Материал по математике "Инвариант"

Хочу познакомить вас с таким интересным математическим понятием, как инвариант. Оно редко встречается при решении школьных задач, но для ребят, которые увлекаются олимпиадными задачками, должно быть знакомым.

Итак, для начала определим, что же такое инвариант. Это математическая величина или математическое свойство, которое остается постоянным, то есть не изменяется при некотором преобразовании. Например, инвариантом могут быть четность или нечетность какой-то величины, остаток при делении на число, алгебраическое выражение (сумма чисел, произведение чисел, сумма обратных величин). Попробуем решить несколько задачек, используя понятие инварианта.

Задача 1.

Леша получил двойку за контрольную работу по математике и в порыве отчаяния разорвал листок со своей работой на десять кусков. Затем один из получившихся кусков он разорвал еще на 10 кусков. Может ли по завершении релаксации оказаться 1) 2 012 кусков бумаги; 2) 2 017 кусков бумаги?

Решение.

Для начала важно определить, что в данной задаче является инвариантом. Попробуем проанализировать. Сначала у Леши был 1 листок – это один кусок. На втором шаге листков стало 10, то есть их количество увеличилось на 10 – 1 = 9 листков. На третьем шаге листков будет уже 19, и их количество, очевидно, опять увеличится на 19 – 10 = 9 листков, и так далее. Таким образом, нетрудно видеть, что инвариантом, то есть неизменной величиной на каждом шаге, в данной задаче является количество листков, на которое увеличивается общее число листков. Теперь разберемся, как нам поможет знание инварианта при решении данной задачи. Построим следующую схему.

1 шаг – 1 листок;

2 шаг – 1 + 9 листков;

3 шаг – 1 + 9 + 9 листков;

и так далее.

Из нее видно, что, если предположить, что в конечном счете может оказаться 2 012 листков, то число 2 012 – 1 = 2011 должно делиться нацело на 9. Но это неверно. Значит, 2 012 кусков в конечном итоге получиться не может.

Теперь рассмотрим случай 2. Число 2 017 – 1 = 2 016 делится на 9, так как сумма его цифр делится на 9. А, значит, второй вариант возможен.

Ответ: 1) да; 2) нет.

Задача 2.

На доске записано 10 знаков «+» и 15 знаков «–». За один ход можно стереть 2 знака и написать вместо них «+», если знаки одинаковые и «–», если знаки различные. Каким будет знак на доске после 24 ходов?

Решение.

Рассмотрим произвольный ход. Он может быть трех типов:

1) + + = + (количество плюсов уменьшилось на 1, количество минусов осталось прежним);

2) – – = + (количество плюсов увеличилось на 1, количество минусов уменьшилось на 2);

3) + – = – (количество плюсов уменьшилось на 1, количество минусов осталось прежним).

Заметим, что количество минусов за один ход или не меняется, или уменьшается на 2. То есть, мы можем утверждать, что в данной задаче инвариантом является четность количества минусов, на которое изменяется общее количество минусов при каждом последующем ходе. В начале количество минусов было 15, то есть нечетным. Значит, после 24 ходов оно также будет нечетным, так как если от нечетного числа отнимать четное, то получим опять нечетное. Значит, число минусов на доске не может стать равным, например, двум или нулю. А так как после 24 ходов на доске должен остаться ровно один знак, то это и будет «–».

В этой задаче можно было выбрать и другой инвариант. Заметим, что число плюсов на доске на каждом ходе или увеличивается на 1, или уменьшается на 1, то есть на каждом шаге меняется четность числа плюсов. Это закономерное изменение на каждом шаге и примем за инвариант. А тогда, четность числа плюсов на 24 ходе будет такая же, как и в начале (10 – четное число). Значит, число плюсов на доске не может быть 1, следовательно последний знак – «–».

Весь материал - смотрите документ.

Инвариант

1. Конь вышел с поля a1 шахматной доски и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал четное число ходов?

2. Можно ли доску размером 5×5 заполнить «доминошками» размером 1×2?

3. В древней рукописи приведено описание города, расположенного на 8 островах. Острова соединены между собой и с материком мостами. На материк выходят 5 мостов; на 4 островах берут начало по 4 моста, 3 островах берут начало по 4 моста, на 3 островах берут начало по 3 моста и на один остров можно пройти только по одному мосту. Может ли быть такое расположение мостов?

4. 16 корзин расположили по кругу. Можно ли в них разложить 55 арбузов так, чтобы количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличалось на 1?

5. На столе стоят 7 стаканов – все верх дном. Разрешается за один перевернуть любые 4 стакана. Можно ли за несколько раз добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно, т.е. вниз дном?

6. На доске написано 8 плюсов и 13 минусов. Разрешается стирать любые два знака и написать вместо них плюс, если они одинаковы, и минус в противном случае. Какой знак останется после выполнения 20 таких операций?

7. Учитель написал на листке бумаги число 10. 25 учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет или отнимает от числа 1 – как хочет. Может ли в результате получиться число 0?

8. В некотором государстве первоначально было 10 банков. С момента перестройки общества все захотели быть банкирами. Но по закону открыт банк можно только путем деления уже существующего банка на 4 новых банка. Через 2 гола министр финансов сообщил президенту, что в стране действует уже 2001 банк, после чего был немедленно уволен за некомпетентность. Что не понравилось президенту?

9. У Ивана-царевича есть два волшебных меча: с помощью первого он может отрубить у Змея Горыныча 21 голову, а с помощью второго – 4 головы, но тогда у Змея Горыныча отрастает 1999 голов. Может ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы, если в самом начале у него было 30 голов? (Примечание: если у Змея Горыныча осталось 3, 2 или 1 голова, то ни каким мечом рубить нельзя.)

10. На чудо-дереве садовник вырастил 45 бананов и 50 апельсинов. Каждый день он срывает новый. Причем если он срывает 2 одинаковых плода, то вырастает апельсин, если 2 разных, то вырастает банан. Каким окажется последний плод на дереве?

Ответы:

1. При каждом своем ходе конь меняет цвет поля, поэтому при возвращении обратно он должен сделать четное число ходов.

2. Нет, так как общее число клеток – 25 не делится на 2.

3. Найдем число концов у всех мостов: 5+4×4+3×3+1 = 31 – является числом нечетным. Так как число концов у всех мостов должно быть четным, то такое расположения мостов быть не может.

4. Если число арбузов в соседних корзинах отличается на 1, то характер четности числа арбузов в этих корзинах будут разным. Тогда четность числа арбузов в корзинах будет чередоваться, поэтому половине корзин будет четное число арбузов, а в половине – нечетное. Тогда общее число арбузов в 8 корзинах с четным числом арбузов и в 8 корзинах с нечетным числом арбузов будет четным. По условию же всего арбузов 55, т.е. нечетное число. Значит, разложить нельзя

5. Нет, так как в любом случае число перевернутых вверх дном стаканов будет числом нечетным.

6. Заменяя все плюсы нулями, а минусы – единицами, заметим, что сумма двух стираемых чисел имеет тот же характер четности, что и число, записываемое вместо них. Так как сумма всех чисел была нечетной (13), то и последнее оставшееся число будет нечетным, т.е. единицей, и, значит, на доске останется минус.

7. От прибавления или вычитания единицы меняется характер четности числа 10, то в результате получиться нечетное число. Следовательно, число 0 получиться не может.

8. Заметим, что в результате превращения одного старого банка в четыре новых общее число банков увеличивается на 3. Таким образом в любой момент времени число банков будет равно 10+3n. Первоначально остаток от деления количества банков на 3 был равен 1, а 2001 при делении на 3 дает остаток 0. Значит, образоваться ровно 2001 банков в стране не могло.

9. Змей Горыныч теряет либо 21 голову, либо приобретает 1995 голов. Оба эти числа делятся нацело на 7, а в начале поединка остаток был 2. В случае же отсутствия голов у Змея Горыныча остаток был бы 0. Значит, отрубить все головы Змею Горынычу Иван-царевич не сможет.

10. Рассмотрим несколько случаев:

1. Садовник сорвал 2 апельсина, тогда вырастает 1 апельсин и на дереве будет 45 бананов и 49 апельсинов.

2. Садовник сорвал 2 банана, в этом случае вырастает 1 апельсин и на дереве будет 43 банана и 51 апельсин.

3. Если же садовник срывает 2 разных плода: апельсин и банан, то на дереве вырастает банан и всего плодов будет: 45 бананов и 49 апельсинов.

Итак, можно заметить, что в каждом из трех случаев неизмененным остается одно, а именно: количество бананов – нечетное число. Значит, инвариантом будет нечетность числа бананов на дереве, а поэтому последним плодом окажется банан.