Материал к уроку математики "Решение иррациональных уравнений"

Цели: 

ввести понятие иррационального уравнения;

познакомить с приемом возведения обеих частей уравнения в степень;

научить решать иррациональные уравнения, через проверку корней способом подстановки в исходное уравнение.

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала, называют иррациональным уравнением.

Одним из самых простых приемов решения иррациональных уравнений является метод освобождения от радикалов путем последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую натуральную степень. При этом, если обе части уравнения возводятся в нечетную степень, то проверка не нужна; если же обе части уравнения возводятся в четную степень, то необходимо выполнить ПРОВЕРКУ.

Весь материал - смотрите документ.

Иррациональные уравнения 

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала, называют иррациональным уравнением.

Одним из самых простых приемов решения иррациональных уравнений является метод освобождения от радикалов путем последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую натуральную степень. При этом, если обе части уравнения возводятся в нечетную степень, то проверка не нужна; если же обе части уравнения возводятся в четную степень, то необходимо выполнить ПРОВЕРКУ.

Задание: решить уравнения:

возведем обе части уравнения в квадрат:

x + 2 = x²,
x² – x – 2 = 0,
x₁ = – 1,
x₂ = 2.

Проверка:

1) x = –1, тогда 1 = – 1 неверно;
2) x = 2, тогда , 2 = 2 верно.

Ответ: x = 2;

1. +1 – 2x = 0

= 2x – 1,
x² + 5x + 1 = (2x – 1)²
x² + 5x + 4 = 4x² – 4x + 1,
x (x – 3) = 0,
x₁ = 0,
x₂ = 3.

Проверка:

x₁ = 0, то + 1 – 2 ^. 0 ≠ 0, значит, x₁ = 0, не удовлетворяет уравнению.
x₂ = 3, тогда +1 – 2 ^. 3 = 0, значит x₂ = 3 корень уравнения.

Ответ: x = 3.

возведя обе части уравнения в квадрат, получим:

2x – 3 = x – 2, x = 1.

Проверка: – обе части уравнения не имеют смысла

Ответ: корней нет.

1.  = x – 2,

 = x – 2,

2x – 1 = x² – 4x + 4,                                                                       

x² – 6x + 5 = 0,                                                                      

x₁ = 5,                                                                                                              

x₂ = 1 – постор. корень          

Проверка:      

х = 5,       = 5 – 2,          3 = 3 - верно

х =  1,      =1 – 2 , 1 =-1 - неверно

Ответ: х=5              

Возведём обе части уравнения в третью степень:

Проверка: =5 - верно.

Ответ: х=120