Презентация к уроку алгебры "Свойства функции"

В презентации раскрыты все свойства функции. Наглядность, доступность позволит учащимся усвоить материал на более высоком уровне, а учителю облегчит работу при объяснении нового материала.

Возрастающая

Функцию у=f(х) называют возрастающей на множестве Х, множества Х, таких, что х1<х2, выполняется неравенство f(х1) < f(х2).

Убывающая

Функцию у=f(х) называют убывающей на множестве Х, если для любых двух точек х1 и х2 множества Х, таких, что х1<х2, выполняется неравенство f(х1) >f(х2).

9 класс

Учитель Горшкова Светлана Ивановна

Алгебра 9 класс

Монотон-

ность

Наибольшее

И

наименьшее

значения

Ограни

ченность

Свойства

функций

Выпук-

лость

Непре-

рывность

f (х 2 ). f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 2 ) f(x 1 ) х 1 x 2 x 1 x 2 " width="640"

Монотонность

• Возрастающая

• Убывающая

Функцию у= f (х) называют возрастающей на множестве Х, множества Х, таких, что х 1

f (х 1 )

Функцию у= f (х) называют убывающей на множестве Х, если для любых двух точек х 1 и х 2 множества Х, таких, что х 1

f (х 1 ) f (х 2 ).

f(x 1 )

f(x 2 )

f(x 2 )

f(x 1 )

х 1

x 2

x 1

x 2

Наибольшее и наименьшее значения

• Число m называют наименьшим значением функции у = f (х) на множестве Х, если: 1) в Х существует такая точка х 0 , что f (х 0 ) = m .

2) Для всех х из Х выполняется неравенство f (х) ≥ f (х 0 ).

• Число M называют наибольшим значением функции у = f (х) на множестве Х, если: 1) в Х существует такая точка х 0 , что f (х 0 ) = M .

2) для всех х из Х выполняется неравенство f (х) ≤ f (х 0 ).

Непрерывность

• Непрерывность функции на промежутке Х означает, что график функции на промежутке Х сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.
• Задание: Определите, на каком из рисунков изображен график непрерывной функции.

Выпуклость

• Функция выпукла вниз на промежутке Х, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.
• Функция выпукла вверх на промежутке Х, если соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Ограниченность

• Функцию у= f (х) называют ограниченной сверху на множестве Х, если все значения функции на множестве Х меньше некоторого числа.

• Функцию у= f (х) называют ограниченной снизу на множестве Х, если все значения функции на множестве Х больше некоторого числа.

у

у

х

х

Алгоритм описания свойств функций

• Область определения
• Монотонность
• Наибольшее и наименьшее значения
• Непрерывность
• Выпуклость
• Ограниченность
• Область значений

Опишите свойства функций:

• у= kx + m – линейная функция
• у = kx 2 – квадратичная функция
• у = k/x
• у = √х
• у = | х |
• у = ах 2 + b х + с – квадратичная функция

0, убывает при kНет ни наибольшего, ни наименьшего значений Не ограничена ни снизу, ни сверху E ( f ) = (-∞; +∞) " width="640"

Свойства функции у = k х + m

• D ( f ) = (- ∞; +∞)
• Возрастает при k 0, убывает при k
• Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений
• Не ограничена ни снизу, ни сверху
• E ( f ) = (-∞; +∞)

0 D ( f ) = (- ∞, +∞) Убывает на луче (-∞, 0 ] , возрастает на луче [ 0, +∞) у наиб не существует, у наим =0 Непрерывна Выпукла вниз Ограничена снизу, не ограничена сверху E ( f ) = [ 0, +∞) " width="640"

Свойства функции у = k х 2

при k

• D ( f ) = (- ∞, +∞)
• Убывает на луче [ 0,+∞),возрастает на луче (-∞, 0 ]
• у наиб =0, у наим не существует
• Непрерывна
• Выпукла вверх
• Не ограничена снизу, ограничена сверху
• Е (f ) = (-∞, 0 ]

при k 0

• D ( f ) = (- ∞, +∞)
• Убывает на луче (-∞, 0 ] , возрастает на луче [ 0, +∞)
• у наиб не существует, у наим =0
• Непрерывна
• Выпукла вниз
• Ограничена снизу, не ограничена сверху
• E ( f ) = [ 0, +∞)

0 при kD ( f ) = (- ∞,0) U (0, + ∞ ) Убывает на луче (-∞,0) и на луче (0,+∞) Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений Непрерывна на луче (-∞,0) и на луче (0,+∞) Выпукла вверх при х 0 Не ограничена ни сверху, ни снизу Е( f ) = (-∞,0) U (0,+∞) D ( f ) = (- ∞,0) U (0,+∞) Возрастает на луче (-∞,0) и на луче (0,+∞) Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений Непрерывна на луче (-∞,0) и на луче (0,+∞) Выпукла вверх при х 0 и выпукла вниз при х Не ограничена ни сверху, ни снизу Е( f ) = (-∞,0) U (0,+∞) " width="640"

Свойства функции у = k /х

при k 0

при k

• D ( f ) = (- ∞,0) U (0, + ∞ )
• Убывает на луче (-∞,0) и на луче (0,+∞)
• Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений
• Непрерывна на луче (-∞,0) и на луче (0,+∞)
• Выпукла вверх при х 0
• Не ограничена ни сверху, ни снизу
• Е( f ) = (-∞,0) U (0,+∞)

• D ( f ) = (- ∞,0) U (0,+∞)
• Возрастает на луче (-∞,0) и на луче (0,+∞)
• Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений
• Непрерывна на луче (-∞,0) и на луче (0,+∞)
• Выпукла вверх при х 0 и выпукла вниз при х
• Не ограничена ни сверху, ни снизу
• Е( f ) = (-∞,0) U (0,+∞)

Функция у = √х

• D ( f ) = [ 0,+∞)
• Возрастает
• у наим = 0, у наиб = не существует
• Непрерывна
• Выпукла вверх
• Ограничена снизу, не ограничена сверху
• Е( f ) = [ 0, +∞)

0 D ( f ) = (- ∞, +∞) " width="640"

Функция у = ах 2 + b х + с

• При а 0

• D ( f ) = (- ∞, +∞)