Презентация по математике «Общие методы решения тригонометрических уравнений»

В презентации представлены методы решения тригонометрических уравнений различных видов. Кроме того материал презентации содержит задания для самостоятельной работы с последующей проверкой. Материал подается фрагментами по щелчку «мышью», что позволяет рассмотреть решение примеров пошагово.

Повторение теоретического материала.

Функция называется четной, если f(x) = f(-x), где х и –х принадлежат области определения функции.

Функция называется нечетной, если -f(x) = f(-x), где х и –х принадлежат области определения функции.

Сызранский медико-гуманитарный колледж

УМК ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА для 1 курса Общие методы решения тригонометрических уравнений

Разработала: преподаватель математики Н.Л. Косырева

• Цель урока.
• - Систематизировать и расширить знания, умения учащихся, связанных с применением методов решения тригонометрических уравнений.
• Задачи.
• - Повторить и закрепить полученные знания о тригонометрической функции и ее свойствах;
• - Научиться классифицировать и решать тригонометрические уравнения различными методами

Повторение теоретического материала.

• Функция называется четной, если

f(x) = f(-x) ,

где х и –х принадлежат области определения функции

• Функция называется нечетной, если

- f(x) = f(-x) ,

где х и –х принадлежат области определения функции

sin x

нечетная

cos x

четная

tg x

нечетная

ctg x

нечетная

• Значения тригонометрических функций для различных углов поворота.

1 вариант

sin (-π/3)

cos 2π/3

tg π/6

ctg π/4

cos (-π/6)

sin 3π/4

Ответ

- √ 3/2

- 1/2

√ 3/3

1

√ 3/2

√ 2/2

2 вариант

cos (-π/4 )

sin π/3

ctg π/6

tg π/4

sin (-π/6)

cos 5π/6

Ответ

√ 2/2

√ 3/2

√ 3

1

- 1/2

- √3/2

Определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

1 вариант

arcsin √2/2

arccos 1

arcsin (- 1/2 )

arccos (- √3/2)

arctg √3

1 вариант

arccos √2/2

arcsin 1

arccos (- 1/2)

arcsin (- √3/2)

arctg √3/3

Ответ

π /4

0

- π /6

5 π /6

π /3

Ответ

π /4

π /2

2 π /3

- π /3

π/ 6

Решение простейших тригонометрических уравнений вида sinx = а, cosx = а, tg х = а.

k

sinx =а

cosx = а

tg х = а

х = (-1) arcsin а + π k , k Z

х = ± arccos а + 2 π k , k Z

х = arctg а + π k , k Z .

. Методы решения тригонометрических уравнений

• уравнения приводимые к линейным или квадратным уравнениям;
• - однородные тригонометрические уравнения 1, 2 степени;
• - метод разложения на множители.

Уравнения приводимые к линейным или квадратным уравнениям.

2

Уравнения вида A sin х + В sin х + С =0 и

A sin х + В cos х + С =0, решается методом замены переменной.

• Решить уравнение sin х + 5 sin х - 6 =0 :
• Решение
• - вводим замену sin х = z ,
• - решаем квадратное уравнение

z + 5 z - 6 = 0,

• - находим z = 1; z = -6,
• - решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π /2 +2 π k , k Z ,
• - уравнение sin х = - 6 не имеет решения, так как -6 не принадлежит Е ( sin х ), т.е. -6 не принадлежит [-1; 1].
• Ответ: х = π /2 +2 π k , k Z .

2

2

2

2

1

• Решим уравнение вида A sin 2 х + В cos х + С =0 :

2 sin 2 х + 3 cos х -3 =0.

Решение

- вводим замену sin 2 х = 1 - cos 2 х,

-получаем : 2 (1 - cos 2 х) +3 cos х -3 =0,

- выполняем преобразования :

- 2 cos 2 х + 3 cos х - 1 = 0, | (-1

2 cos 2 х - 3 cos х + 1 = 0;

- вводим замену cos х= t

- решаем квадратное уравнение 2 t 2 - 3 t +1 = 0,

- находим t 1 = 1; t 2 = 0,5

- решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k , k Z ,

- решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида х = ± arccos 0,5+ 2 π n , n

Z .

Ответ: х = 2 π , х = ± arccos 0,5+ 2 π n , n Z .

Самостоятельное решение уравнений с последующей проверкой.

Вариант 1

на

«3»

Вариант 2

2 cos х + 5 sin х - 4=0

на

«4»

c os 2х + cos х =0

3 sin x - 2 cos 2 x =0

на

«5»

cos 2x + sin x =0

√ 2 sin ( x /2) + 1 = cos х

√ 2 cos ( x /2) + 1= cos x

2

ОТВЕТЫ

1 вариант

2 вариант

(-1) k π /6 + πk , k Z

(-1) k π /6 + πk , k Z

π + 2 πk , k Z

± π /3 + 2 πn , n Z

π /2 + 2 πk , k Z

(-1) k +1 π /6 + πn , n Z

2 πk , k Z

(-1) k π /2+2 πn , n Z

π + 2 πk , k Z

± π /2 + 4 πn , n Z

Однородные тригонометрические уравнения.

• Однородное тригонометрическое уравнение первой степени: A sin x + B cos x = 0,
• метод решения: разделить обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим и решим простейшее тригонометрическое уравнение вида tg x = а.

Решите уравнение 2 sin x + 3 cos x = 0.

Решение : 2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0,

2 tg x + 3 =0,

tg x = -1,5.

Ответ: х= arctg (-1,5) + πk , k Z или

х = - arctg 1,5 + πk , k Z

Однородное тригонометрическое уравнение второго порядка:

А sin х + В sin х cos х + С cos х = 0

Метод решения: разделить обе части уравнения на cos x ≠ 0,

получим и решим уравнение вида

А tg x + В tg x + С = 0 — это уравнение приводимое к квадратным.

2

2

2

• Решите уравнение
• 2 sin х - 3 sin х cos х - 5 cos х =0.
• Решение: 2 sin х - 3 sin х cos х - 5 cos х =0,
• - разделим обе части уравнения на cos x ≠ 0
• 2 sin х - 3 sin х cos х - 5 cos х =0 | : cos х ≠ 0,
• 2 tg x - 3 tg x - 5 = 0,
• - вводим замену tg x = t
• - решаем квадратного уравнения 2 t – 3 t – 5 =0
• - находим: t = -1; t = 2,5,
• - решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = - π /2 + πk , k Z .
• - решением уравнения tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn , n Z .

Ответ: х = - π /2 + πk , k Z ,

х = arctg 2,5+ πn , n Z .

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

Самостоятельное решение уравнений с последующей проверкой.

2

1 вариант

1

2 вариант

3 sin x+ 5 cos x = 0

2

5 sin х - 3 sin х cos х - 2 cos х =0

2 cos x+ 3 sin x = 0

3

4

3 cos х + 2 sin х cos х =0

6 sin х - 5 sin х cos х + cos х =0

5 sin х + 2 sin х cos х – cos х =1

2 sin x – sin x cosx =0

5

4 sin х - 2 sin х cos х - 4 cos х =1

2 sin x - 5 cos x = 3

6

1- 4 sin 2x + 6 cos х = 0

2 sin x - 3 cos x = 4

2 sin х - 2sin 2 х +1 =0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ОТВЕТЫ

1 вариант

1

2 вариант

- arctg 5/3+ πk , k Z .

2

- arctg 2/3+ πk , k Z .

π /4 + πk ; - arctg 0,4 + πn ,

k , n Z .

3

4

π /2 + πk ; - arctg 1,5 + πn ,

k , n Z .

arctg 1/3+ πk ; arctg 0,5 + πn , k , n Z .

πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z.

π /4 + πk ; - arctg 0,5 + πn ,

k , n Z .

5

-π/4 + πk; - arctg 5/3 + πn,

k, n Z.

arctg ( - 1 ± √5) + πk , k Z .

6

arctg ( 2 ± √11) + πk, k Z.

π /4 + πk ; arctg 7 + πn ,

k , n Z .

π/4 + πk; arctg 1/3 + πn,

k, n Z.

Z .

Метод разложения на множители .

• Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей.
• Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю.
• Таким образом, данный множитель можно представить в виде совокупности более простых уравнений.

Решите уравнение: 2 sin x - cos 2x - sin x = 0

Решение:

-сгруппируем первый член с третьим, применив формулу косинуса двойного угла, получим

cos 2x = cos x – sin x.

- уравнение примет вид: (2sin x - sin x) – (cos x – sin x) = 0,

- вынесем из выражения, стоящего в первой скобке sin x, применив основное тригонометрическое тождество получим cos x = 1 – sin x.

- уравнение примет вид: sin x (2sin x – 1) – (1 - 2 sin x) = 0,

sin x (2sin x – 1) + (2 sin x - 1) = 0,

(2 sin x - 1) • ( sin x + 1) = 0.

2 sin x – 1 = 0 или sin x + 1 = 0

sin x = 1/2, sin x = - 1

sin x = ±1/ √ 2

Ответ : x1 = ± /4 + n, n Z, x2 = - /2 +2k, k Z

3

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

• Что нового вы узнали на уроке?
• С какими трудностями встретились при решении уравнений?
• Какие темы необходимо повторить для успешного решения тригонометрических уравнений?
• Можете ли вы пересказать материал урока однокурснику, пропустившему урок?

Домашнее задание.

А. Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа»

• Повторить формулы решения простейших тригоно -метрических уравнений.
• Повторить основные приемы решения тригономет-рических уравнений.
• Повторить решение простейших тригонометрических неравенств.
• Выполнить упражнения № 163-165 .

Учебно-методическое обеспечение урока.

А. Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа»

Ш. А. Алимов «Алгебра и начала анализа»

А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа».

А.Г. Мордкович «Сборник задач по алгебре и началам анализа».

http://pedsovet.su - шаблон презентации

http :// ege-ok.ru /2012/01/24/reshenie-pokazatelnyih-uravneniy-zadanie-v5/

http :// rudocs.exdat.com / docs /index-17520.html#788178

http :// www.alleng.ru / edu /math1.htm

http :// www.uchportal.ru / load /25-1-0-23602

http :// karmanform.ucoz.ru / load / primenenie_informacionnykh_tekhnologij_na_urokakh_matematiki_v_1011_kh_klassakh /3-1-0-683