Урок математики «Определение арксинуса и арккосинуса. Свойства и график функции y = arcsinx и y = arccosx»

I. Актуализация опорных знаний.

Вспомнить основные определения и свойства. Работа по группам.

1 группа: рассказать об arcsina, arccosa;

2 группа: рассказать об arctga, arcctga;

3 группа: выписать основные формулы тригонометрии, которые будут использованы на уроке;

План ответа учащихся:

1. Дать определение понятия;

2. Занести в таблицу значения arcsina, arccosa (arctga, arcctga);

3. Записать формулу для вычислений с отрицательным аргументом;

Примерное время на подготовку ответов групп - 3 минуты, после чего заслушиваются ответы. Представленные сведения отображаются учениками в таблице (на доске).

II. Устная работа.

Ученикам предлагается ряд примеров, на которые они устно дают ответы (примеры отображены на слайде 1).

III. Работа в парах.

Ученикам предлагается ряд примеров (после черты дополнительный пример  для более сильных учеников), которые они решают на местах в парах. Через 10 минут учитель просит одного ученика написать ответы на доске. Потом остальные ученики сверяют ответы.

Весь материал - смотрите документ.

§ 2. Использование интерактивных технологий на этапе закрепления нового материала

2. 1. Фрагмент урока по решению задач в 10 классе по теме: «Преобразование выражений, содержащих обратные

тригонометрические функции»

(10кл., задачник А. Г. Мордкович (профильный уровень))

I. Актуализация опорных знаний.

Вспомнить основные определения и свойства. Работа по группам.

1 группа: рассказать об arcsina, arccosa;

2 группа: рассказать об arctga, arcctga;

3 группа: выписать основные формулы тригонометрии, которые будут использованы на уроке;

План ответа учащихся:

1. Дать определение понятия;

2. Занести в таблицу значения arcsina, arccosa (arctga, arcctga);

3. Записать формулу для вычислений с отрицательным аргументом;

Примерное время на подготовку ответов групп-3 минуты, после чего заслушиваются ответы. Представленные сведения отображаются учениками в таблице (на доске).

II. Устная работа.

Ученикам предлагается ряд примеров, на которые они устно дают ответы (примеры отображены на слайде 1) .

Слайд 1.

Ответы: 1),2) 4, 3)не сущ.,4) , 5) , 6) ˗ , 7) , 8) , 9) , 10) не сущ., 11) , 12) ;

III. Работа в парах.

Ученикам предлагается ряд примеров (после черты дополнительный пример для более сильных учеников), которые они решают на местах в парах. Через 10 минут учитель просит одного ученика написать ответы на доске. Патом остальные ученики сверяют ответы.

Вид доски:

Ответы: 1) , 2) ˗ , 3) , 4) ˗ , 5) ?, 6) , 7) ˗ ,8) 1, 10) 1;

IV. Работа у доски.

В ходе выполнения предыдущего задания учитель выясняет, что ученики не смогли справиться с примером 5). После чего учитель разбирает пример sin (arccos ) на доске.

К доске выходит ученик и решает пример 5).

5) cos (arcsin (˗) );

Решение:

1. Пусть arcsin (˗) =, ˗ ≤≤, sin=;

2. sin² + cos²=1

= ===;

3. Т. к. ˗ ≤≤, то cos0, т. е. cos=;

Ответ: cos (arcsin (˗ ))=.

Учитель сообщает, что главное запомнить принцип выполнения подобных заданий.

№ 21. 49а, б

а) sin (arctgx) =;

Решение:

1. Пусть arctgx = α, тогда tgα =x, α;

2. sin²α=1 ˗ cos², cos² = ,

cos² = , sin²α=1 ˗ =, = ;

3. Т. к. ˗ ≤≤, то sin0, т. е. sin=;

Ответ: sin (arctgx) =.

б) tg(arcsinx) =;

Решение:

1. Пусть arcsinx = α  sinα = x, α[];

2. sin²α =1 ˗ cos², =˗ 1,

cos²α=1 ˗ , =˗1,=;

3. Т. к. ˗ ≤≤, то tg0, т. е. tg=.

Ответ: tg(arcsinx) =.

IV. Работа в группах.

Группам раздаются карточки с заданиями. На выполнение работы дается 15 минут. Затем ученики сверяют ответы заданий 1-3, отображённые на слайде 2. Если у учеников возникают вопросы (не сходится ответ), то учитель дает возможность ответить более успешному ученику, который справился с данным заданием. После чего на слайде 3 отображается решение заданий.

Далее из каждой группы один ученик выносит на доску решение задания 4. Ответ, обязательно, должен содержать план решения данного задания.

1 группа. Группу составляют учащиеся с высокими и выше среднего учебными возможностями. В карточке предписаний для группы записаны только задания.

Карточка 1.

Вычислите:

1. tg (arccos ˗ arcctg );

2. sin (arcctg(˗ ));

3. сtg (arcsin (˗0, 8));

Проверьте равенство:

4. tg(˗ arcsin(˗))=1

Вопрос учителя к решению задания 4):

• Какую ещё можно применить формулу, связывающую значения различных тригонометрических функций?

• Можно использовать формулу tg= ,(1 + tg²=);

2 группа

Группу составляют учащиеся со средними учебными возможностями. Решение заданий они выполняют самостоятельно. В карточке указан план решения заданий.

Карточка 2.

Вычислите:

1. tg (arccos ˗ arcctg );

План решения 1:

1. Вычислить значение выражения в скобках.

2. Вычислить значение tg от выражения, полученного в скобках;

1. sin (arcctg(˗ ));

2. сtg (arcsin (˗0, 8));

План решения 2:

1. Обозначить выражение в скобках за , из опрделения . Определить какой четверти принадлежит .

2. Применить формулы, связывающие значения различных тригонометрических функций.

3. Исходя из того, какой четверти принадлежит , определить знак значения данного выражения.

Проверьте равенство:

1. tg (arccosx) ∙ tg(arcsinx) =1;

План решения 3:

1. По плану решения 2 вычислить значение выражений tg(arccosx) и tg(arcsinx);

2. Найти произведение этих выражений.

Вопрос учителя к решению задания 4):

• Какую ещё можно применить формулу, связывающую значения различных тригонометрических функций?

• Можно использовать формулу tg= ,(1 + tg²=);

3 Группа

Группу составляют учащиеся с низкими учебными возможностями. Решение задачи выполняют частично самостоятельно, при необходимости могут обращаться за консультацией к учителю.

Карточка 3.

Вычислите:

1. tg (arccos ˗ arcctg );

Решение:

arccos= ;

arcctg = ;

tg (arccos ˗ arcctg ) = ;

1. sin (arcctg(˗ ));

Решение:

1. Обозначить выражение в скобках за , из опрделения ctg= . Определить какой четверти принадлежит .

Пусть , тогда ctg= , ˗ .

2. Применить формулу, показывающую связь между котангенсом и синусом.

,

sin= .

3. Исходя из того, какой четверти принадлежит , определить знак значения данного выражения.

Т. к ˗ , то sin 0, т. е. sin= .

1. сtg (arcsin (˗0, 8));

Решение:

1. Обозначить выражение в скобках за , из опрделения sin= . Определить какой четверти принадлежит .

Пусть , тогда sin= , ˗ .

2. Применить формулу, показывающую связь между котангенсом и синусом.

,

ctg= .

3. Исходя из того, какой четверти принадлежит , определить знак значения данного выражения.

Т. к ˗ , то ctg 0, т. е. ctg= .

Проверьте равенство:

1. sin(arccosx) ∙ ctg (arctgx) = ;

План решения: Вычислить значение выражений sin(arcctgx) и cos(arctgx);Затем найти произведение этих выражений.

Решение:

sin(arccosx)=…

1. Обозначить выражение в скобках за , из опрделения cos= . Определить какой четверти принадлежит .

Пусть , тогда , ˗ .

2. Применить формулу .

,

sin= .

3. Исходя из того, какой четверти принадлежит , определить знак значения данного выражения.

Т. к ˗ , то sin 0, т. е. sin= .

ctg(arctgx) =…

1. Обозначить выражение в скобках за , из опрделения . Определить какой четверти принадлежит .

Пусть , тогда , ˗ .

2. Применить формулу .

,

ctg= .

3. Исходя из того, какой четверти принадлежит , определить знак значения данного выражения.

Т. к ˗ , то ctg 0, т. е. ctg= .

sin(arccosx) ∙ ctg (arctgx) = .

Образец выполнения заданий:

1. tg (arccos ˗ arcctg ) = tg ( ˗ ∙ ) = tg ( ˗ ) = tg0

2. sin (arcctg(˗ ));

Решение:

1. Пусть arcctg(˗ )=, тогда ctg=˗ , ˗ II четверть.

2. 1 + ctg² = , = ; = ,= ;

3. Т. к. ˗ II четверть, то sin0, т. е. = ;

Ответ: =

1. сtg (arcsin (˗0, 8));

Решение:

1. Пусть arcsin (˗0, 8)=, тогда sin=˗ , ˗ IV четверть.

2. 1 + ctg² = , = ˗1 ; = ,= ;

3. Т. к. ˗ II четверть, то tg0, т. е. = ˗ ;

Ответ: = ˗

1. tg(˗ arcsin(˗))=1

tg(˗ arcsin(˗))=tg(˗ arcsin(˗))=tg(arcsin);

Решение:

1. Пусть arcsin =, тогда sin=, ˗ I четверть.

2. 1 + tg² = , cos²=1˗ = ;

= ,= ;

1. Т. к. ˗ I четверть, то tg0, т. е. = ;

tg (arcsin)=∙=1;

Ответ:

1. tg (arccosx) ∙ tg(arcsinx) =1;

Решение:

tg (arccosx);

1. Пусть arccos x=, тогда cos=x,α [].

2. 1 + tg² = , = ; = ,=;

3. Т. к. α [], то tg0, т. е. =;

tg (arcsinx);

1. Пусть arcsin x=, тогда sin=x, α[];

2. 1 + tg² = , = ; =,=;

3. Т. к. α[], то tg0, т. е. =;

tg (arccosx) ∙ tg(arcsinx) =∙=1.

Ответ:

1. sin(arccosx) ∙ ctg (arctgx) = ;

Решение:

sin(arccosx);

1. Пусть arccos x=, тогда cos=x, α [];

2. sin²α =1 ˗ cos², sin²α =1 ˗ x² , =;

3. Т. к. α[], то sin0, т. е. =;

ctg (arctgx) ;

1. Пусть arctg x=, тогда tg=x, α();

2. tgα∙ctgα=1, ctgα= , =;

3. Т. к. α(), то ctg0, т. е. = ;

sin(arccosx) ∙ ctg (arctgx)=∙ = ;

Ответ:= .

V.Подведение итогов.

119