Конспект урока по математике "Виды систем линейных уравнений и их решение по формулам Крамера"

Цели урока

дидактическая - формирование умений и навыков решения систем линейных уравнений по формулам Крамера и применения данного метода при решении прикладных задач экономической направленности;

воспитательная – воспитание интереса к дисциплине, стремления к активной познавательной деятельности, инициативе и творчеству, умения работать в команде, чувства ответственности, уверенности в себе;

развивающая – формирование общих компетенций: учебно - познавательной, коммуникативной, информационной;

методическая – использование интерактивных методов обучения для закрепления учебного материала.

ТИП УРОКА урок новых знаний.

МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ лекция, интерактивные методы.

МАТЕРИАЛЬНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

 научные калькуляторы, компьютер, интерактивная доска, мультимедиапроектор, раздаточный материал (15 комплектов напечатанных лекций по математике), бумажные листы (формат А - 2), цветные маркеры.

Студент должен

знать:

 - формулы Крамера для вычисления решения системы n линейных уравнений с n неизвестными и правило Крамера для формирования главного и вспомогательных определителей системы;

 - критерий определенной системы линейных уравнений и классификацию систем по численности решений.

уметь:

 - решать системы n линейных уравнений с n неизвестными по формулам Крамера;

 - исследовать системы линейных уравнений на наличие и количество решений и в случае бесчисленного множества решений находить его методом Гаусса.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент (1 мин)

2. Сообщение темы, целей урока (1 - 2 мин)

 Преподаватель объявляет тему урока и помогает обучающимся сформулировать его основные цели.

3. Мотивация (7 - 8 мин)   

 Вам хорошо известно, что многие прикладные задачи, в том числе, задачи экономической направленности, решаются с помощью математического моделирования. Причем, в ряде случаев математической моделью является система линейных уравнений.

Решите задачу. Катер плывет по направлению течения реки, преодолевая путь от пункта А до пункта Б за 2 часа. С той же собственной скоростью катер проходит обратный путь за 3 часа. Какова скорость течения и собственная скорость катера, если расстояние между пунктами А и Б равно 60 км?

Обучающиеся составляют математическую модель задачи. Обозначив, например, x – собственную скорость катера; y – скорость течения, заполняют таблицу:

Применяя в каждом случае формулу S=vt, получают систему линейных уравнений

Далее, решая систему любым из известных способов, получают решение:

x=25 (км/ч) – собственная скорость катера;

y=5 (км/ч) – скорость течения реки.

В завершении обсуждаются возможные методы решения системы линейных уравнений:

1) метод подстановки;

2) метод сложения;

3) графический метод.

Что делать, если неизвестных в задаче больше, чем две, и приходиться составлять систему n линейных уравнений с n неизвестными, когда n>2?

Весь материал - смотрите документ.

Росрыболовство
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Астраханский государственный технический университет»
Обособленное структурное подразделение «Волго-Каспийский морской рыбопромышленный колледж» федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Астраханский государственный технический университет»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА

по дисциплине «Математика» на тему:

«Виды систем линейных уравнений и их решение по формулам Крамера»

Автор Земцов Д.В.

Рецензент Маркова Е.Ю.

Астрахань, 2013

ТЕМА УРОКА Виды систем линейных уравнений и их решение по формулам Крамера

ЦЕЛИ УРОКА

1. дидактическая - формирование умений и навыков решения систем линейных уравнений по формулам Крамера и применения данного метода при решении прикладных задач экономической направленности;

2. воспитательная – воспитание интереса к дисциплине, стремления к активной познавательной деятельности, инициативе и творчеству, умения работать в команде, чувства ответственности, уверенности в себе;

3. развивающая – формирование общих компетенций: учебно-познавательной, коммуникативной, информационной;

4. методическая – использование интерактивных методов обучения для закрепления учебного материала.

ТИП УРОКА урок новых знаний.

МЕТОДЫ

ОБУЧЕНИЯ лекция, интерактивные методы.

СВЯЗИ

Раздел 1. Линейная алгебра.

Тема 1.2. Задачи линейного программирования.

Раздел 2. Математический анализ.

Тема 2.2. Функции, их свойства и графики. Предел функции.

МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ

СВЯЗИ

1. Дисциплина «Естествознание».

Раздел 1. «Физика».

Тема 1.1. «Механика».

Тема 1.2. «Тепловые явления».

Тема 1.3. «Электромагнитные явления».

1. Дисциплина «Экономика».

Раздел 3. Рыночная экономика.

Тема 3.3. Производство, производительность труда. Факторы, влияющие на производительность труда.

МАТЕРИАЛЬНОЕ

ОБЕСПЕЧЕНИЕ научные калькуляторы, компьютер, интерактивная доска, мультимедиапроектор, раздаточный материал (15 комплектов напечатанных лекций по математике), бумажные листы (формат А-2), цветные маркеры.

Студент должен

знать:

- формулы Крамера для вычисления решения системы n линейных уравнений с n неизвестными и правило Крамера для формирования главного и вспомогательных определителей системы;

- критерий определенной системы линейных уравнений и классификацию систем по численности решений.

уметь:

- решать системы n линейных уравнений с n неизвестными по формулам Крамера;

- исследовать системы линейных уравнений на наличие и количество решений и в случае бесчисленного множества решений находить его методом Гаусса.

1. Организационный момент (1 мин)

2. Сообщение темы, целей урока (1-2 мин)

Преподаватель объявляет тему урока и помогает обучающимся сформулировать его основные цели.

3. Мотивация (7-8 мин)

Вам хорошо известно, что многие прикладные задачи, в том числе, задачи экономической направленности, решаются с помощью математического моделирования. Причем, в ряде случаев математической моделью является система линейных уравнений.

Решите задачу. Катер плывет по направлению течения реки, преодолевая путь от пункта А до пункта Б за 2 часа. С той же собственной скоростью катер проходит обратный путь за 3 часа. Какова скорость течения и собственная скорость катера, если расстояние между пунктами А и Б равно 60 км?

Обучающиеся составляют математическую модель задачи. Обозначив, например, x – собственную скорость катера; y – скорость течения, заполняют таблицу:

Применяя в каждом случае формулу S=vt, получают систему линейных уравнений:

Далее, решая систему любым из известных способов, получают решение:

x=25 (км/ч) – собственная скорость катера;

y=5 (км/ч) – скорость течения реки.

В завершении обсуждаются возможные методы решения системы линейных уравнений:

1) метод подстановки;

2) метод сложения;

3) графический метод.

Что делать, если неизвестных в задаче больше, чем две, и приходиться составлять систему n линейных уравнений с n неизвестными, когда n2?

Например, решения системы уравнений вида

методами подстановки, сложения являются слишком трудоемкими, нерациональными. А применение графического метода в данном случае затруднительно, так как графиком линейного уравнения с тремя неизвестными является плоскость в трехмерном пространстве (при большем числе неизвестных размерность пространства превышает 3, из-за чего применение графического метода невозможно).

Поэтому одной из задач линейной алгебры является разработка эффективных методов решения систем n линейных уравнений с m неизвестными.

4. Актуализация опорных знаний (5 мин)

1. Что называют матрицей размерности m на n? Запишите ее общий вид. Какую матрицу называют квадратной?

2. Какие возможны действия над матрицами? По каким правилам эти действия выполняются? Приведите свои примеры.

3. Что называют определителем квадратной матрицы 2-го порядка? Запишите формулу и приведите свой пример вычисления.

4. Запишите формулу вычисления определителя третьего порядка.

5. Какие свойства определителей, упрощающие их вычисление, вам известны?

6. Сформулируйте правило понижения порядка определителя. Как по-другому вы можете назвать это правило?

7. Какие способы решения систем линейных уравнений вам известны?

8. Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными в координатной плоскости Oxy?

5. Изложение нового материала (30 мин)

План изучения материала.

1. Общий вид системы линейных уравнений. Главный определитель системы.

2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

3. Исследование систем линейных уравнений на наличие и количество решений.

4. Решение неопределенной системы линейных уравнений методом Гаусса.

Преподаватель отмечает, что при изучении материала следует обратить особое внимание на формулы и правило Крамера, по которым вычисляется решение системы линейных уравнений, а также на исследование систем линейных уравнений на наличие и количество решений с помощью определителей.

5.1. Общий вид системы линейных уравнений. Главный определитель системы.

К системам линейных уравнений приводит множество прикладных, в том числе и экономических задач. В общем виде система m линейных уравнений с n неизвестными (переменными) имеет вид:

_{Решением такой системы уравнений называется совокупность n чисел}

_{при подстановке которых вместо неизвестных каждое уравнение системы обращается в верное числовое равенство.}

_{Решить систему линейных уравнений – значит, найти множество всех ее решений или доказать, что решений не существует. В последнем случае говорят, что система является несовместной, а множество ее решений является пустым множеством.}

_{Систему линейных уравнений называют определенной, если она имеет единственное решение.}

_{Заметим, что для изученного в школьном курсе алгебры случая m=n=2 (система 2 линейных уравнений с 2 неизвестными) это решение являлось точкой пересечения двух прямых на плоскости. Но прямые на плоскости могут не только пересекаться, но и быть параллельными (случай отсутствия решений) или совпадать (случай бесконечного множества решений). Каждый случай проиллюстрирован на интерактивной доске.}

_{Рассмотрим решение системы линейных уравнений для случая, когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, то есть m=n. Такую систему можно называть квадратной, ее общий вид:}

_{Самой важной числовой характеристикой такой системы является ее главный определитель – определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных:}

_{Теорема (критерий определенной системы линейных уравнений). Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ее главный определитель не равен нулю.}

5.2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

_{Итак, квадратная система линейных уравнений имеет единственное решение в том и только в том случае, если выполняется условие Δ≠0. В этом случае решение системы вычисляется по формулам Крамера:}

_{где Δi (i=1, 2, …, n) – вспомогательные определители системы.}

_{В общем виде формулы Крамера записываются так:}

_{Вспомогательные определители Δi находятся по правилу Крамера: вспомогательный определитель с номером i (i=1, 2, …, n) получается из главного определителя системы линейных уравнений путем замены в нем i-го столбца на столбец свободных членов уравнений.}

_{Основанный на формулах Крамера метод решения систем линейных уравнений называется методом Крамера.}

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Решение. Вычисляем главный определитель системы

=24-24-15-27+16+20= -6 ≠ 0, значит, система имеет единственное решение.

Вычисляем вспомогательные определители, полученные заменой в определителе системы очередного столбца на столбец свободных членов:

=12-8-60-9+64+10=9;

=32+6+3-36-4-4= -3;

=6-48-5-9+4+40= -12.

По формулам Крамера вычисляем:

x=1,5;

у=0,5;

z=2.

Итак, (1,5; 0,5; 2) – решение системы.

5.3. Исследование систем линейных уравнений на наличие и количество решений (данный пункт студенты изучают самостоятельно с помощью раздаточного лекционного материала).

Как было сказано ранее, системы линейных уравнений могут иметь одно решение, не иметь решения или иметь бесчисленное множество решений. Рассмотрим классификацию систем линейных уравнений при m=n по количеству их решений.

1) Система имеет единственное решение (определенная).

2) Система не имеет решений (несовместная).

3) Система имеет бесконечное множество решений (неопределенная).

5.4. Решение неопределенной системы линейных уравнений методом Гаусса.

Из вышесказанного следует, что методом Крамера можно решить не любую систему линейных уравнений. В отличие от матрицы, определитель всегда является квадратной таблицей, поэтому метод Крамера применим только в случае m=n (количество уравнений системы равно количеству неизвестных). Но даже в этом случае возможен «проблемный случай», когда и главный, и вспомогательные определители равны нулю, что означает наличие бесчисленного множества решений системы. Но как в таком случае найти множество всех решений? Для этого существует другой метод решения СЛУ – метод последовательного исключения неизвестных, который также называют методом Гаусса.

Пример 2. Решить систему линейных уравнений:

_{Решение. Главный определитель системы:}

_{Вычислим первый вспомогательный определитель системы, согласно правилу Крамера, заменяя первый столбец главного определителя на столбец свободных членов:}

_{То есть, данная система имеет бесконечное множество решений, которые невозможно найти методом Крамера.}

_{Воспользуемся методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса).}

_{Вычтем из 2-го уравнения системы 1-ое, умноженное на 4, а 3-го вычтем 1-ое, умноженное на 2:}

_{В новой системе, эквивалентной исходной, 2-ое и 3-е уравнения равносильны, поэтому 3-е уравнение можно убрать:}

_{Выразим главные неизвестные x1 и x2 через свободную неизвестную x3:}

_{Последняя запись представляет собой множество всех решений данной системы. Каждое из решений можно отыскать, подставляя вместо неизвестной x3 некоторое ее действительное числовое значение. Например, при x3=1 получим:}

_{Значит, (1; -2; 1) – одно из бесчисленных решений данной системы.}

_{Заметим, что метод Гаусса целесообразно применять также в случае определенной и несовместной системы. В отличие от метода Крамера, применимого только в случае m=n, метод Гаусса является универсальным методом решения систем линейных уравнений.}

6. Закрепление материала (40-42 мин)

6.1. Решите системы линейных уравнений методом Крамера:



6.2. Решите задачу. Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок. При этом сырье S₁ расходуется на одну пару сапог, кроссовок и ботинок в количестве 5, 3, 4 ед. соответственно. Сырье S₂ затрачивается на одну пару обуви соответственно в количестве 2, 1, 1 ед., а сырье S₃ – в количестве 3, 2, 2 ед. Найдите ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.

Для решения данной задачи группа делится на 3-5 команд по 5-6 обучающихся. Одна из команд составляется из обучающихся, наиболее успешных в изучении математики, и выполняет функцию жюри. Каждая команда избирает себе руководителя и получает лист бумаги формата A-2 и маркер определенного цвета для оформления решения. Задачу необходимо решать на скорость, отражая на листе основные позиции решения:

1) математическую модель задачи (систему линейных уравнений с пояснением всех неизвестных);

2) вычисление главного определителя системы (подробно) и вспомогательных определителей (кратко);

3) вычисление решения системы по формулам Крамера, ответ на вопрос задачи. В каждой команде работа организуется выбранным лидером, который, прежде всего, отвечает за распределение обязанностей между членами команды. Один из обучающихся отвечает за качество оформления (полноту, правильность и аккуратность всех записей).

Каждая команда представляет свое решение, а жюри оценивает по 5-балльной шкале выступления по следующим критериям:

1) скорость решения;

2) правильность математической модели задачи;

3) правильность вычисления определителей;

4) правильность вычисления решения системы по формулам Крамера;

5) качество презентации решения (грамотность речи, аккуратность оформления).

Определяется команда-победитель, активные члены которой получают отличные оценки. Активным членам команды, занявшей второе место, по их желанию, выставляются оценки «хорошо».

7. Рефлексия, подведение итогов урока (2-4 мин)

1) Что нового вы сегодня узнали?

2) Что вас сегодня удивило?

3) Что вас сегодня заинтересовало?

4) Что вызвало сомнение, отрицание?

Далее обобщаются новые знания, делаются выводы о достигнутых целях урока. Поощряются активные студенты, выставляются обоснованные преподавателем оценки.

8. Домашнее задание (1 мин)

[2], гл.1, п.2.1-2.2, с.38-44.

Рецензия

На рецензию представлена методическая разработка «Виды систем линейных уравнений и их решение по формулам Крамера», подготовленная преподавателем математики ФГБОУ ВПО «АГТУ» ОСП «ВКМРПК» Земцовым Д.В.

Данная методическая разработка написана в соответствии с ФГОС СПО третьего поколения и рабочей программой по дисциплине ЕН.01 «Математика» для специальности 080114 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)». По типу - урок новых знаний, на котором в целях закрепления материала активно используются методы интерактивного обучения. Методическая цель урока – использование интерактивной формы обучения для закрепления учебного материала. На данном уроке активно используются современные технические средства обучения (компьютер, интерактивная доска, мультимедиапроектор, научные калькуляторы). Важно отметить, что на уроке решаются методами линейной алгебры задачи профессиональной экономической направленности.

Методическая разработка может быть рекомендована для преподавания математики экономическим специальностям средних специальных учебных заведений.

02.04.2013 Маркова Е.Ю.

15