мехринисо
Иррациональные числа
Иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь .
Термины «рациональное число» , «иррациональное число» происходят от латинского слова ratio – разум (буквальный перевод: «рациональное число – разумное число», «иррациональное число – неразумное число»).
Примеры:
0,1234567891011121314…
π ≈ 3,1415926535897932…
е ≈ 2,7182818284590452…
√ 11 ≈ 3,31662479035539…
Автор: Хамраева Мехринисо
Thank You !
Add your company slogan
www.themegallery.com
Действительные числа (223.51 KB)
0
1778
152
Нравится
0
