Презентация по алгебре "Квадратные неравенства"

Глава "Квадратное неравенство" рассчитанна на 12 часов. В презентации описаны построения квадратичной функции используя свойства квадратного неравенства. Составлены задания с правильными и неправильными ответами, которые позволяют учащимся проследить свои ошибки при выполнении этих заданий. В конце этого задания изображается картинка, где они должны дать краткое описание его применения в жизни. Здесь уже наблюдается межпредметные связи с физикой.

Предложено решить квадратные трехчлены и предложить изобразить их на графике, т.е здесь идет связь с предыдущим уроком. Также в презентации даны правила, формулы, утверждения, определения решения квадратных неравенств, где учащиеся могут самостоятельно это изучить и выделить главное. в конце всей главы предложено составить кроссворд по этой главе, используя интернетные ресурсы.

Квадратным  называется неравенство, левая часть которого − квадратный трёхчлен,  а правая часть равна  нулю.

Решением неравенства  с одним неизвестным  называется  то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство   −  это значит найти все его решения  или установить,  что  их  нет.

Квадратные

неравенства

С тех пор как существует мирозданье, Такого нет, кто б не нуждался в знанье. Какой мы ни возьмем язык и век, Всегда стремится к знанью человек.

0 D 0 у а 0 D = 0 а 0 D 0 0 а 0 х D 0 а 0 D = 0 а 0 D 0 " width="640"

у=ах ² + b х+с

а 0

D 0

у

а 0

D = 0

а 0

D 0

0

а 0

х

D 0

а 0

D = 0

а 0

D 0

Сейчас появятся шесть графиков квадратичных функций и значения старшего коэффициента (а) и дискриминанта квадратного трёхчлена ( D ). Выберите график, соответствующий указанным значениям, для этого сделайте клик на прямоугольнике с цифрой или на слове «нет», если такие значения отсутствуют. При правильном ответе открывается часть картинки, при неправильном - возникает слово «ошибка», чтобы вернуться к заданиям нужно нажать на управляющую кнопку «назад». После верного выполнения всех заданий картинка откроется полностью.

НЕТ

у

у

у

2

3

1

0

0

0

х

х

х

у

у

у

6

5

4

0

0

0

х

х

х

НЕТ

у

у

у

2

3

1

0

0

0

х

х

х

у

у

у

6

5

4

0

0

0

х

х

х

НЕТ

у

у

1

2

0

0

х

х

у

у

у

6

5

4

0

0

0

х

х

х

НЕТ

у

2

0

х

у

у

у

6

5

4

0

0

0

х

х

х

НЕТ

у

2

0

х

у

у

6

5

0

0

х

х

НЕТ

у

2

0

х

у

у

6

5

0

0

х

х

НЕТ

у

2

0

х

у

5

0

х

НЕТ

у

2

0

х

у

5

0

х

НЕТ

у

5

0

х

НЕТ

у

5

0

х

Найдите корни квадратного трехчлена:

Ι группа . х 2 +х-12

ΙΙ группа . х 2 +6х+9.

ΙΙΙ группа. 2х 2 -7х+5;

Ι V группа. 4х 2 -4х+1.

Найдите корни квадратного трехчлена:

Ι группа . х 2 +х-12; x 1 =-4 ; x 2 =3

ΙΙ группа . х 2 +6х+9; x 1 , 2 =-3

ΙΙΙ группа 2х 2 -7х+5; x 1 =1 ; x 2 =2 ,5

Ι V группа. 4х 2 -4х+1; x 1 , 2 = 0,5

2 х -2 , 4 -4 " width="640"

По графику квадратичной функции укажите все значения аргумента, при которых у ≥ 0 . Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой.

у

-2 х 2

1

4

ВЕРНО!

3

2

2

х ≥ 2

х ≤ -2 ,

1

х

1 2 3 4

-3 -2 -1

0

-2 ≤ х ≤ 2

3

-2

-3

х 2

х -2 ,

4

-4

4 х 0 , 4 -3 -4 Значения функции неположительны ,то есть отрицательны или равны 0 . " width="640"

По графику квадратичной функции укажите все значения аргумента, при которых значения функции неположительны. Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой.

ВЕРНО!

у

0 ≤ х ≤ 4

1

4

3

0 х 4

2

2

1

х

х ≥ 4

х ≤ 0 ,

3

1 2 3 4

0

-4 -3 -2 -1

-2

х 4

х 0 ,

4

-3

-4

Значения функции неположительны ,то есть отрицательны или равны 0 .

0 4 " width="640"

По графику квадратичной функции укажите все значения аргумента, при которых у 0 . Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой.

х - любое

1

ВЕРНО!

2

х ≤ 0 ,

х

3

Ни при каких х

х 0

4

0 х -4 , 1 4 ВЕРНО! 3 2 х ≥ 0 х ≤ -4 , 2 1 х 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 -4 ≤ х ≤ 0 -1 3 -2 -3 -4 -4 х 0 4 " width="640"

По графику квадратичной функции укажите все значения аргумента, при которых у ≤ 0 . Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой.

у

х 0

х -4 ,

1

4

ВЕРНО!

3

2

х ≥ 0

х ≤ -4 ,

2

1

х

1 2 3 4

-4 -3 -2 -1

0

-4 ≤ х ≤ 0

-1

3

-2

-3

-4

-4 х 0

4

4 х 0 , 4 -4 Значения функции неотрицательны ,то есть положительны или равны 0 . " width="640"

По графику квадратичной функции укажите все значения аргумента, при которых значения функции неотрицательны. Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой.

у

0 х 4

1

4

ВЕРНО!

3

2

2

х ≥ 4

х ≤ 0 ,

1

х

-3 -2 -1

1 2 3 4

0

0 ≤ х ≤ 4

3

-2

-3

х 4

х 0 ,

4

-4

Значения функции неотрицательны ,то есть положительны или равны 0 .

0 4 23 " width="640"

По графику квадратичной функции укажите все значения аргумента, при которых у 0 . Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой.

ВЕРНО!

х - любое

1

2

х ≤ 0 ,

х

3

Ни при каких х

х 0

4

23

0 . Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой. у х 0 х -4 , 1 4 3 2 х ≥ 0 х ≤ -4 , 2 1 х 1 2 3 4 0 -4 -3 -2 -1 -4 ≤ х ≤ 0 -1 3 -2 -3 -4 -4 х 0 4 ВЕРНО! " width="640"

По графику квадратичной функции укажите все значения аргумента, при которых у 0 . Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой.

у

х 0

х -4 ,

1

4

3

2

х ≥ 0

х ≤ -4 ,

2

1

х

1 2 3 4

0

-4 -3 -2 -1

-4 ≤ х ≤ 0

-1

3

-2

-3

-4

-4 х 0

4

ВЕРНО!

2 х -2 , 4 -4 ВЕРНО! " width="640"

По графику квадратичной функции укажите все значения аргумента, при которых у 0 . Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой.

у

-2 х 2

1

4

3

2

2

х ≥ 2

х ≤ -2 ,

1

х

1 2 3 4

-3 -2 -1

0

-2 ≤ х ≤ 2

3

-2

-3

х 2

х -2 ,

4

-4

ВЕРНО!

Решение квадратных неравенств.

0 ах ² + b х+с ≥ 0 ах ² + b х+с 0 ах ² + b х+с ≤ 0 Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство − это значит найти все его решения или установить, что их нет. " width="640"

Квадратным называется неравенство, левая часть

которого − квадратный трёхчлен, а правая часть

равна нулю.

ах ² + b х+с 0

ах ² + b х+с ≥ 0

ах ² + b х+с 0

ах ² + b х+с ≤ 0

Решением неравенства с одним неизвестным

называется то значение неизвестного, при котором

это неравенство обращается в верное числовое

неравенство.

Решить неравенство − это значит найти все его

решения или установить, что их нет.

Являются ли следующие неравенства квадратными?

• Являются ли следующие неравенства квадратными?

0 ( ≥0 ) , ах ² + b х+с 0 ( ≤0 ) . 2. Рассмотрим функцию у=х ² +7х-8 . 2. Рассмотрите функцию у=ах ² + b х+с . 3. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. 3. Определите направления ветвей. 4 . х ² +7х-8=0 . 4. Найдите точки пересечения параболы с осью абсцисс (для них у=0; х 1 и х 2 найдите, решая уравнение ) . По теореме Виета х 1 = -8 х 1 +х 2 = -7 ах ² + b х+с=0 х 2 = 1 х 1 · х 2 = -8 5. Схематически постройте график функции у=ах ² + b х+с . 5. ////////////////////// 6. Выделите часть параболы для которой у 0 (≥0) или у 0 (≤0). х 1 − 8 7. На оси абсцисс выделите те значения х, для которых у 0 (≥0) или у 0 (≤0). 6 -7. 8. Запишите ответ. 8. Ответ: " width="640"

Решите неравенство х ² +7х-8 0 .

Алгоритм решения квадратных неравенств:

1. Приведите неравенство к виду

ах ² + b х+с 0 ( ≥0 ) ,

ах ² + b х+с 0 ( ≤0 ) .

2. Рассмотрим функцию

у=х ² +7х-8 .

2. Рассмотрите функцию

у=ах ² + b х+с .

3. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

3. Определите направления ветвей.

4 . х ² +7х-8=0 .

4. Найдите точки пересечения параболы с осью абсцисс (для них у=0; х 1 и х 2 найдите, решая уравнение ) .

По теореме Виета

х 1 = -8

х 1 +х 2 = -7

ах ² + b х+с=0

х 2 = 1

х 1 · х 2 = -8

5. Схематически постройте график функции

у=ах ² + b х+с .

5.

//////////////////////

6. Выделите часть параболы для которой у 0 (≥0) или у 0 (≤0).

х

1

− 8

7. На оси абсцисс выделите те значения х, для которых у 0 (≥0) или у 0 (≤0).

6 -7.

8. Запишите ответ.

8. Ответ:

Решите неравенство

х 2 – 3 х 0

у = х 2 – 3 х

х 2 – 3 х = 0

х(х-3)=0

х=0 или х-3=0

х=3

о

х

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7

Решите неравенство

– х 2 – 3 х 0

-х 2 – 3 х = 0

-х(х+3)=0

х=0 или х+3=0

х=-3

у = – х 2 – 3 х

о

х

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7

0 у = – х 2 – 3 х о х -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 . Решите неравенство – х 2 – 3 х 0 " width="640"

Решите неравенство

– х 2 – 3 х 0

у = – х 2 – 3 х

о

х

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7

.

Решите неравенство

– х 2 – 3 х 0

0 -х 2 +5х-9,6 = 0 х²-5х+9,6=0 D=25-38 , 4= -13,4 нет корней, парабола не пересекает ось х х Решите неравенство – х 2 +5 х– 9,6у = – х 2 + 5 х – 9,6 " width="640"

Решите неравенство

– х 2 + 5 х– 9,6 0

-х 2 +5х-9,6 = 0

х²-5х+9,6=0

D=25-38 , 4= -13,4

нет корней,

парабола не

пересекает ось х

х

Решите неравенство

– х 2 +5 х– 9,6

у = – х 2 + 5 х – 9,6

0 . Решите неравенство х 2 – 6 х + 9 0 " width="640"

Решите неравенство

х 2 – 6 х + 9

х 2 – 6х+ 9 = 0

(х-3)²=0

х-3=0

х=3

у = х 2 – 6 х +9

Решите неравенство

х 2 – 6 х + 9 0

3

х

Решите неравенство

х 2 – 6 х + 9 0

.

Решите неравенство

х 2 – 6 х + 9 0

0 D 0 а 0 0 х х 1 х 2 у ах ² + b х+с ≥ 0 D 0 а 0 х 0 х 1 х 2 у D 0 ах ² + b х+с 0 а 0 0 х у ах ² + b х+с ≥ 0 D 0 а 0 0 х у а 0 D = 0 ах ² + b х+с 0 0 х у а 0 D = 0 ах ² + b х+с ≥ 0 0 х " width="640"

Аналитическая модель

Старший коэффициент

Дискриминант

Геометрическая модель

Решение

у

ах ² + b х+с 0

D 0

а 0

0

х

х 1

х 2

у

ах ² + b х+с ≥ 0

D 0

а 0

х

0

х 1

х 2

у

D 0

ах ² + b х+с 0

а 0

0

х

у

ах ² + b х+с ≥ 0

D 0

а 0

0

х

у

а 0

D = 0

ах ² + b х+с 0

0

х

у

а 0

D = 0

ах ² + b х+с ≥ 0

0

х

Решите неравенство

х 2 + 4х

у

7

6

5

4

3

2

1

ВЕРНО!

1

[- 4 ; 0 ]

( - 4 ; 0 )

2

х

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

3

4

Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой.

у

Решите неравенство

х 2 + 4х ≥ 0

7

6

5

4

3

2

1

ВЕРНО!

1

[- 4 ; 0 ]

2

( - 4 ; 0 )

х

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

3

4

Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой.

у

Решите неравенство

– х 2 + 4х –6 ≥ 0

7

6

5

4

3

2

1

1

x=2

2

х

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

3

4

ВЕРНО!

Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой.

у

Решите неравенство

– х 2 + 6х – 9 0

7

6

5

4

3

2

1

1

x = 3

2

х

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

3

4

ВЕРНО!

Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой.

0 а ≥ 0 у D 0 D 0 D =0 Уравнение ах ² + b х+с=0 имеет два различных корня. Неравенство ах ² + b х+с≤0 имеет решение при любых значениях х. Неравенство ах ² + b х+с 0 имеет решение при любых значениях х. х 0 Неравенство ах ² + b х+с 0 не имеет решений. " width="640"

На рисунке изображён график функции у=ах ² + b х+с. Выберите верные утверждения (сделайте клик на нём)

а 0

а 0

а ≥ 0

у

D 0

D 0

D =0

Уравнение ах ² + b х+с=0 имеет два различных корня.

Неравенство ах ² + b х+с≤0 имеет решение при любых значениях х.

Неравенство ах ² + b х+с 0 имеет решение при любых значениях х.

х

0

Неравенство ах ² + b х+с 0 не имеет решений.

0 а ≥ 0 у D 0 D =0 D 0 Уравнение ах ² + b х+с=0 имеет два различных корня. Неравенство ах ² + b х+с≤0 имеет решение при любых значениях х. Неравенство ах ² + b х+с 0 имеет решение при любых значениях х. х 0 Неравенство ах ² + b х+с 0 не имеет решений. " width="640"

На рисунке изображён график функции у=ах ² + b х+с. Выберите верные утверждения (сделайте клик на нём) .

а 0

а 0

а ≥ 0

у

D 0

D =0

D 0

Уравнение ах ² + b х+с=0 имеет два различных корня.

Неравенство ах ² + b х+с≤0 имеет решение при любых значениях х.

Неравенство ах ² + b х+с 0 имеет решение при любых значениях х.

х

0

Неравенство ах ² + b х+с 0 не имеет решений.

0 а ≥ 0 у х D 0 D =0 D 0 0 Уравнение ах ² + b х+с=0 имеет два равных корня. Неравенство ах ² + b х+с≤0 имеет решение при любых значениях х. Неравенство ах ² + b х+с 0 имеет решение при любых значениях х. Неравенство ах ² + b х+с 0 не имеет решений. " width="640"

На рисунке изображён график функции у=ах ² + b х+с. Выберите верные утверждения (сделайте клик на нём) .

а 0

а 0

а ≥ 0

у

х

D 0

D =0

D 0

0

Уравнение ах ² + b х+с=0 имеет два равных корня.

Неравенство ах ² + b х+с≤0 имеет решение при любых значениях х.

Неравенство ах ² + b х+с 0 имеет решение при любых значениях х.

Неравенство ах ² + b х+с 0 не имеет решений.

0 а ≥ 0 у х D 0 D =0 D 0 0 Уравнение ах ² + b х+с=0 имеет два равных корня. Неравенство ах ² + b х+с≤0 имеет решение при любых значениях х. Неравенство ах ² + b х+с 0 имеет решение при любых значениях х. Неравенство ах ² + b х+с 0 не имеет решений. " width="640"

На рисунке изображён график функции у=ах ² + b х+с. Выберите верные утверждения (сделайте клик на нём) .

а 0

а 0

а ≥ 0

у

х

D 0

D =0

D 0

0

Уравнение ах ² + b х+с=0 имеет два равных корня.

Неравенство ах ² + b х+с≤0 имеет решение при любых значениях х.

Неравенство ах ² + b х+с 0 имеет решение при любых значениях х.

Неравенство ах ² + b х+с 0 не имеет решений.

Найдите все значения а, при которых неравенство х ² +(2а+4)х+8а+1 ≤ 0 не имеет решений ?

Решение.

f ( x ) = х ² +(2а+4)х+8а+1

Ветви параболы направлены вверх , т.к. старший коэффициент равен 1.

D

х

D=b ²-4ac

D=(2a+4) ² -4·1·(8a+1)

=4a ²+16a+16 -32a-4=

=4a ²-16a+12

4a ²-16a+12

a ²-4a+3

g ( a ) = a ²-4 а+ 3

//////////

g ( a ) = 0

а

1

3

a ²-4 а+ 3=0

По теореме Виета

а 1 = 1

a 1 +а 2 = 4

а 2 = 3

a 1 · а 2 = 3

Ответ: при а неравенство х ² +(2а+4)х+8а+1 ≤ 0 не имеет решений.

ТЕСТИРОВАНИЕ

2 вариант

1 вариант

1.

1.

2.

2.

Б

Б

3.

3.

А

4.

В

4.

5.

5.

• Составить схему для решения неравенств

при а

• В дополнительной литературе или с помощью Интернет ресурсов постарайтесь найти несколько примеров с решением квадратных неравенств сложного уровня.
• Составьте кроссворд на тему «Квадратные неравенства»