Презентация по математике по теме "Логарифмическая функция, её свойства и график"

Логарифмическая функция обладает свойствами:

1) Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел.

Это следует из определения логарифма, так как выражение log_ax имеет смысл только при x>0.

2) Множество значений логарифмической функции – множество R всех действительных чисел.

Это следует из того, что для любого действительного числа b существует такое положительное число х, что log_ax=b, т. е. уравнение log_ax=b имеет корень. Его корень равен х=а^b.

3) Логарифмическая функция не является ограниченной.

Это следует из свойства 2 логарифмической функции.

Полную информацию смотрите в файле. 

Логарифмическая функция, её свойства и график.

Роботу выполнил ученик 10 «а» класса Рыбин Никита

Учитель Кононина Т.В.

0, а≠1 Логарифмическая функция обладает свойствами : Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел. Это следует из определения логарифма, так как выражение log a x имеет смысл только при x0 . " width="640"

В математике часто встречается логарифмическая функция y=log a x , где а 0, а≠1

Логарифмическая функция обладает свойствами :

• Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел.

• Это следует из определения логарифма, так как выражение log a x имеет смысл только при x0 .

2) Множество значений логарифмической функции – множество R всех действительных чисел.

• Это следует из того, что для любого действительного числа b существует такое положительное число х , что log a x = b, т.е. уравнение log a x = b имеет корень. Его корень равен х=а b .

3) Логарифмическая функция не является ограниченной.

• Это следует из свойства 2 логарифмической функции.

0 , если a1 , и убывающей, если 0 Пусть a1 . Докажем, что если 0 1 2 , то y(x 1 ) 2 ), т.е. log a x 1 a x 2 . Пользуясь основным логарифмическим тождеством, условие x 1 2 можно записать так: а log a x 1 log a x 2 . Из этого неравенства по свойству степени с основанием a1 следует, что log a x 1 a x 2 . Пусть 0 . Докажем, что если 0 1 2 , то log a x 1 log a x 2 . Запишем условие x 1 2 в виде а log a x 1 log a x 2 , откуда log a x 1 log a x 2 . " width="640"

4) Логарифмическая функция y= log a x является возрастающей на промежутке х 0 , если a1 , и убывающей, если 0

• Пусть a1 . Докажем, что если 0 1 2 , то y(x 1 ) 2 ), т.е. log a x 1 a x 2 .

Пользуясь основным логарифмическим тождеством, условие x 1 2 можно записать так: а log a x 1 log a x 2 . Из этого неравенства по свойству степени с основанием a1 следует, что log a x 1 a x 2 .

• Пусть 0 . Докажем, что если 0 1 2 , то log a x 1 log a x 2 .

Запишем условие x 1 2 в виде а log a x 1 log a x 2 , откуда log a x 1 log a x 2 .

1 и log a x 1 a x 2 , где x 1 0 , x 2 0 , то x 1 2 если 0a и log a x 1 a x 2 , где x 1 0 , x 2 0 , то x 1 x 2 " width="640"

Отметим, что справедливы и следующие 2 утверждения:

• если a1 и log a x 1 a x 2 , где x 1 0 , x 2 0 , то x 1 2
• если 0a и log a x 1 a x 2 , где x 1 0 , x 2 0 , то x 1 x 2

1 , то функция y=log a x принимает положительные значения при x1 , отрицательные при 0 1 . Если 0 1 , то функция y=log a x принимает положительные значения при 0 1 , отрицательные при x1 . Это следует из того, что функция y= log a x принимает значение, равное нулю, при х=1 и является возрастающей на промежутке x0 , если a1 , и убывающей, если 0 . " width="640"

5) Если a1 , то функция y=log a x принимает положительные значения при x1 , отрицательные при 0 1 . Если 0 1 , то функция y=log a x принимает положительные значения при 0 1 , отрицательные при x1 .

• Это следует из того, что функция y= log a x принимает значение, равное нулю, при х=1 и является возрастающей на промежутке x0 , если a1 , и убывающей, если 0 .

1 0 y y 1 1 1 a a 0 0 1 x x -1 -1 " width="640"

Из рассмотренных свойств логарифмической функции y= log a x следует

Что её график расположен правее оси О Y, если

a1 0

y

y

1

1

1

a

a

0

0

1

x

x

-1

-1

y

2

1

0

x

9

1

3

-1

-2

График функции y=log 3 x

y

2

1

3

1

0

9

x

-1

-2

График функции

0, а ≠1 , x 1 0, x 2 0, то x 1 = x 2 " width="640"

Теорема.

Если log a x 1 =log a x 2 , где a 0, а ≠1 , x 1 0, x 2 0, то x 1 = x 2