Материал по математике "Сравнение аксиоматики Гильберта и автора учебника геометрии А. В. Погорелова"

Введение.

Первым залогом непогрешимости математического мышления считается то, что исходным пунктом рассуждений и действий в этой науке служат аксиомы.

И. М. Сеченов

Для современной математики характерен аксиоматический подход. Особый интерес представляет аксиоматическое построение геометрии. Как же можно охарактеризовать аксиоматический метод?

В Большой Советской Энциклопедии имеется следующее определение: «Аксиоматический метод – способ построения научной теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) – аксиомы или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории (теоремы) должны выводиться чисто логическим путем, посредством доказательств. Назначение аксиоматического метода состоит в ограничении произвола при принятии научных суждений в качестве истин данной теории. Построение науки на основе аксиоматического метода обычно называют дедуктивным. Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксированного числа первоначальных) вводятся посредством определений, выражающих (или разъясняющих) их через ранее введенные понятия».

Таким образом, суть аксиоматического метода построения геометрии заключается в следующем:

1. Выделяются основные понятия и отношения между ними.

2. Дается описание свойств этих отношений при помощи соответствующего списка аксиом.

3. Чисто логическим путем формулируются все новые понятия и получают различные следствия из аксиом - теоремы, леммы, предложения и т. п.

При этом система аксиом должна удовлетворять следующим требованиям:

1. Непротиворечивость. Система аксиом называется непротиворечивой, если из нее не могут быть выведены два исключающих друг друга утверждения. Непротиворечивость может быть подтверждена наличием модели системы аксиом, то есть совокупности объектов, для которых, выполняются утверждения аксиом исследуемой теории.

2. Независимость. Желательно иметь такой список аксиом, в котором ни одна из них не является следствием остальных. Доказательство независимости данной аксиомы сводится к построению такой модели, в которой выполняются все аксиомы, кроме этой.

3. Полнота. Система аксиом считается полной, если к аксиомам нельзя добавить независимую от них аксиому.

Требование непротиворечивости является обязательным. В противном случае для любой теоремы можно доказать ее отрицание, а такая теория не может иметь применения. Требование независимости и полноты не всегда обязательно.

Совокупность аксиом и теорем составляет содержание теории, которая носит определенное название в зависимости от списка аксиом. Евклидова геометрия — привычная геометрия, изучаемая в школе.

Открытие аксиоматического метода приписывается Пифагору (Греция, 5 век до н. э. ). Евклид успешно применил этот метод (3 век до н. э. ) в "Началах".

Следующий период в развитии аксиоматического метода связан с открытием Лобачевского Н. И. и созданием теории множеств. В 1854 г. вышла работа Б. Римана "О гипотезах, лежащих в основании геометрии", где строится геометрия, отличная от геометрии Евклида и Лобачевского.

В 1899 г. впервые вышла книга Д. Гильберта "Основания геометрии", где дается полная система аксиом евклидовой геометрии.

Так как существуют различные аксиоматики, для сравнения возьму за основу систему аксиом, на которой основан школьный курс геометрии автора А. В. Погорелова и аксиоматику Д. Гильберта. При сравнении попытаюсь выяснить, удовлетворяют ли они основным требованиям, предъявляемым к системе аксиом; в чем их различие и сходство, есть ли эквивалентные аксиомы.

Аксиомы школьного курса геометрии А. В. Погорелова

Геометрия состоит, как правило, из двух больших разделов «планиметрия» и «стереометрия». Фундаментом для построения геометрии А. В. Погорелова являются основные (неопределяемые) понятия, в планиметрии - точка, прямая, в стереометрии - плоскость. И отношения между ними: отношение принадлежности для точек, прямых и плоскостей, выражаемое словом «принадлежать», отношение порядка для точек на прямой, выражаемое словами «лежать между», «длина» для отрезков и «градусная мера» для углов. Эти понятия не определяются и все, что о них предполагается известным, выражается аксиомами.

Используя основные понятия и аксиомы, формулируются определения новых понятий, теоремы, доказываются теоремы и таким образом изучаются свойства геометрических фигур.

Заглянем в учебник. Сначала появляются в нем не аксиомы, а основные свойства простейших геометрических фигур, хорошо известные школьникам. Первыми рассматриваются геометрические фигуры и их свойства на плоскости. Данной теме посвящается первый параграф учебника. Понятие аксиомы появляется в учебном пособии А. В. Погорелова лишь в конце первого параграфа.

По мнению автора, аксиомами называют утверждения, содержащиеся в формулировках основных свойств простейших фигур, не доказывающиеся. Слово «аксиома» происходит от греческого слова «аксиос» и означает «утверждение, не вызывающее сомнений».

Такой подход изложения материала удобен для школьников, им проще обобщить свои знания об основных геометрических фигурах и называть уже изученные свойства аксиомами. Главное для учителя при этом не оперировать на первых уроках термином «аксиомы» не сбивая учеников. Первый параграф подготавливает детей к освоению большого и ёмкого курса «геометрии». Аксиомы необходимы для определения определяемых понятий (геометрических фигур) и для доказательства теорем. Аксиомы упрощают введение понятий и помогают обучаемым решать различные задачи.

В связи с делением геометрии на «планиметрию» и «стереометрию» аксиомы в учебном пособии А. В. Погорелова так делятся на две большие группы «аксиомы планиметрии» и «аксиомы стереометрии». Сначала вводятся плоские аксиомы в 7 классе (их обозначения – I). А затем - группа пространственных аксиом в 10 классе (С).

Весь материал – смотрите документ.