Конспект урока по математике на тему «Иррациональные уравнения»

Цели урока:

изучить понятие иррациональное уравнение;

рассмотреть способы решения простейших иррациональных уравнений;

научить решать иррациональные уравнения;

активизировать учебный процесс через разнообразные виды работы и актуализацию имеющихся знаний;

продолжить формирование навыков устной и письменной речи, познавательного интереса, самостоятельности;

способствовать развитию памяти, рефлексии, эмоционального восприятия, устранению типичных недостатков в развитии и воспитании учащихся;

способствовать формированию у учащихся правильного отношения к здоровью;

создать комфортную атмосферу на уроке;

воспитывать уважительное отношение к сверстникам.

Формы организации учебно-познавательной деятельности: фронтальная, индивидуальные.

Тип урока: изучение новой темы.

Оборудование: учебник, задачник, классная доска, ИКТ.

Ход урока.

1. Организационный момент урока: (2 минуты)

Приветствие учеников, фиксация отсутствующих;

Проверка внешнего вида класса и готовности учеников к занятию;

Проверка домашнего задания. (3 минуты)

Возникли проблемы при решении задания № 29.39

№29.39. Пусть x₁ и x₂ – корни уравнения x²-9x-17=0. Не решая уравнения, вычислите:

x₁² + x₂²; (По формулам Виета мы знаем, что x₁+x₂ = -b/a, а x₁∙x₂ = c/a

В нашем примере мы получаем: x₁+x₂=9, а x₁∙x₂= -17.

Для решения нашего примера прибавим 2x₁x₂ и отнимем 2x₁x_2:

x₁² + x₂²+2x₁x₂-2x₁x₂= (x₁+x₂₎ ²- 2x₁x₂, теперь подставляем известные нам значения;

9²-2 ∙ (-17) =81+34=115.

Ответ: 115.

x₁²x₂+x₁x₂²; (Так же как и в первом примере по формулам Виета мы знаем, что x₁+x₂ = -b/a, а x₁∙x₂ = c/a)

a) x₁+x₂=9, а x₁∙x₂= -17.

В этом примере у нас есть общий множитель x₁x_2, вынесем общий множитель за скобки;

x₁x₂(x₁+x₂ ), теперь можем подставить известные значения;

-17∙9=-153.

Ответ: -153.

3. Устный счет: (8 минут)

Повторение ранее изученного понятия квадратного корня из неотрицательного числа, свойства квадратного корня из неотрицательного числа;

«Понятие квадратного корня из неотрицательного числа».

Что называется квадратным корнем из неотрицательного числа?

Ответ: Определение. Квадратным корнем из неотрицательного числа a называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Весь материал - в документе.

Учитель: Переверзева Л.В.

Урок в 8 классе по алгебре на тему: «Иррациональные уравнения».

Цели урока:

• изучить понятие иррациональное уравнение;

• рассмотреть способы решения простейших иррациональных уравнений;

• научить решать иррациональные уравнения;

• активизировать учебный процесс через разнообразные виды работы и актуализацию имеющихся знаний;

• продолжить формирование навыков устной и письменной речи, познавательного интереса, самостоятельности;

• способствовать развитию памяти, рефлексии, эмоционального восприятия, устранению типичных недостатков в развитии и воспитании учащихся;

• способствовать формированию у учащихся правильного отношения к здоровью;

• создать комфортную атмосферу на уроке;

• воспитывать уважительное отношение к сверстникам.

Формы организации учебно-познавательной деятельности: фронтальная, индивидуальные.

Тип урока: изучение новой темы.

Оборудование: учебник, задачник, классная доска, ИКТ.

Ход урока:

1. Организационный момент урока: (2 минуты)

1. Приветствие учеников, фиксация отсутствующих;

2. Проверка внешнего вида класса и готовности учеников к занятию;

1. Проверка домашнего задания.

(3 минуты)

Возникли проблемы при решении задания № 29.39

№29.39. Пусть x₁ и x₂ – корни уравнения x²-9x-17=0. Не решая уравнения, вычислите:

1. x₁² + x₂²; (По формулам Виета мы знаем, что x₁+x₂= - , а x₁∙x₂= ).

В нашем примере мы получаем: x₁+x₂=9, а x₁∙x₂= -17.

Для решения нашего примера прибавим 2x₁x₂ и отнимем 2x₁x₂ :

x₁² + x₂²+2x₁x₂-2x₁x₂= (x₁+x₂ )²- 2x₁x₂, теперь подставляем известные нам значения;

9²-2 ∙ (-17)=81+34=115.

Ответ: 115.

1. x₁²x₂+x₁x₂²; (Так же как и в первом примере по формулам Виета мы знаем, что x₁+x₂= - , а x₁∙x₂= ). x₁+x₂=9, а x₁∙x₂= -17.

В этом примере у нас есть общий множитель x₁x_2, вынесем общий множитель за скобки;

x₁x₂(x₁+x₂ ), теперь можем подставить известные значения;

-17∙9=-153.

Ответ: -153.

1. Устный счет: (8 минут)

1. Повторение ранее изученного понятия квадратного корня из неотрицательного числа, свойства квадратного корня из неотрицательного числа;

«Понятие квадратного корня из неотрицательного числа».

1. Что называется квадратным корнем из неотрицательного числа?

Ответ: Определение. Квадратным корнем из неотрицательного числа a называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен a. Это число обозначают , число a при этом называют подкоренным числом. Итак если a- неотрицательное число, то

• ≥ 0;

• ( )² = a.

1. Сформулировать свойства квадратного корня:

Ответ: Свойства квадратного корня из неотрицательного числа:

• =b

• = ∙ ( a≥ 0; b ≥ 0)

• = (a≥ 0; b0)

• ²ⁿ = aⁿ (a≥ 0)

• ² = │a│.

1. Вычислите устно: (смотреть презентацию урок 1)

1. , ( ответ: 7)

2. , ( ответ: 31)

3. , ( ответ: 0,5)

4. , ( ответ: 75)

5. , ( ответ: 0)

6. . ( ответ: ) (8минут).

1. Изучение нового материала: (12 минут)

Решим с вами уравнение 2x+1=3 Какого типа данное уравнение? (ответ: линейное), как решаем линейное уравнение? (ответ: числа с неизвестной переменой оставляем в левой части уравнения, без переменной переносим в правую часть уравнения с противоположным знаком)

2x=3-1,

2x=2, что делаем дальше?

(ответ: разделим обе части уравнения на 2)

x=1,

Ответ: 1.

Решите еще одно уравнение:

= 3.

Знаком ли вам такой тип уравнений, умеете ли вы их решать? (ответ: нет)

Сегодня мы познакомимся с новым для вас понятием «иррациональные уравнения».

Записываем тему урока: «Иррациональные уравнения».

Цели сегодняшнего урока:

• изучить понятие «иррациональное уравнение»;

• рассмотреть способы решения простейших иррациональных уравнений;

Определение. Если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, то уравнение называют иррациональным.

= 3.

По определению квадратного корня означает, что 2x+1=3². Фактически мы обе части иррационального уравнения возвели в квадрат. Метод возведения в квадрат обеих частей уравнения - основной метод решения иррациональных уравнений. Тогда мы получаем:

2x+1=9, какой тип уравнения? (ответ: линейное уравнение).Решаем линейное уравнение получаем:

x=4.

При решении иррационального уравнения обязательно делаем проверку (подставляем в данное нам иррациональное уравнение значение переменной которое мы получили):

=3,

=3,

3=3. Получили верное равенство, значит x=4, является решением для данного нам иррационального уравнения.

Ответ: 4.

Рассмотрим пример:

= . Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:

()² =()² . Из определения квадратного корня из неотрицательного числа, получаем:

2x+5=4x-7. Далее решаем линейное уравнение:

2x-4x= -7-5

-2x= -12

x=6

Проводим проверку:

Проверка: х=6

= Получаем:

= . Получили верное равенство. Значит, x=6 является решение данного нам иррационального уравнения.

Ответ: 6 .

Я еще раз напоминаю, что при решении иррациональных уравнений обязательно проводим проверку.

Рассмотрим еще один пример:

= 44 – 2x. Возведем обе части уравнения в квадрат:

( )² = (44 – 2x )² , получаем:

2x²+8x+16 = 1936-176x+4x²,

-2x²+184x-1920=0, разделим обе части уравнения на (-2):

x²-92x+960=0, какое уравнение получили? (ответ: квадратное уравнение).

Как решается данное уравнение? (ответ: найдем корни уравнения по теореме Виета), получаем:

x₁=80, x₂=12. Проводим проверку:

Если x₁=80, то получаем:

=44-280,

= -16, очевидно, что получили неверное равенство, значит x₁=80 – посторонний корень данного иррационального уравнения.

Если x₂=12, то получаем:

=44-212,

=44-24,

=20,

=20,

20=20. Получили верное равенство, значит x=12 – корень данного иррационального уравнения.

Ответ: 12.

1. Физкультминутка: (1 минуты)

Руки тянем в потолок,

Будто к солнышку цветок.

(потягивание, руки вверх)

Давай с тобой попрыгаем

И ножками подвигаем.

Раз прыжок и два прыжок,

Поактивнее дружок.

(прыжки на месте)

Всё закончилась зарядка.

Мы пройдемся для порядка.

(ходьба на месте)

Остановимся и снова

Мы к занятиям готовы.

(дети садятся за парты).

1. Закрепление изученного материала: (17 минут)

№ 30.1. Решите уравнение устно:

1. =3, (Ответ: x=7, проверка: =3, =3, 3=3.)

2. =3, (Ответ: x=2, проверка: =3, =3, 3=3.)

3. =9, (Ответ: x=86, проверка: =9, =9, 9=9.)

4. =3, (Ответ: x= , проверка: =3, =3, 3=3.)

№ 30.4(a). Решите уравнение:

1. = 1. Какой тип уравнения? (ответ: иррациональное уравнение). Каким методом решаем данное уравнение? (ответ: методом возведения обеих частей уравнения в квадрат). Получаем:

= 1. Какое получили уравнение? (ответ: дробно-рациональное уравнение). Как решаем данное уравнение? (ответ: умножим обе части уравнения на x-1, причем х-1 о). Получаем:

2x+3=x-1. Какое уравнение получили? (ответ: линейное уравнение). Решаем линейное уравнение:

2x-x=-3-1,

x=-4. Проводим проверку:

=1,

=1,

=1,

1=1. Получили верное равенство, значит x=-4 является решением данного нам иррационального уравнения.

Ответ: -4.

№30.5 (a). Докажите, что уравнение не имеет корней:

1. +2=0. Для этого решим данное уравнение, какого типа данное уравнение? (ответ: иррациональное уравнение).

Что сделаем для начала? (ответ: перенесем 2 в правую часть уравнения)

= -2. Каким методом решаем иррациональное уравнение? (ответ: метод возведения обеих частей уравнения в квадрат).

=4. Что получаем? (ответ: линейное уравнение).

Решаем линейное уравнение:

-x=4-5?

x=1. Проверка:

+2=0,

+2=0,

4=0, получили неверное равенство, значит, x=1 не является решением данного нам иррационального уравнения.

Ответ: нет решений.

№30.6 (a). Решите уравнение:

=. Какого типа данное уравнение? (ответ: иррациональное уравнение). Как решаем иррациональное уравнение? (ответ: метод возведения обеих частей уравнения в квадрат). Получаем:

=5x+2. Какое уравнение получили? (ответ: линейное уравнение). Решаем уравнение:

=6,

x=3.

Проводим проверку:

=,

=, получили верное равенство, значит x=3- решение данного иррационального уравнения.

Ответ: 3.

№30.16 (а). Решите уравнение:

1. =. Какого типа данное уравнение? (ответ: иррациональное уравнение). Как решаем иррациональное уравнение? (ответ: метод возведения обеих частей уравнения в квадрат). Получаем:

4x+3=4x²+5x-2, что делаем дальше? (ответ: переносим все члены из правой части уравнения в левую и приводим подобные). Получаем:

-4x²-x+5=0. Какое уравнение получили? (ответ: квадратное уравнение).

Как решаем это уравнение? (ответ: находим дискриминант, затем по формулам находим корни уравнения).

D=b²-4ac,

D=1+80=81. Находим корни данного уравнения по формулам:

x₁=, x₂=.

x₁= =1_, x₁=1.

x₂== -1, 25, x₂= -1,25. Проверка:

Если x₁=1, то получаем: =,

=, получили верное равенство, значит x₁=1- решение данного иррационального уравнения.

Если x₂= -1,25, то получаем =,

=,получили неверное равенство, значит x₂= -1,25 не является корнем данного иррационального уравнения.

Ответ: 1.

1. Домашнее задание: ( 1 минута)

Домашнее задание: §30 №30.4 (б), №30.5 (б), №30.6 (б), №30.10 (б), №30.16 (б).

Комментарии учителя:

№30.10 (б) Используя метод введения новой переменной, решите уравнение:

1. (2x+3) + ,

при решении данного примера вводим новую переменную: t=.

1. Подведение итогов: (1 минута)

Теперь подведем итоги сегодняшнего урока:

Что сегодня нового вы узнали на уроке? (ответ: познакомились с понятие «иррациональное уравнение»). Какое уравнение называется иррациональным? (ответ: если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, то уравнение называют иррациональным.) Каким методом решаем иррациональные уравнения? (ответ: методом возведения обеих частей уравнения в квадрат, при решении иррациональных уравнений обязательно проводим проверку ). Какие уравнения мы сегодня решали на уроке? (ответ: иррациональные, квадратные, дробно-рациональные, линейные).