Презентация по алгебре "Применение производной"

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский.

Вопросы:

1) Как связан "знак" производной с возрастанием и убыванием функции?

2) Что называется точкой максимума?

3) Что называется точкой минимума?

4) Какие точки называются стационарными?

5) Какие точки называются критическими?

По графикам функций и их производных, выполните устно следующие задания:

А) Функция определена на промежутке (-5;7).

График ее производной изображен на рисунке. Найти промежутки возрастания функции.

Б) Функция определена на промежутке (-8;5).

График ее производной изображен на рисунке. Найти промежутки убывания функции.

В) Функция  y = f(x) определена на промежутке (-6;7).

На рисунке изображен график ее производной. Укажите число точек максимумов и минимумов.

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»

Н.И. Лобачевский

Гипотеза:

Найдите производные функций:

Найдите производные функций:

Найдите производные функций:

Вопросы

1 ) Как связан “знак” производной с возрастанием и убыванием функции ?

2) Что называется точкой максимума?

3) Что называется точкой минимума?

4) Какие точки называются стационарными?

5) Какие точки называются критическими?

По графикам функций и их производных, выполните устно следующие задания:

А) Функция определена

на промежутке (-5;7).

График ее производной

изображен на рисунке.

Найти промежутки

возрастания функции

Б) Функция определена

на промежутке (-8;5).

График ее производной

изображен на рисунке.

Найти промежутки

убывания функции

В) Функция y = f(x) определена на промежутке

(-6;7). На рисунке изображен график ее

производной. Укажите число точек максимумов

и минимумов.

По графикам функций и их производных, выполните следующие задания:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

Проверьте себя

1

7

3

2

8

2

8

3

3

9

7

1

4

10

0

-

1

11 1

5

0

-

3

,

2

5

6

12

9

3

Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x 0 .

Каждому верному ответу соответствует буква,

из этих букв необходимо составить имя известного математика.

1

-2

г

а

4

-1

л

а

2

3

и

н

5

-4

б

й

0

6

ж

р

8

7

е

ц

Из истории дифференциального исчисления

В 1638 году Ферма поделился этим открытием со своим земляком Рене Декартом, который также занимался этой проблемой и нашел свой метод построения касательных к алгебраическим кривым.

Ферма далеко продвинулся в применении дифференциальных методов, он использовал их не только для проведения касательных, но, к примеру, для нахождения максимумов, вычисления площадей. Однако ни Ферма, ни Декарт не сумели свести полученные научные выводы и результаты в единую систему.

• Великий французский математик Пьер Ферма в 1629 году научился находить касательные к алгебраическим кривым.

Из истории дифференциального исчисления

Тем не менее, выдвинутые идеи не пропали впустую .

Вильгельм

Лейбниц

(1646-1716)

Исаак

Ньютон

(1642-1727)

Многие из них легли в основу нового метода математического анализа – дифференциального исчисления, основоположниками которого считаются Вильям Лейбниц и Исаак Ньютон.

Из истории дифференциального исчисления Производная в математике показывает числовое выражение степени изменений величины, находящейся в одной и тоже точке, под влиянием различных условий. Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос - на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия - применяет её в своих трудах. Формула производной часто встречается в работах известных математиков 17 века. Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лангранж и др.

Ученые, внёсшие значительный вклад в развитие дифференциального исчисления

Н. Тарталья Г. Галилей Р. Декарт Ж. Лагранж

И. Ньютон Г. Лейбниц Я. Бернулли Г. Лопиталь

Исаак Ньютон (1642 – 1727)

И. Ньютон– великий английский физик, математик и астроном.

Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он описал закон всемирного тяготения и так называемые Законы Ньютона, заложившие основы классической механики.

Разработал дифференциальное и интегральное исчисление (автор знаменитого бинома Ньютона), теорию цветности и многие другие математически и физические теории .

Готфрид Фридрих Лейбниц (1646 – 1716)

Г. Лейбниц– немецкий философ, математик, физик, языковед.

Создал математический анализ – дифференциальное и интегральное исчисление, сформулировал основные понятия. В 1675 г четко указал на взаимно-обратный характер операций дифференцирования и интегрирования.

По просьбе Петра I разработал проекты развития образования и государственного управления в России.

Создал комбинаторику как науку.

Обосновал необходимость регулярно мерить у больных температуру тела.

Привел доказательства существования подсознания человека.

Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)

Ж. Лагранж (25 января 1736 – 10 апреля 1813) – французский математик и механик итальянского происхождения, иностранный почетный член Петербургской АН (1776).

Лучший математик 18 века.

В 19 лет он стал профессором в Артиллерийской школе Турина. Именно Лагранж в 1791 г. ввёл термин «производная», ему же мы обязаны и современным обозначением производной (с помощью штриха). Термин «вторая производная» и обозначение(два штриха) также ввёл Лагранж

Применение производной в физике

• Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется по закону x(t), то скорость ее движения v(t) в момент времени t равна производной т.е. производная от координаты по времени есть скорость

Производная от скорости по времени есть ускорение:

Ускорение движения есть скорость изменения скорости, поэтому ускорение движения в момент времени t равно производной Таким образом, ускорение движения в момент времени t равно т.е. равно производной от производной. Эту производную называют второй производной от функции и обозначают Итак,

Физический смысл

скорость

ускорение

Где ещё находит свое применение производная в физике?

• Если V(p) – закон изменения объема жидкости от внешнего давления p , то производная есть мгновенная скорость изменения объема при внешнем давлении, равном p .

• Сила есть производная работы по перемещению, т.е.

• Теплоемкость – есть производная теплоты по температуре, т.е.

Задача №1

Скорость школьного автобуса массой 5 т возрастает по закону υ = 0,1 t 3 + 0,2 t .

Определить равнодействующую всех сил, действующих на него в момент времени 2 с.

Решение

Задача №2

• Две материальные точки движутся прямолинейно по законам

В какой момент времени скорости их равны, т.е.

Решение

Задача №3

Точка движется прямолинейно по закону

Вычислите скорость движения точки:

а) в момент времени t;

б) в момент времени t=2с.

Решение.

а)

б)

Задача №4

Найдите скорость и ускорение для точки, движущейся по закону

а) в момент времени t;

б) в момент времени t=3с.

Решение.

Применение производной в химии и биологии

И в химии нашло широкое применение дифференциальное исчисление для построения математических моделей химических реакций и последующего описания их свойств. Химия – это наука о веществах, о химических превращениях веществ. Химия изучает закономерности протекания различных реакций

Определение скорости

химической реакции

Скоростью химической реакции называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени.

Зачем нужна производная в реакциях ?

Так как скорость реакции v непрерывно изменяется в ходе процесса, ее обычно выражают производной концентрации реагирующих веществ по времени.

Формула производной в химии

Если C(t) – закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость v(t) химической реакции в момент времени t равна производной:

Определение скорости реакции

Предел отношения приращённой функции к приращённому аргументу при стремлении Δt к нулю - есть скорость химической реакции в данный момент времени

Задача по химии:

Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью:

С(t) = t 2 /2 + 3t –3 (моль)

Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

Решение:

v (t) = С ‘(t);

v (t) = t + 3;

v (3) = 3+3 = 6.

Ответ: 6 моль\с.

Биологический смысл производной

Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: у = x(t). Пусть ∆t - промежуток времени от некоторого начального значения t до t+∆t. Тогда у + ∆у = x(t+∆t) - новое значение численности популяции, соответствующее моменту t+∆t , а ∆y + x(t + ∆t )- x(t) - изменение числа особей организмов. Отношение является средней скоростью размножения или, как принято говорить, средней производительностью жизнедеятельности популяции. Вычисляя , получаем y ‘ = P(t) = x ‘ (t) , или производительность жизнедеятельности популяции в момент времени t .

Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

Пример

Пусть популяция бактерий в момент t (с) насчитывает x(t) особей. . Найти скорость роста популяции: а) в произвольный момент t, б) в момент t = 1 c.

Решение:

P = x’(t) = 200t;

P(1) = 200 (о/с).

Ответ: 200 о/с.

Заключение

Понятие производной очень важно в химии и в биологии, особенно при определении скорости течения реакции.

Применение производной в географии

Производная помогает рассчитать:

• Некоторые значения в сейсмографии
• Особенности электромагнитного поля земли
• Радиоактивность

ядерно-геофизических

показателей

• Многие значения

в экономической географии

ЭТО Я

ЭТО Я

ЭТО Я

ЭТО Я

ЭТО Я

Численность населения

Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения пропорционален числу населения в данный момент времени t. Модель Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения

США с 1790 по 1860 годы.

Ныне эта модель

в большинстве стран

не действует.

47

Пример

Вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.

РЕШЕНИЕ:

Пусть у=у(t)- численность населения.

Рассмотрим прирост населения за  t=t-t 0

 y=k y  t, где к=к р – к с –коэффициент прироста

(к р – коэффициент рождаемости,

к с – коэффициент смертности)

 y/  t=k y

При  t  0 получим lim  y/  t=у’

у’=к у

47

Применение производной в экономике

• Экономика — хозяйственная деятельность общества, а также совокупность отношений, складывающихся в системе производства, распределения, обмена и потребления.

Решение задач

П (t) = υ / (t) - производительность труда,

где υ (t) - объем продукции

J(x) = y / (x) - предельные издержки производства,

где y– издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукции x.

Задача

Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию U(t)=0,15t³ – 2t² + 200, где t – месяцы, U-миллионы.

Исследуйте оборот предприятия за 9 и 10 месяцы.

Решение: Исследуем оборот предприятия с помощью производной: U'(t)=0,45t² - 4t

Меньший оборот был на девятом месяце- 0,45. На 10 месяце -5.

Вывод:

Дифференциальное исчисление- это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная - одно из самых важных понятий математического анализа. Знание производной помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки, техники и жизни.

ПРИМЕР 1

1)Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x 2 - 8x+19 на [-1;5]

РЕШЕНИЕ

1)Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x 2 - 8x+19 на [-1;5]

1)

2) 2x+8=0

2x=-8

x=-4

3)

4)

Выбери картинку, соответствующую твоему настроению на уроке:

Урок окончен. Спасибо за работу